J135. Problème de voisinage
Problème proposé par Michel Lafond
Si n est un entier naturel au moins égal à 2, on pose dans certaines cases d’un carré n × n un pion de sorte que chaque case (occupée ou non) ait au moins une case voisine occupée. [Une case a 8
voisines].
Soit M (n) le nombre minimal de pions à poser.
1) Vérifier que pour n ≤ 18 une borne supérieure de M (n) est donnée dans le tableau ci-dessous :
2) Démontrer que si n ≥ 10 M (n) ≤ 0,18 n².
3) Trouver une valeur de n pour laquelle M (n) < n²/6. [inégalité stricte]
Solution proposée par Paul Voyer Q1
La séquence des valeurs de M n'est pas dans OEIS.
Q2
Il suffit de démontrer la propriété pour n ≥ 19 car elle est vérifiée pour 10≤n≤18.
Si n est pair, alors le carré est composé de 4 carrés n/2xn/2 qui ont la propriété.
Si n=4k+3, alors le carré nxn se compose d'un carré (n-6)x(n-6) central et d'une bordure de largeur 3 décomposable en rectangles 3x4, de "rendement" 6.
Si n=12k+1, alors le carré nxn se compose d'un carré central de côté (n-8=12k-7) et d'une bordure de largeur 4 décomposable en rectangles 3x4, de "rendement" 6.
Le carré central est soit assez grand, soit de poids insuffisant, pour diminuer suffisamment le rendement.
Si n=12k+5, alors le carré nxn se compose d'un carré central de côté (n-16=12k-11) et d'une bordure de largeur 8 décomposable en rectangles 3x4, de "rendement" 6.
Le carré central est soit assez grand, soit de poids insuffisant, pour diminuer suffisamment le rendement.
Si n=12k+9, alors le carré n*n se compose d'un carré de côté 12k, de rendement 6, de deux rectangles 12k*9, de rendement 6, et d'un carré 9*9, de poids insuffisant pour compromettre le rendement global.
Q3
Un pavage infini du plan comprenant des paires de pions "en diagonale", comme représenté ci- dessous, permet une surface couverte par nombre de pions (n²/M) limite de 14/2 = 7, la "bordure" du carré ayant une importance relative de plus en plus négligeable lorsque n croît (expression en λn/n²).
Il existe donc une valeur minimale de n pour laquelle n²/M > 6.
n=28 permet un remplissage avec 130 pions pour 784 cases. M = 03 . 6
² n
