Chapitre 7
Limite et continuité
Sommaire
7.1 Limite et continuité en un point . . . 55
7.1.1 Limite nie en un point . . . 55
7.1.2 Continuité en un point. . . 56
7.1.3 Développement limité à l'ordre 0 . . . 56
7.1.4 Limite innie . . . 57
7.1.5 Limite en l'inni . . . 58
7.2 Limites à gauche et limite à droite - prolongement par continuité . . . 59
7.2.1 Limite à gauche et limite à droite. . . 59
7.2.2 Prolongement par continuité . . . 61
7.3 Propriétés . . . 61
7.3.1 Diérentes caractérisations de la limite. . . 61
7.3.2 Opérations algébriques. . . 62
7.4 Calculer une limite . . . 64
7.4.1 Limites usuelles. . . 64
7.4.2 Composition des limites . . . 65
7.4.3 Limites et inégalités . . . 65
7.5 Application : étude des suites vériant une relation de récurrence de la formeun+1=f(un) . . . 66
7.5.1 Limite et point xe. . . 66
7.5.2 Exemples avecf croissante . . . 67
7.5.3 Exemple avecf décroissante . . . 67 Ce chapitre est la continuité du chapitre 4 sur les suites réelles. Nous allons dénir la notion de limite en un point (ou en l'inni) d'une fonction puis nous adapterons et compléterons les techniques étudiées pour calculer la limite d'une suite à celle d'une fonction. Nous parlerons également de continuité en un point, notion en lien étroit avec la limite en un point d'une fonction.
Puisque nous n'étudierons que des propriétés au voisinage d'un point , on dira que nous faisons une étude locale de la fonction. Nous étendrons nos dénitions à l'étude globale dans un chapitre futur.
Dans le cas des suites, nous avons déni la limite lorsque n tendait vers +∞. Lorsqu'on travaille avec une fonction réelle, on peut également dénir et étudier la limite lorsque la variable tend vers −∞ (ce cas n'est pas très diérent de ce qui se passe en+∞) mais aussi et surtout lorsque la variable tend vers une valeur réelle x0. Cette diérence s'explique par le fait qu'il est possible d'approcher par des réels le réel x0 sans l'atteindre, ce qui n'était pas le cas pour les entiers.
7.1. LIMITE ET CONTINUITÉ EN UN POINT
Dans ce chapitre,Idésigne un intervalle deR, privé éventuellement d'un nombre ni de points.
Notation 7.1
7.1 Limite et continuité en un point
7.1.1 Limite nie en un point
Soit f :I → R. Soit x0 ∈R un élément ou une extrémité deI. Soit` un réel. On dit que f admet pour limite`enx0 sif(x)est aussi proche de`que l'on veut dès lors quexest assez proche dex0. Mathématiquement, cela s'écrit
∀ >0, ∃α >0 /∀x∈I∩[x0−α, x0+α], |f(x)−`|< . Dénition 7.1 (Limite nie en un point)
La condition x∈I∩[x0−α, x0+α]signie quex∈I ET que|x−x0| ≤α. Remarque 7.1
Illustration :
Dans les conditions de la dénition précédente, on a :
Si f admet une limite en x0 alors cette limite est unique.
On note alors`= lim
x0 f = lim
x→x0
f ouf(x) −→
x→x0
`
Si x0∈I alors nécessairement`=f(x0). Théorème 7.1 (Unicité de la limite)
Exemple 7.1. Soitf la fonction dénie surRparf(x) = 4x−1et x0= 1.Quandxse rapproche de1, f(x)se rapproche de 3 (=f(1)).
Exercice 7.1. Montrer que : 1) pour tout n∈N∗, xn−→
x→00. 2) pour tout x0∈R,|x| −→
x→x0
|x0|.
7.1.2 Continuité en un point
La notion de continuité d'une fonction est omniprésente en analyse. Elle repose sur la dénition précé- dente.
Soient f :I →Retx0∈I. On dit quef est continue enx0 lorsque f admet une limite nie enx0. Cette limite sera alors nécessairementf(x0).
Finalement, f est continue enx0 si
x→xlim0
f(x) =f(x0).
Dénition 7.2 (Continuité en un point)
Exemple 7.2. La fonctionf :x7→e4x−1x est dénie surR− {0}. Elle est continue en tout point de son ensemble de dénition. En particulier, elle est par exemple continue en 1.
