Notion de limite
1`ereSExercice 1 : Construction et longueur de deux spirales 1. Spirale harmonique
On part du carr´eA0B0C0D0 de cˆot´e 4.
On construit alors le carr´eA1B1C1D1tel queA1 ∈[A0B0],B1 ∈[B0C0],C1 ∈[C0D0],D1 ∈[D0A0], avec les longueurs A0A1 = 1, B0B1 = 1, C0C1 = 1 etD0D1 = 1.
On poursuit avec le carr´eA2B2C2D2 tel queA2 ∈[A1B1],B2 ∈[B1C1],C2 ∈[C1D1],D2 ∈[D1A1], avec les longueurs A1A2 = 1
2, B1B2 = 1
2, C1C2 = 1
2 etD1D2 = 1 2. . . .
On construit le n-i`eme carr´e AnBnCnDn tel que An ∈ [An−1Bn−1], Bn ∈ [Bn−1Cn−1], Cn ∈ [Cn−1Dn−1], Dn ∈ [Dn−1An−1], avec les longueurs An−1An = 1
n, Bn−1Bn = 1
n, Cn−1Cn = 1 n et Dn−1Dn = 1
n.
On construit ainsi la spiraleS form´ee par la ligne bris´ee(infinie) A0A1A2A3. . . An. . .. On note alors ln la longueur de la ligne bris´ee A0A1A2. . . An.
A0 B0
C0
D0
A1
B1
C1
D1
A2A3
a) Donner les longueurs l1, l2 et l3
b) Donner l’expression de ln.
c) Quel est le sens de variation de (ln) ?
d) Peut-on trouver un entier naturel N tel que ln>4 pour tout entier n >N? e) Peut-on trouver un entier naturel N tel que ln>6 pour tout entier n >N? f) Peut-on trouver un entier naturel N tel que ln>10 pour tout entier n >N? g) Peut-on trouver un entier naturel N tel que ln>100 pour tout entier n>N? h) Que peut-on donc dire de la longueur de la spirale ?
2. Spirale g´eom´etrique
On part du carr´eA0B0C0D0 de cˆot´e 4.
On construit alors le carr´e A1B1C1D1 tel que :
−−−→ A0A1 = 1
4
−−−→
A0B0, −−−→ B0B1 = 1
4
−−−→
B0C0, −−−→ C0C1 = 1
4
−−−→
C0D0, et −−−→
D0D1 = 1 4
−−−→ D0A0.
On poursuit de mˆeme avec le carr´eA2B2C2D2 tel que
−−−→ A1A2 = 1
4
−−−→
A1B1, −−−→ B1B2 = 1
4
−−−→
B1C1, −−−→ C1C2 = 1
4
−−−→
C1D1, et −−−→
D1D2 = 1 4
−−−→ D1A1.
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. . .
On construit le n-i`eme carr´eAnBnCnDn tel que
−−−−−→ An−1An= 1
4
−−−−−−→
An−1Bn−1, −−−−−→ Bn−1Bn = 1
4
−−−−−−→
Bn−1Cn−1, −−−−−→ Cn−1Cn = 1
4
−−−−−−→
Cn−1Dn−1, et−−−−−→ Dn−1Dn = 1
4
−−−−−−→
Dn−1An−1. On construit ainsi la spiraleS form´ee par la ligne bris´ee (infinie) A0A1A2A3. . . An. . ..
On note alors Ln la longueur de la ligne bris´ee A0A1A2. . . An.
A0 B0
C0
D0
A1
B1
C1
D1
A2
A3
A4
a) Donner les longueurs L1, L2 et L3. b) Donner l’expression de Ln.
c) Quel est le sens de variation de (Ln) ?
d) Peut-on trouver un entier N tel que Ln>3 pour tout entier n >N? e) Peut-on trouver un entierN tel que Ln>4 pour tout entier n >N? f) Peut-on trouver un entier N tel que Ln>5 pour tout entier n >N?
g) Que peut-on conjecturer pour les valeurs de Ln pour des ”grandes valeurs” de n? Que peut-on dire de la longueur de la spirale, valeur limite de la suite (Ln) ? Exercice 2 : Soit la suite (un) d´efinie explicitement parun= 3n+ 2
6 + 5n. Calculer les premiers termes u0, u1, u2, . . .
Conjecturer le comportement limite des termes un pour des grandes valeurs de n.
Exercice 3 : On consid`ere la suite (un) d´efinie par son premier terme u0 = 1 et par la relation, pour tout entier naturel n, un+1= 2
3un+ 1.
1. Calculer les premiers termes u1, u2, u3, . . .
Conjecturer le comportement limite des termes un pour des grandes valeurs de n. 2. On pose, pour tout entier naturel n, vn =un−3.
a) Montrer que (vn) est une suite g´eom´etrique, dont on pr´ecisera le premier terme et la raison.
b) Exprimer vn en fonction den puis un en fonction de n. c) Commenter, `a l’aide de ce r´esultat, la conjecture faite en 1.
Exercice 4 :Soit la suite (un) d´efinie par r´ecurrence par :u0 = 1 puis, pour toutn∈IN,un+1 = 5un+ 3 un+ 3 . 1. Calculer les premiers termes u1, u2, u3, . . .u10, . . ., u20, `a l’aide (conseill´ee. . .) d’un algorithme et
d’un programme.
Conjecturer le comportement des termesun lorsque l’entier n est grand.
2. a) On pose vn = un−3
un+ 1. Montrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique.
b) Exprimer alors vn en fonction den, puis un en fonction de n.
c) Commenter, `a l’aide de ce dernier r´esultat, la conjecture faite au d´ebut.
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