Feuille d'exercices 12. Applications
Exercice I.
1. On lance trois fois un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. DéterminerΩ. 2. A quoi correspond l'application X: Ω −→ N
ω= (i;j;k) 7−→ i+j+k ? 3. Déterminer l'ensemble imageX(Ω).
4. Donner la composition deX−1({1}), de X−1({3})et de X−1({7}).
Exercice II.
1. Déterminerf(I), lorsque : a. f(x) =x2 et I= [2; 3]
b. f(x) =x2 et I=]−4; 8[
c. f(x) =|x| et I= [−3;−1[
d. f(x) =|x| et I=]−6; 5]
e. f(x) = 2x+ 4 et I= [1; 2]
f. f(x) =−3x+ 2 et I=]−3; 5[
2. Déterminerf−1(I), avec les fonctions et intervalles précédents.
Exercice III.
Les applicationsf dont l'expression est donnée ci-dessous sont-elles surjectives ? Injectives ? Bijectives ? Justier.
1. f : R−→R+
x7−→x2 2. f : R∗+−→R∗+
x7−→x2
3. f : R∗+−→R x7−→ln(x) 4. f : R−→R+
x7−→ex
5. f : R−→R x7−→ −2x+ 1 6. f : R+−→R+
x7−→3x+ 2
Exercice IV.
Les applications f : N−→N
n7−→2n+ 1 et g: R[X]−→R
P 7−→P(0) sont-elles injectives ? Sujectives ? Préciser la réponse.
Exercice V.
Soitf :N−→Nune application injective, telle que ∀n∈N, f(n)≤n. Montrer qu'en fait ∀n∈N, f(n) =n.
Exercice VI.
Soitf :A−→B et g:B −→C deux applications.
1. Montrer que sig◦f est surjective, alorsgest surjective.
2. Montrer que sig◦f est injective, alorsf est injective.
Exercice VII.
Soitf :X−→Y une application. SoitA etB (resp.Cet D) deux sous-ensembles deX (resp.Y). Comparer : f(A∪B) et f(A)∪f(B), f(A∩B) et f(A)∩f(B), f(f−1(B)) et B, f−1(C∪D) et f−1(C)∪f−1(D), f−1(C∩D) et f−1(C)∩f−1(D), f−1(f(A)) et A.
Exercice VIII.
Calculer la réciproque des fonctions suivantes, après avoir précisé leur ensemble de dénition : 1. f(x) =−3x+ 4
2. f(x) = 2 ln(3ex+ 1)
3. f(x) = 2 5x−1 4. f(x) =x+ 2−1
x
5. f(x) =√
3e−2 ln(x−1)+3+ 1 6. f(x) = −4
2 e−3x−2 + 1
1
Exercice IX.
On noteR3[X]l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
On considère l'application f : R3[X] −→ R3[X] P 7−→ P0
1. a. Calulerf(P), oùP est le polynôme déni par P(X) =−2X3+ 5X2−6X−3. b. f est-elle injective ? Surjective ? Justier.
2. Mêmes questions avec l'application f : R4[X] −→ R4[X]
P 7−→ X 7−→P(X) +XP0(X)
Exercice X.
Soitf :R−→Rune fonction continue décroissante.
On souhaite montrer quef admet un point xex0, ie∃x0∈R/f(x0) =x0. On dénit la fonctiong surRparg(x) =f(x)−x.
1. Vérier queg est strictement décroissante.
2. Montrer que∀x≥0, g(x)≤f(0)−x. En déduire lim
x→+∞g(x). 3. Procéder de manière analogue pour déterminer lim
x→−∞g(x). 4. En déduire queg s'annule exactement une fois surR. Conclure.
Exercice XI.
Soita∈R , I=]−a; +∞[ et f :I−→R dénie par f(x) = 1
x+a. Montrer quef est bijective deI surf(I).
Exercice XII.
Soitf : [0; 3[∪]3; +∞[−→]− ∞; 0]∪]1; +∞[ dénie par f(x) = x2
x2−9. Montrer quef est bijective et déterminerf−1.
Exercice XIII.
L'applicationf dénie surR2 parf(x;y) = (−3x+ 4y;−x−5y)et à valeurs dansR2 est-elle une bijection ?
Exercice XIV.
Existe-t-il une fonctionf continue surRtelle que f◦f =−IdR?
Exercice XV.
Déterminer le nombre de solutions surRdes équations suivantes : (E1) : 2x3−3x2−12x= 1 et (E2) : 12x5−45x4+ 40x3= 7.
Exercice XVI.
On considère la fonctionf(x) =x+ lnx.
1. Montrer quef réalise une bijection deR∗+ sur un intervalle à expliciter.
2. Justier que l'équationx+ lnx= 3admet une seule solutionαsur]0,+∞[et que2≤α≤3
Exercice XVII.
On note(En)l'équation (En) : x3 x2+ 1 =n
1. Montrer que pour tout entier n∈N∗, l'équation (En)possède une unique solution, notéexn, surR∗+. 2. Quelle est la monotonie de la suite(xn)n∈N∗?
3. Montrer que ∀n∈N∗, n6xn6n+ 1 4. En déduire la limite des suites(xn)n∈N∗ et xn
n
n∈N∗. 2
Exercice XVIII.
On considère la fonctionf(x) =ex+x.
1. Montrer quef réalise une bijection deR+ sur un intervalle à expliciter.
2. Justier que pour tout entiern∈N∗, l'équationf(x) =npossède une unique solution que l'on noteraxn. 3. Quelle est la monotonie de la suite(xn)n∈N∗.
4. Démontrer que∀n>1, ln(n−lnn)6xn6lnn.
5. En déduire la limite de la suite(xn)n∈N∗ puis déterminer lim
n→+∞
xn
lnn.
Exercice XIX.
On dénit une fonctionf surRpar f(x) = ex−e−x ex+e−x.
1. Justier quef réalise une bijection deRsur un intervalleJ à expliciter.
2. Exprimerf−1.
3. Calculer de deux manières(f−1)0.
4. Tracer l'allure def etf−1 sur un même graphique.
Exercice XX.
Soitf dénie surR∗+ par f(x) =ex−x2.
1. Montrer quef est une application bijective deR∗+sur un intervalle que l'on précisera.
2. Quel est le tableau de variations def−1. 3. Calculerf(1).
4. Calculer(f−1)0(1 e).
3
