DS du 6/11/08

Jeudi 6 novembre 2008.

DS de Terminale S (1h + 3h).

Les parties Test et DS seront traitées sur des feuilles séparées.

PARTIE Test (1h). CALCULATRICE INTERDITE.

Exercice 1 (6 points).

Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes. Justifier vos affirmations. Toute réponse non ou mal justifiée ne rapportera pas de points.

A. Soit f la la fonction définie sur IR par : f(x) = (x - 1)e

, alors : a.

= x e

b. lim

f(x) = −∞

c. L’équation f(x) = 1 admet dans IR une solution unique.

B. Si x ≥ −2 alors e

≥ 1 e² .

C. Les courbes représentatives des fonctions x → 2e

– 1 et x → e

ont la même tangente au point A(0 ; 1)

D. a. Pour tous réels a et b, e

= e

× e

b. Pour tous réels a et b (non nuls),

a a

b b

e e

=e

c. Il existe un réel a et un réel b tels que e

+ e

< 2e

Exercice 2 (4 points).

A. Soit (u

) une suite définie sur IN et (v

) la suite définie sur IN par v

= exp(u

) Prouver que si (u

) est arithmétique alors (v

) est géométrique

B. Résoudre sur IR l’équation suivante : e

+ 2e

– 3 = 0.

Exercice 3 (6 points).

f est la fonction définie sur IR par f(x) = (x² − 3x − 3)e

a. Etudier les limites de f en −∞ et +∞.

b. Etudier les variations de f.

Exercice 4 (4 points).

Montrer que pour tout réel x positif, e

≥ x.

Jeudi 6 novembre 2008.

PARTIE DS. (3h). Calculatrice autorisée.

Exercice 1 (8 points) On considère la fonction tangente hyperbolique, notée th, définie par ( )

x x

x x

e e th x e e

−

−

= −

+ . 1. Déterminer le domaine de définition I de th.

2. Montrer que pour tout x de I, on a

2 2

( ) 1

1

x x

th x e e

= −

+ .

3. Calculer lim_x→+∞ th(x). Que pouvez-vous en déduire sur la courbe C représentant la fonction th ? 4.a. Etudier la parité de cette fonction et en déduire sa limite en −∞.

4.b. Quelles conséquences graphiques pouvez-vous en tirer ?

5. Etudier les variations de la fonction th et dresser son tableau de variations sur IR.

Soit R = (O ; i^→ , j^→ ) un repère orthonormé d’unité le centimètre.

6.a. Déterminer l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 et la tracer dans le repère R.

6.b. Tracer C dans ce même repère.

Question annexe : Vérifier que pour tout réel x, 1 – th²(x) = th’(x).

Exercice 2 (6 points).

Considérons la fonction f définie sur I = [−1 ; 1] par f(x) = (1 – x) 1 - x² . 1. Justifier que cette fonction est dérivable sur ]−1 ; 1[.

2. Calculer f ’ sur ]−1 ; 1[.

3.a. Montrer que f est dérivable en 1 et déterminer f ’(1).

3.b. Interpréter graphiquement ce dernier résultat.

4.a. Calculer

1

( ) ( 1)

lim 1

x

f x f

+ x

→−

− −

+ . f est-elle dérivable en −1 ? Justifier.

4.b. Interpréter graphiquement ce dernier résultat.

5. Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

6. Construire la représentation graphique de f dans un repère orthonormal dont l’unité mesure 5 cm.

Exercice 3 (4 points) u est la suite définie pour tout n de IN par un = e⁻³ⁿ⁺⁵ .

a. Montrer que (un) est géométrique.

b. Déterminer lim

n→+∞ un

c. Calculer Sn = u0 + u1 + … + un en fonction de n d. En déduire lim

n→+∞ Sn.

suite au dos …

Exercice 4 (2 points)

Pré-requis de l’exercice : exp(0) = 1 et pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x)×exp(y).

A l’aide des pré-requis, démontrer que : a. Pour tout réel x, exp(−x) = 1

exp(x) b. Pour tout réel x, exp(2x) = (exp(x))².