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Série Limite et Continuité
.«Ta seule limite est celle que tu t’imposes »
Recommandation
La plupart des exercices proposés dans nos series et dans celle-ci, sont corrigés dans le fascicule que nous avons confectionnés Exercices de Fitness Pro. Nous vous le recommandons vivement, voici un extrait https: // bit. ly/ 37IJzC1
Disponible :https: // axloutoth. sn/ produit/ fascicule-de-maths-1ere-s1-s3/.
1 Calcul de Limites
Exercice 1 :
Calculer les limites suivantes : 1 lim
x→12
4x2−1 2x−1
2 lim
x→2
x3−8 x2−4 3 lim
x→1
x−1 2x2−7x+ 5 4 lim
x→2
x2−3x+ 2 x2+x−6
5 lim
x→−23
3x2+ 5x+ 2 3x2−4x−4 6 lim
x→3
x2−4x−15 x3+x2−6x−18 7 lim
x→1
x4−3x3+ 2 x3−5x2+ 3x+ 1 8 lim
x→3 x2−9 2x2+6x
9 lim
x→4
x3−4x2−6x+24 x−4
10 lim
x→3
|x2−9|
x−3
11 lim
x→0 1
x2−x−x−1x
12 lim
x→2
1
x−2 − 2(2x−3) x3−3x2+ 2x
13 lim
x→3
1
x−3 − 3
x(x2−5x+ 6)
Exercice 2 :
Calculer les limites suivantes : 1 lim
x→4
√x−2 x2−5x+4
2 lim
x→0 1−√
1+x x
3 lim
x→1
√x2−1 x−1
4 lim
x→0xhq
4 + 1x−2i 5 lim
x→1
√√x2+3−x−1 x+1−√
2
6 lim
x→0 1 x−q
1 x2 −1
7 lim
x→1
(2x−3)(√ x−1) 2x2+x−3 8 lim
x→1+
√x−2 x2−5x+4
9 lim
x→2
√x2+1−√ x+3 x−2
10 lim
x→3
√3x−3
√x+1−√ 3x−5
11 lim
x→2 1 x−2−√1
x−2
12 lim
x→4
√x+5−3 x−4
13 lim
x→1
√2x−2
√x+1−√ 2x−1
14 lim
x→0+
√x2+ 16−√
4x2+ 2x x(x−2)
15 lim
x→2
√x2+ 16−√
4x2+ 2x x(x−2) 16 lim
x→2 1−√
2−√ 7−3x 1−p
2−√ 1
5−2x
Exercice 3 :Limite en Infini
Calculer les limites suivantes : 1 lim
x→−∞
√x2+ 7−x
2 lim
x→−∞
2x2−5x+3 3x2+4x−1
3 lim
x→−∞
√x2+1 2x+3
4 lim
x→−∞
√x2+ 2x+ 3
5 lim
x→−∞
√16x2+x+ 2 + 4x
6 lim
x→+∞
px−√
x+ 1−√ x−1
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7 lim
x→−∞
(x+1)2−(x−1)2 (x+1)2+(x−1)2
8 lim
x→+∞
√x
x+1−x+2x 9 lim
x→+∞
√x2+1 x −√
x
10 lim
x→+∞
qx3−1 x+2
11 lim
x→±∞
1−√ x2+1 1+√
x2+1
12 lim
x→−∞
√x2+ 16−√
4x2+ 2x x(x−2)
13 lim
x→+∞
√x4+x2−√ x4−x2
14 lim
x→−∞
√
x2+ 3−√ x2+ 1 15 lim
x→+∞
√
x2+√ x+1−
√
x2−√
√ x−1 x+1−√
x
Exercice 4:
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes et calculer les limites aux bornes 1 f :x7→ x3x−x−62−4
2 f :x7→ |−2x+3|x2+1 3 f :x7→ x
√x+2+1 x+1
4 f :x7→ x2−
√x
√x−1
5 Φ(x) =
( x(x+2)
x+1 , si x >1 x+p
|x2−x|, si x≤1
6 Γ(x) = −x+ 2−x2x2+1, si x≤1 x−1−3√
x2−1, si x >0
7 φ(t) = √ x 1+x−√
1−x, six6= 0 1 six= 0
8 Ψ(t) =
( |x2−2x|, si x <0 q x3
|x−1|, si x≥0
Exercice 4:
Soitaetb deux réels strictement positifs.
