Existence d'un point singulier

Existence d'un point singulier

Pierre Lissy June 11, 2010

Lemme 1. L'ensemble des points réguliers est un ouvert du cercle C.

Proof. C'est une évidence. Si le pointaest régulier, alors notamment on a un DSE autour dea avec un rayon de convergencer >0. Mais alors siz∈B(a, r)∩C, on sait que la fonctionf étant holomorphe sur B(a, r), elle est analytique dans B(a, r) et notamment en z on a existence d'un petit rayonr⁰>r−d(z, a)>0tel quef soit DSE enzavec comme rayon de convergencer⁰. zest donc aussi régulier et commeB(a, r)∩C est un ouvert de C car c'est la trace sur le cercle d'un ouvert deCsur le cercle on a bien un ouvert autour deade points réguliers.

Lemme 2. Il existe un point singulier.

Proof. Quitte à changerzen(z−z0)/Ron peut supposer que l'on se place en0et que le rayon de convergence est1. On noteDle cercle unité etDle disque unité. Supposons que tous les points du cercle soient réguliers. Pour touta, il existe un certainra>0tel quef est prolongeable àD∪Da

avecDa :=D(a, r). D'abord, remarquons queDa∩Db6=∅ →Da∩Db∩D6=∅. En eet (faire un dessin), on a nécessairement que|a−b|< ra+rb. Posonsλ=rb/(ra+rb), etw= (λa+ (1−λ)b). On a vu queλ6= 0donc par stricte convexité de la norme on a|w|< λ|a|+(1−λ)|b|= 1−λ+λ= 1. On a donc bien quew∈D. Il reste à considérer|w−a|6(1−λ)|b−a|6r_a|b−a|/(ra+r_b)< r_a et de même|w−b|6λ|b−a|< r_b. On a donc bien ce qu'on voulait. Du coup, on voit que si on appellef_ala restriction du prolongement analytique àB(a, r_a)on a quef_a=f_bsurD_a∩Dbcar sur D_a∩D_b∩Dils coincident (ils valent f), et queD_a∩D_b est un ouvert convexe comme intersection non vide de convexe. De mêmeD_a∩D_b∩Dest un ouvert, et par prolongement analytiquef_aetf_b coïncident sur l'intersection. On pose alorsΩ :=S

a∈C(D∪D_a), etF(z) =f_a(z)sis∈D∪D_a. F est dénie sans ambiguîtés et est holomorphe surΩ(l'holomorphie est une propriété locale). Quite à choisirra plus petit on peut choisir tous les ra <1. On a alors queΩ⊂D(0,2) et L:=C\C est un fermé non vide deC. On a que D¯ ⊂Ω et doncD¯ ∩L =∅. Posons alors δ=d( ¯D, L). Il est classique que la distance d'un compact à un fermé disjoint d'un espace vectoriel de dimension nie soit atteinte (il sut de restreindre l'application(u, v)7→ |u−v| deD¯ ×L au compact qui est(u, v)||u−v|61 +d( ¯D, L), qui est non vide par dénition de l'inf.), doncδ >0. On a alors queD(0,1 +δ)⊂Ω, et donc on a au moins quef est holomorphe surD(0,1 +δ). Mais alors par propriété des fonctions holomorphesf est DSE en0de rayon de cv au moins égal à(1 +δ)ce qui est faux par hypothèse!

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