Fractions rationnelles (version chantier)

Fractions rationnelles (version chantier)

Marc SAGE 6 février 2018

Table des matières

1 Pour se faire la main 2

2 DÉS et dérivées 2

3 Engendrer les puissancesvia les soustraction et inversion 2

4 Applications additives et inversives 2

5 Composée de fractions 3

1

1 Pour se faire la main

Décomposer dans C(X)les fractions suivantes :

10X³ (X²+1)(X² 4)

X³ 1 (X 1)(X 2)(X 3) X^{n 1}

Xⁿ 1

(^X2+4)²

(X²+1)(X² 2)²

(puissance croissantes ) ^X2+1

(X+2)⁴(X+1)³

1 (X 1)(Xⁿ 1)

(plusieurs techniques) _X3(X^2X1)²²(X^{3 2} 2)²

qq réponse :

4

X 2+_X+2⁴ + 2_X^X2+1 13

X 3 7 X 2+ 1 N A

N A

29 X+1

10 (X+1)²

29

X+2+_(X+1)² 3 19 (X+2)²

11 (X+2)³

5 (X+2)⁴

NA

1 2(X 1)

3 4X³

2

X +_2(X+1)^{1 1}

2(X 1)² + ¹

2(X+1)² +_X^X2 2 1 4

X

(X² 2)² (à …nir avec les p 2)

2 DÉS et dérivées

soit P unitaire complexe scindé simple. DES de _P¹2 ? DEM ScindonsP=Q

(X ). Alors _P¹2 est de la formeP P0( )2¹

(X )²+P

X ; en tranlatantY =X , on fait division selon puissance croissance de 1 par P⁰( )²+P⁰( )P⁰⁰( )Y jusqu’à ordre 1, ce qui donne (à terminer...) = _P^P₀⁰⁰_{( )}^{( )}3

3 Engendrer les puissances via les soustraction et inversion

montrer que élever au carré est engendré par l’addition/soustractino et l’inversion. Généraliser à une puis- sance quelconque.

DEM : on part de la DES _{a a}¹2 =¹_a +₁¹_a qui se réécrita²=a 1 ¹ a+₁¹_a.

Ensuite, on généralise en _an(1¹ a) = ₁¹_a +^Pn_a^(a)n oùPn est déterminé par (équivalence)Pn= ₁¹_{a 1}^an_a =

1 aⁿ

1 a = 1 +a+a²+ +a^{n 1}, d’oùaⁿ⁺¹=aⁿ 1 ¹

1 a+¹_a+_a¹₂+ +_an¹ et le résultat par récurrence.

4 Applications additives et inversives

Soit K corps et f :K !K additive tq f(a)f ¹_a = 1. Mq f morphisme de corps.

DEM f est injective (si Kerf contient un a 6= 0, on a une contradiction avec f(a)f ¹_a = 1) et f(1) = 1. Quitte à composer par Id(ce qui ne change ni hypohtès ni conclusion) OPSf(1) = 1.

L’identité _{a a}¹2 = ¹_a + ₁¹_a montre que f a² = f(a)² si a 6= 0;1, cas où l’égalité est triviale. Alors ab=^(a+b)2₂^{a2 b2} (en carac6= 2) mqf préserve produit.

2

En carac 6= 3, l’identité a³ =a 1 ¹ a+₁¹_a

1

1

1 a+_a¹+_a¹₂ montre f a³ =f(a)³ si a 6= 0;1 (les dénom sont alors des inverses donc non nuls), cas où égalité claire, puis on écritab= ^(a+b)_3(a+b)^{3 a3 b3}, d’oùf(ab) =f(a)f(b) dès quea+b6= 0. Si somme nulle, alorsa+ (b+ 1)6= 0, doncf(a(b+ 1)) =f(a)f(b+ 1)et idem.

Rq : en carac 2, on aurait égalité pu écrire a²b² = a 1 ¹ a+ ₁¹

b2 a

d’où f(ab) = f(a)f(b) et la carc fait sauter le , youpi.

PLUS DIFFICILE : remplaçons hypohtèse parf ¹_a = _f(a)¹_si6=0. ALorsf(1) = 0ou 1( OPS0 ou1) AlorsKerf stable :

*par somme(claire)

*inverse : sia2Kerf et sif ¹_a 6= 0 écrire0 =f(a) =f ¹1 a

= ¹

f(a¹) absurdre

* par carré. On utilise

1 a a² =1

a+ 1 1 a.

Si f a² 6= 0, alors f a a² = f a² 6= 0, donc _f(a¹2) = 0 +f ₁¹_a ; puisque terme non nul, ₁¹_a 2= Ker, ied 1 a =2Ker(ief(1)6= 0) d’où= _{f(1) 0}¹ et f a² = f(1). En…n, pournentier6= 0, on af (na)² = n²f a² 6= 0, donc (meme raismonnemnt car f(na) =nf(a) = 0)n²f a² = f(1)qui vaut aussi n²f(1), d’où n²= 1, absurde pourn= 2ou3selon carac

* par cube en utilisant

1

a² a³ =1 a+ 1

a² + 1 1 a.

Si f a³ 6= 0 =f a² , l’imge vaut _f(a¹3) = 0 + 0 +f ₁¹_a = _f(1)¹ et f a³ = f(1) =n³f a³ et n³= 1, absurde selon carac.

* par produit

* par homthétie. On utlise

1 a+ 1

1

b a = 1

a a²b

avec f(a) = 0. Puisuqe ¹_a 2 Ker, il us¢ t de montre que a²b 2 Ker. Sinon, membre droite = _f(a¹2b) et gauche vaut0 +f 1¹

b a = ¹

f(¹b)=f(b), puis de mêmef(na) = 0d’oùn² constant, asbsurde.

Ainsi Kerf est n idéal et donc f est inj ou nulle. si no nulle, f(a)f ¹_a = 1 8a 6= 0 et on retombe sur hypohtèse d’avant.

5 Composée de fractions

EXO Soient F et G deux fractions rationnelles sur un corps K algébriquement clos. On supposer que G F est un polynôme. Mq F et G sont des polynômes ou, quitte à la translater l’indéterminée, F = _P et G= _X^Qn avec n degP.

OPSF =_B^A etG=_V^U non constantes.

Lemme : apole de G => A aB cst

DEm : soit sinon racine deA aB. ALors pas pole deF(sinon racine deB, donc de(A aB)+aB=A, donc _B^A pas irreed, abs), donc on peut évaluer0 = ^{A aB}_B ( ) =F( ) a => F( ) pole de G => pole de G F absrde

Ga au plus un pole. sinonA aB etA a⁰B sont cst, donc la di¤érence(a a⁰)B aussi, doncB est constant, doncA= (A aB) +aB est cst, doncF aussi abs.

SI G est un polynome mettonsG=Pd

i=0g_iXⁱ. AlorsG F =P

g_i ^A_B ⁱ, d’où (on mutiplie parB^d et on …ltre moduloeB)0 =g_dA^d, doncA^d = 0modB, doncB jA^d, ieBjA, d’oùF polynôme

Si G pas polynôme G= _(X^U_a)n =P

0

ui(X a)ⁱ

(X a)ⁿ . Alors A aB cstb, donc _B^b = ^A_B aieF =a+_B^b (avecb6= 0carF non cst=). Ainsi, on a

G F=X u_i

b B

n i =X

i=0

u_i

bⁱB^{n i}= u

b Bⁿ + +u₀ 1 Bⁿ.

3

Si n, cesF etGconvienent. Sinon,B ^{n 1}G F est un polynôme, or il vaut ^u_{b B}¹+polyno, absurde carB non cst etu 6= 0.

4