1 a Montrer quea−b= (√3 a−√3
b)(a23 +√3 a×√3
b+b23).
b En déduire que √3 a−√3
b= a−b
a23+√3 a×√3
b+b23
2 Etudier les limites ci-dessous : a lim
x→0
√3
x+1−1 x
b lim
x→8
√3
x−2
√3
x+19−3
c lim
x→−1
√3
2x3+5x+7−√
3x3+7x−4 x+1
d lim
x→+∞
√3
x(√3
x2+x+ 1−√3 x2+ 1)
Exercice 5 :
Calculer les limites suivantes :( On discutera s’il le faut, suivant les valeurs deminRetn∈N) 1 lim
x→a
axn−xan x−a
2 lim
x→1
nxn+1−nxn xp−1
3 lim
x→a
√x−b−√ a−b x2−a2 (a > b) 4 lim
x→m+
√x−√ m−√
√ x−m x2−m2
5 lim
x→−∞
√3
4 +x−x3+mx 6 lim
x→−∞
1 xn
h 1
1−x−(1 +x+· · ·+xn)i
Exercice 6: Théorème de Comparaison et d’Encadrement
I)
1 Démontrer que pour toutx∈[1; +∞[,12 ≤ x+1x ≤1.
En déduire lim
x→+∞
x√ x
x+1 et lim
x→+∞
√ x x(x+1)
II) Soitf :R→Rune fonction qui vérifie, pour toutx∈R,1< f(x)<2.
Calculer si possible les limites suivantes :
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1 lim
x→+∞f(x) +x 2 lim
x→+∞xf(x)
3 lim
x→+∞
f(x) x
4 lim
x→+∞
x+f(x) xf(x)
III) Soitf définie sur [0; +∞[ parf(x) =√
3 +x−√ x
1 Montrer quef(x) =√3+x+3 √x puis qu’on a 2√33+x ≤f(x)≤ 2√3x 2 En déduire lim
x→+∞f(x) puis interpréter graphiquement IV)Soit la fonctionf :x7→ x+
√x
√x2+x+1 définie sur R+
1 Montrer que pour toutx∈R+, x2≤x2+x+ 1≤(x+ 1)2 puis quex≤√
x2+x+ 1≤x+ 1 2 Montrer que pour toutx∈R+∗,1−x+11 ≤f(x)≤1 +√1x
3 En déduire la limite def en +∞et interpréter graphique ce résultat.
Exercice 7:
1 Dans chacun des cas, déterminer la limite def en 0 a f(x) =sin(5x)x
b f(x) =sin(5x)sin(3x)
c f(x) = sinx√x d f(x) = sinx22x
e f(x) = sinx+tanx x
f f(x) =x+sinx2+xx
g f(x) =sinx−tanx2 x
2 Démontrer que lim
x→0 1−cosx
x2 =12 3 En déduire les limites suivantes :
a f(x)) = 1−cosx2 x b g(x) = 1−cossin2xx
c h(x) =cosxtan2x−1x d i(x) = √1−cossinx x
e l(x) = lim
x→0 cos√
x−1 x
Exercice 8 : Fonctions Composées
1 Calculer les limites suivantes en utilisant la composition des fonctions a lim
x→+∞cosh
x+1 6x−π
πi b lim
x→+∞
q2x2 x−1
c lim
x→1tan x+1
6x
π
2
d lim
x→+∞cos 1x
e lim
x→+∞
qx2−1 4x2+1
f lim
x→+∞sin
πx2 2x2−3
g lim
x→+∞
πx+1 4x+√ x
2 Calculer les limites suivantes :
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a lim
x→0
cos(x)−cos2(x) x2+x4
b lim
x→0 1−cos(x) tan2(πx)
c lim
x→0
1+sin(2x)−cos(x) 1−sin(x2−cos(x)) d lim
x→0
xsin(2x) 1−cos3(x)
e lim
x→π4 tanx−1
4x−π
f lim
x→0+
√tanx−√ sinx x2√
x
3 Montrer que lim
x→π2 cos(x)
2x−π =−12 (On pourra utiliser le changement de variabley=x−π2
Exercice 9 :
Soit la fonction numérique f :x7→√
x2+ 1−√ x2−1 1 Préciser l’ensemble de définitionDf def et calculer lim
x→+∞f(x) 2 On considère la fonctiong:x7→(√