Les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielle, logarithme, valeur absolue, x 7→ xa et x 7→ bx pour b > 0 sont continues en tout point de leur intervalle de dénition.
Théorème 7.2 (Continuité des fonctions usuelles)
Exercice 7.2. Comment démontrer la continuité en 0 de la fonction valeur absolue ? De quelle nouvelle notion aurions-nous besoin ?
7.1.3 Développement limité à l'ordre 0
La notion de développement limité est très importante en analyse. Elle sert en particulier à lever des formes indéterminées lorsqu'on étudie des limites de fonctions. On peut dénir un développement limité à tout ordrenentier naturel. Pour le moment, voyons ce qu'est un développement limité à l'ordre 0.
Soientf :I→Retx0un élément ou une extrémité deI. On dit quef admet un développement limité à l'ordre 0 enx0 lorsqu'il existe un réel`et une fonction:I→Rtels que :
i) ∀x∈I, f(x) =`+(x). ii) (x) −→
x→x0
0.
Dénition 7.3 (DL0(x0))
Exercice 7.3. 1) Montrer quex7→(1 +x)2admet un développement limité à l'ordre 0 en 0.
2) Montrer quex7→cos(x)admet un développement limité à l'ordre 0 en 0. Pouvez-vous en déduire quelque chose ?
Soient f :I→Retx0 un élément ou une extrémité deI. f admet une développement limité à l'ordre 0 en x0 si et seulement sif admet une limite nie enx0.
En particulier, si x0 ∈ I, f admet une développement limité enx0 si et seulement si f est continue enx0.
Propriété 7.1
7.1. LIMITE ET CONTINUITÉ EN UN POINT
7.1.4 Limite innie
Nous venons de voir la dénition de la limite nie d'une fonction en un point. Il arrive qu'une telle limite ne soit pas nie.
Soient f :I→Retx0 un élément ou une extrémité deI. On dit quef tend vers +∞quand x tend vers x0 si f(x) est aussi grand que l'on veut dès lors que x est assez proche de x0. Mathématiquement, cela s'écrit :
∀A >0, ∃α >0/ ∀x∈Iet |x−x0|< α, f(x)≥A L'unicité de la limite s'étend à ce cas. On note alors lim
x→x0
f(x) = +∞ouf(x) −→
x→x0
+∞. Dénition 7.4 (Limite innie en un point)
Illustration :
La dénition s'adapte parfaitement pour lim
x→x0
f(x) =−∞. Remarque 7.2
Exercice 7.4. Montrer que lim
x→0ln(|x|) =−∞.
Si
x→xlim0
f(x) = +∞
alors la droite verticale d'équationx=x0 est dite asymptote verticale àCf (courbe représen- tative de f) en+∞.
Cela reste vrai en remplaçant +∞par−∞.
Dénition 7.5 (Interprétation graphique : asymptote vertciale))
Exemple 7.3. Donner des exemples !
7.1.5 Limite en l'inni
Pour terminer de dénir les limites d'une fonction, il faut s'intéresser au cas où la variable tend vers l'inni.
Limite nie en l'inni
Soit ` un nombre réel. On dit quef tend vers` en +∞ (resp.−∞)si f(x) est aussi proche que l'on veut de` dès lors quexest susamment grand (resp. petit).
Mathématiquement, cela s'écrit :
∀ >0, ∃B >0 tel que∀x>B,|f(x)−l|6
(resp.∀ >0, ∃B <0 tel que∀x6B,|f(x)−l|6) On note cette limite lim
x→+∞f(x) =l (resp. lim
x→−∞f(x) =l).
Dénition 7.6 (Limites nies en l'inni)
Illustration :
Si limx→+∞f(x) =`, alorsy=` est asymptote horizontale àCf au voisinage de+∞. Cela reste valable en remplaçant +∞ par−∞.
Dénition 7.7 (Interprétation graphique : asymptote horizontale)
Exemple 7.4. Donner des exemples !
Limite innie en l'inni
7.2. LIMITES À GAUCHE ET LIMITE À DROITE - PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ
On dit quef tend vers+∞(resp.−∞) en+∞sif(x)est aussi grand que l'on veut dès que xest susamment grand (resp. petit).
On peut traduire ceci mathématiquement par :
∀A >0, ∃B >0tel que ∀x>B, f(x)>A.
