G117 Une autre histoire de petits bâtons [** à la main]
Nota : Ce problème a déjà été proposé dans la rubrique « Récréations scientifiques » tenue par Jean Moreau de Saint Martin dans la revue La Jaune et la Rouge (avril 2006).
Solution de Daniel Collignon
Prenons pour unité la longueur du bâton.
Trois morceaux a, b et c tels que a+b+c = 1 forment un triangle ssi a <= 1/2, b <= 1/2 et c <=
1/2.
En effet, a, b et c forment un triangle ssi a <= b+c, b <= a+c et c <= a+b (inégalités triangulaires).
Or par exemple a<=b+c 2a <= a+b+c = 1.
De la même manière, on montre que quatre morceaux a, b, c et d tels que a+b+c+d = 1 forment un quadrilatère ssi a <= 1/2, b <= 1/2 et c <= 1/2 et d <= 1/2.
Etant donné que les deux premiers morceaux ne peuvent tous les deux être > 1/2, alors la longueur de B sera <= 1/2. En particulier E et F seront <= 1/2 et donc la probabilité de former un quadrilatère avec C, D, E et F est égale à la probabilité de former un triangle avec B, C et D.
Les morceaux (longueur) sont : A(1-x), B(x), C((1-x)y), D((1-x)(1-y)) où x et y sont la réalisation de deux variables aléatoires uniformes sur [0 ; 1/2] et indépendantes.
D’après ce qui précède, B, C et D forment un triangle ssi (1-x)(1-y) <= 1/2
0 0,5
0 0,5
Graphiquement la probabilité cherchée vaut P = 1 – 4S où S désigne l’aire sous l’hyperbole.
S = intégrale(x=0 ; 1/2; (1 – 1/(2(1-x)))dx) = (1-ln(2))/2 D’où P = 2ln(2) - 1 # 0,39
Autre méthode :
Sur le dessin (quitte à retourner le bâton, on peut supposer 1/2<=x<1), la flèche représente la première coupe, la zone bleue (resp. rouge) représente les lieux de deuxième coupe favorables (resp. défavorables) à la construction d’un triangle.
La zone bleue a pour longueur x-2*(x-1/2) = 1-x.
La probabilité cherchée vaut donc 2*intégrale(x=1/2 ; 1 ; (1/x – 1)dx) = 2ln(2) - 1 A(x)
B(1-x)
Variantes et autre méthode (avec l’utilisation fort élégante du fait que dans un triangle équilatéral la somme des altitudes d’un point intérieur reste constante) :
Voir http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml
et en particulier http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml#2