x2+ 1−√
x2−1) sin(√
x2+ 1−√ x2−1) a Justifier que pour toutx∈Df, g(x) = 2sin(f(x))f(x)
b En déduire lim
x→+∞g(x) c Calculer lim
x→+∞xsin(√
x2+ 1−√ x2−1)
2 Continuité
Exercice 10 :
1 Étudier la continuité def enadans chacun des cas suivants:
a
f(x) = xx+14−1;x6=−1
f(−1) =−4 ;a=−1 b
( f(x) = x√2x+8−3+4x−5;x6= 1
f(1) = 36 ;a= 1
c (
f(x) = √x2+3−x−1√3x+1;x6=−1
f(1) =−14 ;a= 1
d
f(x) = cosx−cos 2xx ;x6= 0
f(0) = 0 ;a= 0
e f(x) =
( x−√
|x|
x−1 six <1
xE(x2) six≥1 a= 1 f f(x) =
cosx
sinx−1 six∈]π2, π]
0 six=π2 a= π2
2 Soitf la fonction définie surRpar :f(x) =
√x+ 2 si ≥ −2 2x2− |x3|
x+ 2 six <−2 a Étudier la continuité def en 2.
b Étudier la continuité de f sur ]− ∞; −2[ et sur [−2 ; +∞[. c La fonctionf est-elle continue surR?
Exercice 11 :
Étudier la continuité de la fonctionf sur l’intervalleI dans chaque cas :
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1 f(x) = 3x2−2x+ 1;I=R 2 f(x) =x+1x+2;I=]2; +∞[ 3 f(x) = cos(x2−2x+ 3);I=R 4 f(x) =√
x2−4x;I=]− ∞; 0[
5 f(x) = x3−2x, si x≤1
x2−3x+2
x−1 , si x >1 I=R 6 f(x) =
√
x2+ 1, si x <0 2x+ 1, si x >0 f(0) = 1
I=R
Exercice 12:
Soit la fonctionf de la variable réellexdéfinie par : f(x) =
( |x(x−1)|
(x−1)(|x|+1), si x6= 1
−12, si x= 1 1 Exprimer f sans le symbole de valeur absolue.
2 Exprimer la continuité def aux points d’abscissesx= 0 et x= 1
Exercice 13 :
1 Soit la fonctionf définie sur Rparf(x) =
x2+2x+1
x+1 , si x∈]− ∞;−1[
|x|
2 +12, si x∈[−1; 0]
√1+x−1
x , six∈]0; +∞[ Etudier la continuité def en 0 et en−1.
2 Soit la fonctionf définie sur Rparg(x) =
x2+x
2x , si x∈]− ∞; 0[
1
2, si x= 0 f(x), six∈]0; +∞[ a Montrer queg est continue en 0.
b Montrer queg est continue surR.
c Montrer que l’équation g(x) =x4 admet dans ]1; 2[ au moins une solutionα
Exercice 14 :
1 Considérons la fonctionf définie par :
f(x) = x2E x3
, si x6= 0 f(0) = 12
a Montrer que
f(x)−32 ≤ |x|2 b f est-elle continue enx0= 0 ? 2 Soit la fonction définie sur parf(x) =
1−xE x1
, si x6= 0 0, si x= 0 a Démontrer , pour toutx∈R∗,|f(x)|<|x|.
b Étudier la continuité de f en 0. c Étudier la continuité def enx0>0.
Exercice 15 :
Soitf la fonction parf(x) =
( 2x2−xE(x)−9
E(x)−3 , si x >3
x2−xsin(πx)
2E(x)−1 , si x≤3
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1 Déterminer le domaine Df de définition de la fonctionf. 2 Calculer les limites de la fonction aux bornes deDf
3 Etudier la continuité def surDf
Exercice 16:
Soit
f(x) =x2E x1
, si x6= 0 f(0) = 0
1 Donner l’expression de f sur ]− ∞;−1] et sur ]1; +∞[ 2 Déterminer lim
x→+∞f(x) et lim
x→−∞f(x) 3 Calculer la limite def en 0.