(resp. ∀A >0,∃B <0tel que ∀x6B, f(x)>A).
On note cette limite lim
x→+∞f(x) = +∞ (resp. lim
x→−∞f(x) = +∞).
Dénition 7.8 (Limites innies en l'inni)
Illustration :
Exercice 7.5. lim
x→−∞ln(|x|) = +∞.
Certaines fonctions n'ont pas de limite en l'inni. C'est le cas, par exemple, de la fonctionsinx. Remarque 7.3
7.2 Limites à gauche et limite à droite - prolongement par continuité
7.2.1 Limite à gauche et limite à droite
Soitf :I7→Ret x0 un élément ou une extrémité deI.
Lorsqu'on considèrela limite quandxtend versx0sous la contraintex < x0(c'est-à-dire xs'approche de x0 par sa gauche), on parle de limite à gauche def en x0 et on note
x→lim
<x0f(x)ou lim
x→x−0
f(x).
On dénit de même la limite à droite de f en x0, lorsque x s'approche de x0 par sa droitec'est-à-dire sous la contrainte x > x0: on la note lim
x→>x0f(x)ou lim
x→x+0
f(x). Dénition 7.9
Sif admet une limite à droite (resp. à gauche), cette limite est unique. On parle donc bien de la limite dans la dénition précédente.
Remarque 7.4
La notion de limite à gauche (resp. à droite) n'a de sens que s'il est possible d'arriver versx0sous la contraintex < x0(resp. sous la contraintex > x0) en restant dans l'intervalleI, c'est à dire siI∩]−∞, x0[6=∅(resp.I∩]x0,+∞[6=∅).
Remarque 7.5
Exemple 7.5. Ca n'a pas de sens de chercher la limite à gauche de 0 de la fonction ln. Exercice 7.6. Etudier les limites à gauche et à droite en0 de la fonction inverse.
Soitf :I→Ret `un élément deR. Alors, si¯ x0∈/ I, on a équivalence entre : 1. f admet`pour limite enx0
2. f admet`pour limite à gauche et pour limite à droite enx0. Et dans ce cas, lim
x→x0
f(x) = lim
x→<x0f(x) = lim
x→>x0f(x). Propriété 7.2 (Lien avec la limite)
Exemple 7.6. La fonction x7→ 1x admet+∞pour limite à droite en 0 et−∞pour limite à gauche en 0. Elle n'admet donc pas de limite en 0.
Exercice 7.7. La fonction partie entière admet-elle une limite en 1 ?
Exercice 7.8. Soit f dénie par f(x) =xpour x >1 et parf(x) = 2x2−1 pour x <1. Etudier les limites à gauche et à droite def en 1.f possède t-elle une limite en 1 ?
Soitf :I→R. Alors, six0∈I, on a équivalence entre : 1. f est continue enx0.
2. f admetf(x0)pour limite à gauche et à droite enx0. Et dans ce cas, lim
x→x0
f(x) = lim
x→<x0f(x) = lim
x→>x0f(x). Propriété 7.3 (Lien avec la continuité)
On peut parler de continuité à gauche et de continuité à droite.
Remarque 7.6
Exemple 7.7. La fonction f = 1R+ est discontinue en0 car sa limite à gauche vaut 0 et sa limite à droite vaut 1. Commef(0) = 1, la fonction est continue à droite mais pas à gauche.
Exercice 7.9. 1) Que dire de la continuité de 1{0} en 0 ?
2) Que dire de la continuité en 1 de la fonctionf dénie parf(x) =x−1six <1etf(x) = ln(x)si x≥1?
7.3. PROPRIÉTÉS
7.2.2 Prolongement par continuité
Soient Iun intervalle contenant le pointx0 etf :I\{x0} →R.
Si f admet une limite nie`∈Renx0 alors la fonctionfedénie par
fe(x) =
f(x) six∈I\{x0}
` six=x0
est continue enx0. On l'appelleprolongement par continuité def enx0. Dénition 7.10 (Prolongement par continuité)
On fait souvent l'abus de notation f˜=f. Remarque 7.7
Exemple 7.8. La fonctionf :x7→xln(x)se prolonge par continuité en 0 en posantf(0) = 0. Exercice 7.10. Peut-on prolonger les fonctions suivantes par continuité ?
a) Pourα >0, f :x7→xα=eαln(x)en 0 ?
b) f :x7→ sin(x)x six <0 etf(x) = 1−ln(x)1 pour x >0 en 0 ? c) f dénie surR∗ parf(x) =|x|x en 0 ?
