Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°14 Matrices
Notation :La lettreKdésigneRouC.
Exercice 120 : Soitn∈N≥2. SoitA∈Mn(K). On définit le commutant deAcomme étant l’ensemble de toutes les matrices deMn(K) qui commutent avecA. On note Comm(A) cette partie deMn(K). On a donc
Comm(A)={M∈Mn(K)|AM=M A} . 1. Soitn∈N≥2. SoitA∈Mn(K).
(a) Démontrer : 0Mn(K)∈Comm(A) etIn∈Comm(A).
(b) Démontrer que toute puissance deAappartient à Comm(A).
(c) Soit (M1,M2)∈Comm(A)2. Démontrer que toute combinaison linéaire deM1et deM2appartient à Comm(A).
2. Dans le cas oùA:=
µ 1 2 3 4
¶
, démontrer Comm(A)=Vect(I2,A).
Exercice 121 : Soitn∈N∗. Soit (A,B)∈Tn(K)2. Montrer que pour touti∈ 1,n, [AB]ii=[A]ii×[B]ii.
Exercice 122 : Soient les matricesA:=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
etB:=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
. 1. Calculer les puissances de la matriceA.
2. Exprimer la matriceBen fonction deAetI3, puis calculer ses puissances.
Exercice 123 : On se propose ici de calculer les puissances de la matriceA:=
3 −2 −4
−2 3 2
3 −3 −4
.
1. Montrer que la matriceP:=
1 0 2
1 −2 0
0 1 2
est inversible et calculerP−1. 2. CalculerD:=P−1AP.
3. CalculerDn, pour toutn∈N∗.
4. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, queAn=P DnP−1, pour toutn∈N∗. 5. En déduire la valeur deAn, pour toutn∈N∗.
Exercice 124 1. SoitA:=
µ a b c d
¶
∈M2(K). On appelle déterminant deAle scalaire noté det(A) défini par
det(A) :=ad−bc.
(a) Montrer que det(A)=0 si et seulement s’il existe une relation de proportionnalité entre les lignes de A.
(b) SoitA′:=
µ d −b
−c a
¶
. Calculer les produitsA A′etA′A.
(c) Déduire de la question 1.(b) les deux résultats suivants.
i. Aest inversible si et seulement si det(A)6=0.
ii. SiAest inversible alorsA−1= 1 det(A)
µ d −b
−c a
¶ .
1
2. Pour chaquei∈{1, 2, 3, 4}, étudier l’inversibilité de la matriceAiet calculer sa matrice inverse lorsqu’elle est inversible.
A1:= µ 1 2
3 4
¶
A2:=
à eiπ4 1 i eiπ4
!
A3:= µ 5 2
7 3
¶
A4:= µ p
2 p
6
1 p
3
¶
Exercice 125 : Pour chaquei∈{1, 2, 3}, étudier l’inversibilité de la matriceAiet calculer son inverse lorsqu’elle est inversible.
A1:=
−1 0 −1
1 −2 0
0 1 1
A2:=
1 −2 3
−4 5 −6
7 −8 9
A3:=
1 0 1
2 3 0
1 2 1
Exercice 126 : Soitn∈N∗. Démontrer que la matriceAdeMn(K) définie par
∀(i,j)∈ 1,n2, [A]i j:=
¯
¯
¯
¯
1 sij=n+1−i 0 sij6=n+1−i est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Exercice 127 : Soitn∈N∗. Soient AetBdeux matrices deMn(K) qui commutent (i.e. telles que AB=B A).
Montrer que pour touts∈N∗
As−Bs=(A−B) Ãs−1
X
k=0
AkBs−1−k
!
= Ãs−1
X
k=0
AkBs−1−k
!
(A−B) .
Exercice 128 : Soit la matriceA:=
2 −3 1
1 −1 1
−1 1 −1
. 1. CalculerA3.
2. En déduire queAn’est pas inversible.
3. Montrer queI3−Aest inversible et calculer sa matrice inverse.
Indication : On pourra s’aider de l’exercice 127.
Exercice 129 : Soitn∈N∗. Une matrice deNdeMn(K) est dite nilpotente s’il existes∈N∗tel queNs=0Mn(K). 1. Soient deux matricesN1etN2deMn(K) nilpotentes et qui commutent (i.e. telles queN1N2=N2N1).
(a) Montrer que toute matrice combinaison linéaire deN1etN2est nilpotente.
(b) Montrer que la matrice produitN1N2est nilpotente.
2. Montrer qu’une matrice nilpotente n’est pas inversible.
3. SoitNune matrice nilpotente deMn(K). Montrer que la matriceIn−Nest inversible.
Indication : On pourra s’aider de l’exercice 127.
Exercice 130 : Soitn∈N∗. SoientAetBdeux matrices deMn(K). Montrer que le produitABest inversible si et seulement si les deux matricesAetBsont inversibles.
Exercice 131 : Soitn∈N∗. On dit qu’une matriceA∈Mn(K) est semblable à une matriceB∈Mn(K) s’il existe une matriceP∈GLn(K) telle queA=P B P−1. Dans ce cas, on noteA≡B.
Montrer que la relation≡entre matrices deMn(K) est une relation d’équivalence, i.e.
1. la relation≡est réflexive : pour toutA∈Mn(K),A≡A;
2. la relation≡est symétrique : pour tout (A,B)∈Mn(K)2, siA≡BalorsB≡A;
3. la relation≡est transitive : pour tout (A,B,C)∈Mn(K)3, siA≡BetB≡CalorsA≡C.
Exercice 132 : Soitn∈N∗. Une matriceM∈Mn(K) est dite symétrique sitM=M. Elle est dite antisymétrique si tM= −M.
1. Montrer qu’une combinaison linéaire de deux matrices symétriques (resp. antisymétriques) est symé- trique (resp. antisymétrique).
2. SoitMune matrice deMn(K). Montrer qu’il existe une unique matrice symétriqueS∈Mn(K) et une unique matrice antisymétriqueA∈Mn(K) telles queM=S+A.
2