4 Pourn∈N∗ l’expression def suri
1 n+1,n1i
eti
1 n,n−11 i
f admet-elle une limite en n1
Exercice 16 bis : Fonctions Composées
On considère les fonctionsf et g définies parf(x) =x−4√
x+ 5et g(x) =3x+6x−2 1 Déterminer le domaine de définition et continuité de chacune des fonctionsf et g
2 Déterminer le domaine de définition de la fonction composéegof puis exprimer (gof)(x) en fonction dex
3 Déterminer le domaine de continuité de la fonction gof puis étudier les limites aux bornes de son domaine de définition
4 Expliciter la fonctionf og puis étudier ses limites aux bornes de son domaine de définition
Exercice 17 : Prolongement par continuité
1 On considère la fonctionf définie par : f(x) =x2−2x−2, si x >1 f(x) =x+ax−2, si x≤1 Déterminer le réelapour quef soit continue en 1.
2 Trouver le domaine de définition Df de la fonction f définie par f(x) = √x−2−13x−9 et déterminer un prolongement par continuité en 3 def.
3 La fonctionf définie par :f(x) = |x|−3x2−9 est-elle prolongeable par continuité en−3 ? en 3 ? si oui donner le prolongement.
4 La fonctiongdéfinie par : g(x) = x22−1−x−11 est-elle prolongeable par continuité en 1 ?
Exercice 18 :
1 Soit la fonctionf définie sur Rpar : f(x) =
x2−1
2(x+1), si x∈]− ∞;−1[
(m−1)x3+ (5−m2)x+ 1, si x∈[−1; 0]
x 4(√
x+4−2), six∈]0; +∞[
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a Montrer que pour toutm∈R, f est continue en 0.
b Déterminer la valeur dempour quef soit continue en−1.
Dans la suite on considère m= 2
2 a Montrer que l’équationf(x) = 0 admet dans ]−1; 0[ au moins une solutionα b Vérifier queα2+α1 =−1
c Montrer que pour toutx∈]−1; 0[ on a : f(x) = (x−α) x2+αx−α1 3 Soitg la fonction définie sur ]−1; 0[\{α} parg(x) = x2x+α+x+1
Montrer queg est prolongeable par continuité enαet déterminer son prolongement.
Exercice 19 :
Pour chacune des fonctions suivantes:
• DéterminerDf;
• Etudier les branches infinies des courbes représentatives 1 f(x) =xx(x−1)3+x2+12;
2 f(x) =2xx−12−1; 3 f(x) =p
(x+ 2)2−x−13 ; 4 f(x) =x2+sinx x;
5 f(x) =x
x+1 x−1
2
; 6 f(x) =xq
x+1 x−1; 7 f(x) =√
x2−4;
8 f(x) =q
x3 x−1. 2
Exercice 20 : Asymptote et position relative
Soit la fonctionf définie sur Rpar : f(x) =√
9x2+ 6x+ 5 1 a Donner le domaine de définition def.
b Calculer les limites def en +∞et en −∞. 2 Déterminer alors : lim
x→−∞[f(x) + (3x+ 1)] et lim
x→+∞[f(x)−(3x+ 1)]
3 En déduire que (Cf) admet deux asymptotes obliques au voisinages de +∞et de −∞. 4 a Montrer que pour tout réelx: 9x2+ 6x+ 5>(3x+ 1)2
b En déduire les positions de (Cf) par rapport à ses asymptotes.
Exercice 21 :
Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbeC.
1 C : y= x+ 2
2x−3 D1 : x=3
2 D2 : y= 1 2 2 C : y= x2+ 1
x−3 D1 : x= 3 D2 : y=x+ 3 3 C : y=√
4x2−3x+−√
x2+x D1 : y=x−5
4 D2 : x=−x+5 4
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4 C : y=√
4x2−3x+ 1 +x+1
4 D1 : y=−x+ 1 D2 : y= 3x−1 2
Exercice 22 :
Soit la fonctionf définie sur Rpar :
(f(x) = 1+cos(πx)π(1+x) six >−1 f(x) =√
x2+x six≤ −1 1 Calculer lim
x→−∞f(x), lim
x→−∞
f(x)
x et lim
x→−∞f(x) +x. Conclure.
2 Montrer que pour toutx∈]−1,+∞[, on a : 0≤f(x)≤ 2 π(1 +x). 3 En déduire lim
x→+∞f(x) et lim
x→−∞f◦f(x).