7.3 Propriétés
7.3.1 Diérentes caractérisations de la limite
Puisque nous étudions des limites de fonctions diverses et variées, il est intéressant d'avoir diérentes caractérisations de la limite. En eet, cela nous laisse le choix d'utiliser la plus adaptée dans notre cas.
Soient :I7→Retx0un élément ou une extrémité deI.
Si `∈R, on a
f(x) −→
x→x0
` ⇔ f(x)−` −→
x→x0
0 ⇔ |f(x)−`| −→
x→x0
0.
Si `∈R¯ etx0∈R, on a
f(x) −→
x→x0` ⇔ f(x0+h)−→
h→0`.
Propriété 7.4 (Caractérisations diverses)
Soientf :I→Retx0 un élément ou une extrémité deI (x0∈R) et¯ l∈R. Si¯ f a pour limite
`enx0et si la suite(un)converge versx0avec pour toutn∈N,un∈I, alors(f(un))na pour limite `.
Propriété 7.5 (Caractérisation séquentielle)
Cette propriété sert souvent pour montrer par l'absurde qu'une fonction n'a pas de limite en x0.
Remarque 7.8
Exercice 7.11. 1) La fonctionf dénie sur]0; +∞[parf(x) = sin x1admet-elle une limite en 0 ? 2) Soit f la fonction dénie surRparf =1R\Q. Montrer que la fonction f n'est continue en aucun
point deR−Q.
7.3.2 Opérations algébriques
Comme pour les suites dans le chapitre précédent, nous allons rappeler comment se comporte les limites par opérations. Commençons par étendre la notion de limite par valeurs inférieures et supérieures aux fonctions.
Depuis le début du chapitre, nous étudions ce qu'il se passe pour des fonctions au voisinage d'un point (étude locale). Lorsque nous étudions les suites, être au voisinage de +∞ signiait juste que n était très grand (plus grand qu'un certain rang N). Voyons comment généraliser proprement cette notion de voisinage d'un pointx0.
On appelle voisinage du réelxtout intervalle de la forme[x−α, x+α]avecα >0.
On appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) tout intervalle de la forme [A,+∞[ (resp.
]− ∞, A]) avecA∈R.
Dénition 7.11 (Voisinage d'un point)
Soientf :I→Retx0∈ ¯
Run élément ou une extrémité deI. On dit quefvérie une propriété au voisinage de x0 dès lors qu'il existe un voisinageV dex0 tel que f vérie la propriété sur I∩V.
Dénition 7.12 (Propriété vraie au voisinage d'un point)
Exercice 7.12. Que signie par exemplef majorée par 3 au voisinage de 1 ?
Soientf :I→Retx0un élément ou une extrémité deI. Soit`un réel. On dit quef tend vers
`enx0par valeurs supérieures (resp. inférieures)lorsquef tend vers`enx0et qu'au voisinage dex0, f(x)> `(resp.f(x)< `).
Mathématiquement, cela s'écrit : i) lim
x→x0
f(x) =`
ii) ∃β >0/,∀x∈(I∩[x0−β;x0+β])\{x0},f(x)> `(resp.f(x)< `). On note alors lim
x→x0f(x) =`+ (resp. lim
x→x0f(x) =`−).
Dénition 7.13
Voyons maintenant comment se comportent les limites par opérations (on notera qu'on obtient les mêmes FI que dans le cas des suites).
