Exercice sur la limite et continuité

(1)

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Exercice sur la limite et continuité

Exercice 1:

Calculer la limite des fonctions suivantes :

1. f x( ) x²  x 1 2x (en+∞) 2.g x( ) x²  x 1 x (en+∞) 3. 1 cos( )₂

( ) x

h x x

  (en0) 4. sin( ) sin 3( ( si

) 4

( ) n

)

x x

  ^ (en0) Solution:

1− Ici les fonctions x² x 1et 2xtendent toutes les deux vers +∞, et donc on a une forme indéterminée (

   

^{  } n'a pas un sens). Donc l'idée c'est de réécrire l'expression de la fonction f de sorte d'éviter cet obstacle. Pour x0 , (on a le droit de le choisir positif car après on va tendre ce x vers +∞,

donc plus loin de zéro!), on a :

2

1 2

1 1

( )

1 2

1 1

1 2

f x x x x

x x

x x x

   

 

    

 

      .

D'autre part, on sait que : 1 1₂

lim lim 0

x^xx^x 

Donc par continuité de la fonction racine carrée on a : 1 1₂

lim 1 2 1 2 1

x^  x x      Finalement on a : ^lim

 

x f x

  

2− Par le même calcul que dans la question 1, on a pour tout x>0,

 

¹ ¹ ¹₂ ¹

g x x

x x

 

     

On a donc une forme indéterminée (+∞×0). Donc on ne va pas raisonner comme dans la question 1, on doit alors avancer dans les calculs, en appliquant la règle du conjugué. On a alors, pour tout x>0,

 

₂

2 2

2

1 1

1 1 1 1

1 1

g x x

x x

x x x x

x

x x

 

     

  

     

  

  

  

    

 

 

(2)

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2

1 1

x x

x

x x

 

  

 

     

2

1 1

x

x x

 

  

Ainsi :

 

2

1 1 1

lim lim

1 1 2

1 1

x x

g x x

x x

 

  

  

( car 1 1₂

lim lim 0

x^xx^x  ) 3− Ici nous allons utiliser la relation (qui est vraie pour tout a b; IR:

( ) (

cos cos 2sin si

) 2 n

2

a b a b

a  b         .

Si on prend a0 et bx , comme ^{cos 0}

 

^¹ ,et la fonctiont sin( )t est impaire alors

 

2

1 cos cos 0 cos

2sin sin

2 2

( )

2 s .

2 ( )

in

x x

x

  

   

      

  

    

Alors :

 

2

2 sin

2 .

x

h x x

  

   

 



On rappelle que (penser au fait que la fonction sinus est dérivable en 0, sin(0)=0 est que sin′(0)=1 ;

0

limsin 1

u

 u  )

Donc par le changement de variable 2

u x, on a u0 si x0 , et donc

 

2

0 0 2

2

0

2

0

2 sin

lim lim 2

1 sin 2 lim

2 2 1 sin lim

2 1

2

x x

x

h x x

x x

u u

 



  

   

 



  

   

 

  

 

 

 

  



(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 5− Soit xIR tel que x0 . On a alors : si ( ) ( )

( n sin 3

) sin(4 )

x x x

   ^

1 4 sin( ) sin 3 4 s 3

( ) ( )

in 4 3

x x x

 

    

En utilisant la remarque dans la question 3 (bien sûr avec des changements de variable) on trouve :

 

0

1 1

lim 1 3

4 2

x ( )x

    