4 Calculer lim
x→(−1)+
f(x) x+ 1.
Exercice 23 :
Soitφla fonction définie par : φ(t) =
( x2+1
(x2−1)2, si x <0 1 +x√
x, si x≥0 et Cφ sa courbe représentative dans le plan muni repère orthonormal (O;~i;~j)
1 Préciser le domaine de définition deDφ deφ 2 Etudier la continuité deφen 0
3 Calculer les limites deφaux bornes deDφ
4 Déterminer toutes les asymtotes àCφ
5 Etudier la branche infinie deCφ
3 Au tour du Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soita et b des réels tels quea < b et f : [a, b]→Rune fonction continue sur l’intervalle [a, b] deR. Alorsf prend toute valeur intermèdiaire entref(a)et f(b).Plus précisément:
Pour tout réel ` compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un élément c ∈[a;b] tel que f(c) =`
Remarque :
- On traduit ce résultat en disant que, sif prend les valeursm etM sur l’intervalle, elle prend aussi toute valeur` intermédiaire entrem etM.
-Attention : c n’est pas forcément unique, la valeur`peut être atteinte en plusieurs points.
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3.1 Applications du théorème des valeurs intermédiaires
3.1.1 Application directe
Exercice 24 :
Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dansIdans chaque cas : 1 f(x) = 2x3−6x+ 3, I= [−2; 2]
2 f(x) =√
x2+ 1−2, I=]0; 1[
3 f(x) =x5−3x2−4, I=]−1; 2[
Exercice 25 :
Soitf : [−1; 4]→Rune fonction continue. On suppose connu le tableau de variations def. 1 Montrer que l’équationf(x) = 0 admet une unique solutionαdans [−1; 4] et queα∈[1; 4]. 2 Dresser le tableau de signes de f(x) en fonction deα
x
f
−1 0 1 4
−5
−5
−1
−1
−2
−2
33
3.1.2 Point fixe
1 Soit f une fonction continue de [a;b] dans [a;b]. Montrer que l’équationf(x)−xadmet au moins une solution dans [a;b]. (Poserg(x) =f(x)−x)
2 Soitf une application continue de l’intervalle [0,1]dans[0,1]
a Prouver que la fonctiong définie parg(x) =f(x)−xest continue sur l’intervalle [0,1]
b Prouver qu’il existe un réelx0 de [0,1] tel quef(x0) =x0 Application :Les questions suivantes sont toutes indépendantes :
1 Démontrer que l’équation cos(2x) = 2sin(x)−2 admet au moins une solution dans l’intervalle
−π6;π2 2 Donner une solution exacte de l’équation cos(2x) = 2sin(x)−2 dans
−π6;π2 3.1.3 Proposée au Concours junior Polytech 2010
Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [0; 1] telle quef(0) = f(1) Montrer que, pour tout entier non nuln, il existe un réel x0 de l’intervalle [0; 1] tel quef x0+1n
=f(x0) 3.1.4 Une autre application
Soitf une fonction continue sur un segment [a;b] deux réelsx0strictement positifs. Montrer qu’il existe au moins un réelc∈[a;b] tel que l’on aitαf(α) +βf(b) = (α+β)f(c)
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3.1.5 Une propriété de la fonction lipschitzienne
Soit f une fonction de [a; b] dans [a;b] telle que ∀x6=y :|f(x)−f(y)|< k|x−y|avec 0< k <1 Montrer que l’équationf(x) =xadmet alors toujours une et une solution sur [a;b].
3.2 Limites et Graphiques Exercice 26 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,~i,~j)
La figure ci-dessus est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [−2; 5]. En utilisant le graphique :
1 Déterminer lim
x→2+f(x), lim
x→3+f(x), lim
x→3−f(x), lim
x→5−f(x) 2 Déterminerf([−2; 3]) etf(]3,5])
3 Déterminerf(3), f est-elle continue en 3.
4 Déterminer le nombre de solution de l’équation : f(x) =−1 Pensée :
« Le propre d’un Grand Homme est de faire reculer les limites du possible. Même en quittant une modeste place, l’Homme de mérite laisse un grand vide, car la sphère de son utilité dépasse toujours les limites de son emploi. De surcroît dans ce monde d’un jour où tout vice est honni, le bien est limité, le mal est infini.»