7.3. PROPRIÉTÉS
Soient f et g deux fonctions dénies surI admettant des limites en x0 (x0 étant un élément ou une extrémité deI doncx0∈R) et¯ λ∈R. On a alors :
Limite de (λf)enx0 :
λ\limf −∞ `∈R +∞
λ <0 +∞ λ` −∞
λ= 0 0 0 0
λ >0 −∞ λ` +∞
Limite de f+g enx0 :
limg\limf −∞ `∈R +∞
−∞ −∞ −∞ FI
`0∈R −∞ `+`0 +∞
+∞ FI +∞ +∞
Limite de f×g enx0 :
limf\limg −∞ ` <0 `= 0 ` >0 +∞
−∞ +∞ +∞ FI −∞ −∞
`0 <0 +∞ ``0 0 ``0 −∞
`0 = 0 FI 0 0 0 FI
`0 >0 −∞ ``0 0 ``0 +∞
+∞ −∞ −∞ FI +∞ +∞
Limite de (1g)enx0(on supposeg(x)6= 0au voisinage dex0) :
limg −∞ 0− `∈R∗ 0+ +∞
lim 1/g 0− −∞ 1/` +∞ 0+
Limite de f /genx0 (on supposeg(x)6= 0au voisinage dex0) :
limg\limf −∞ ` <0 `= 0 ` >0 +∞
−∞ FI 0+ 0 0− FI
`0 <0 +∞ `/l0 0 `/l0 −∞
0− +∞ ∞ FI −∞ −∞
0+ −∞ −∞ FI +∞ +∞
`0 >0 −∞ `/l0 0 `/l0 +∞
+∞ FI 0− 0 0+ FI
Théorème 7.3
Soient f et g deux fonctions deI dansR,x0∈I etλ∈R.
Sif etg sont continues enx0alors, dès lors qu'elles sont bien dénies, les fonctionsf+g,λf, f ×g,1/f et f /gsont continues enx0.
Corollaire 1 (Opérations et continuité en un point)
7.4 Calculer une limite
7.4.1 Limites usuelles
Comme pour le Chapitre 5, le cours peut permettre de lever directement les formes indéterminées. C'est le cas des croissances comparées ou du nombre dérivé.
lim
x→+∞
ln(x) x = 0
lim
x→0xln(x) = 0
lim
x→−∞xex= 0
lim
x→+∞
ex
x = +∞.
Propriété 7.6 (Croissances comparées)
Comme nous l'avons déjà vu, ces croissances comparées se généralisent lorsqu'il y a des puis- sances strictement positives aux numérateurs et aux dénominateurs.
Remarque 7.9
lim
x→0 ln(1+x)
x = 1
lim
x→0 ex−1
x = 1
lim
x→0 sin(x)
x = 1
Propriété 7.7 (Nombre dérivé)
Les méthodes étudiées pour lever les formes indéterminées avec les suites peuvent également fonctionner avec les fonctions.
Remarque 7.10
Lorsqu'on chercher la limite d'une fonction en x0∈R, on commence par essayer de conclure¯ directement grâce aux opérations élémentaires sur les limites. Si on est dans le cas d'une forme indéterminée, on essaie de la lever en utilisant les méthodes des suites, c'est à dire en :
utilisant directement le cours (croissance comparée ou nombre dérivé).
eectuant un changement de variable pour se ramener à une limite connue (croissance comparée ou nombre dérivée).
factorisant par le terme dominant.
utilisant la quantité conjuguée.
Attention aux puissances lorsque xapparaît en haut et en bas : on pense à la forme exponen- tielle !
Méthode 7.2 (Recherche d'une limite)
Exercice 7.13. Trouver les limites suivantes :
7.4. CALCULER UNE LIMITE
1) √1+x−1x en0 2) e5x3x2 en0 et en+∞
3) x10e−0,1xln(x)3en+∞
4) ln(x)−ln(2x)en+∞
5) √
x2+ 1−xen+∞
6) −xx32+4+1 en−∞
7) exx+1 en+∞. 8) √x+xx+x23 en+∞
9) xln 1 +x1en+∞. 10) xln(x)21 en0. 11) xx+13+1 en−1.
Cette liste de méthodes n'est bien entendu pas exhaustive. Voici encore quelques outils qui peuvent permettent de conclure dans des cas particuliers.
7.4.2 Composition des limites
Soient f :I→R,J ⊂Rtel quef(I)⊂J, g:J →Retx0∈R¯ une extrémité ou un élément deI.
Si f a pour limitea∈ ¯
Renx0 et sig a une limite b∈ ¯
Renaalorsg◦f admetb pour limite enx0.
Autrement dit, lim
x→x0
g(f(x)) = lim
X→ag(X) =b. Théorème 7.4 (Limite et composition)
Soient f :I→R,J ⊂Rtel quef(I)⊂J, g:J →Ret x0 ∈I. Si f est continue enx0 et g continue enf(x0)alorsg◦f est continue enx0.
Corollaire 2 (Continuité en composition)
Exercice 7.14. 1) Quelle est la limite deln(8x2−5) lorsquextend vers+∞? 2) Montrer que lim
x→0
1−cos(x) x2 = 12.
7.4.3 Limites et inégalités
Voyons maintenant les théorèmes liant limite et inégalités (ce sont des généralisations de ce qu'on a déjà vu pour les suites dans le Chapitre 5).
Soientf etgdeux fonctions dénies surI etx0∈ ¯
Run élément ou une extrémité deI. Sif et g ont des limites nies enx0 et si, au voisinage dex0,f ≤g, alors
x→xlim0f ≤ lim
x→x0g.
Théorème 7.5 (Passage à la limite dans les inégalités)
Les remarques que nous avions faites pour les suites tiennent toujours :
il faut d'abord avoir montré quef et g admettent des limites enx0 pour appliquer ce théorème.
le passage à la limite fait perdre les inégalités fortes (c'est à dire que sif < gau voisinage dex0, la conclusion reste lim
x→x0
f ≤ lim
x→x0
g.) Remarque 7.11
Ce théorème est vrai en particulier pourg la fonction constante.
Que dit alors le théorème dans ce cas là ? Remarque 7.12
Soientf,get htrois fonctions dénies surIetx0∈R¯ un élément ou une extrémité deI. Sif et gadmettent`∈Rcomme limite nie enx0, et si, au voisinage de x0, on af ≤h≤g, alors hadmet également`comme limite enx0.
Théorème 7.6 (Encadrement)
Soientf et gdeux fonctions dénies surI etx0∈R¯ un élément ou une extrémité deI. Si, au voisinage dex0, f ≤g et si f(x) −→
x→x0
+∞alorsg(x) −→
x→x0
+∞. Sous les mêmes hypothèses mais sig(x) −→
x→x0−∞, alorsf(x) −→
x→x0−∞. Théorème 7.7 (Comparaison)
Les deux théorèmes précédents donnentl'existence de la limite ainsi que sa valeur. Il n'est donc pas utile dans ce cas de démontrer d'abord l'existence d'une limite.
Remarque 7.13
Exercice 7.15. Quelles sont les limites des fonctions suivantes en les points mentionnés ? 1) f(x) =xbx1cen0.
2) g(x) =bx1cen0+. 3) h(x) =xsin x1
en0.
7.5 Application : étude des suites vérifiant une relation de récurrence de la forme u
n+1= f (u
n)
7.5.1 Limite et point xe
L'étude de telles suites repose sur le théorème suivant.
Soient I un intervalle,f : I 7→ I une fonction continue et (un)n∈N une suite réelle vériant u0∈I et, pour toutn∈N,un+1=f(un).
Si (un)n∈Nconverge vers un réell∈I, alorsf(l) =l. On dit quel est un point xe def. Théorème 7.8
7.5. APPLICATION : ÉTUDE DES SUITES VÉRIFIANT UNE RELATION DE RÉCURRENCE DE LA FORME UN+1=F(UN)
C'est le seul résultat à connaître concernant les suitesun+1=f(un). Il arme que, lorsquef est continue, la limite éventuelle de (un)n∈N est à chercher parmi les points xes def.
Remarque 7.14
7.5.2 Exemples avec f croissante
Exercice 7.16. Etudier les suites dénies par∀n∈N, un+1=√ un et : 1. u0=12.
2. u0= 2. 3. u0∈R∗+.
Exercice 7.17. Etudier les suites dénies paru0∈R∗+ et ∀n∈N, un+1=un+u2n.
Quelles remarques pouvez-vous faire après avoir vu ses exercices ? Remarque 7.15
Bilan : aux vues de ces exemples, peut-on proposer une méthode pour étudier de telles suites ?
7.5.3 Exemple avec f décroissante
Exercice 7.18. On veut étudier les suites dénies paru0∈[0,√
2]et∀n∈N,un+1=√
2−un=f(un). 1) Etudier les variations de la fonction f sur]− ∞,2].
2) Vérier que cette suite est bien dénie. Dans quel intervalle se trouve un pour toutn? 3) Rechercher les points xes def sur cet intervalle.
4) Quelle conjecture peut-on faire graphiquement sur le comportement de cette suite ? 5) Montrer que∀n∈N, |un+1−1| ≤ √|un−1|
2−√ 2+1. 6) On pose alors α= √ 1
2−√ 2+1.
Montrer alors que∀n∈N,|un−1| ≤αn|u0−1|.
7) En déduire que (un)n∈N converge et déterminer sa limite.
