Présenté par : AKKA ALI. Intitulé

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ﻲﻤﻠﻌﻟا ﺚﺤﺒﻟا و ﱄﺎﻌﻟا ﲓﻠﻌﺘﻟا ةرازو فﺎﻴﺿﻮﺑ ﺪﶊ ﺎ'ﺟﻮﻟﻮ)ﻜﺘﻟا و مﻮﻠﻌﻠ, ناﺮﻫو ﺔﻌﻣﺎ0

Présenté par : AKKA ALI Intitulé

Commande par l’utilisation des techniques du soft computing et leurs optimisations : Application à la commande d’un quadruple réservoir

Faculté : Génie Electrique

Département : Électronique

Domaine : Sciences et Technologie

Filière : Électronique

Intitulé de la Formation : Informatique Industrielle

Année Universitaire : 2017/2018

Membres de Jury Grade Qualité Domiciliation

M. MIDOUN Abdelhamid Professeur Président USTO

M. NOUIBAT Wahid M.C.A Encadrant USTO

M. AHMED FOITIH Zoubir Professeur

Examinateurs

USTO

M. MANSOURI Abdellah Professeur ENPO

M.BOUHENNA Abderrahmane Professeur ENPO

Devant le Jury Composé de :

(2)

Remerciements

J’aimerai, en premier lieu, remercier mon Dieu tout puissant qui m’a donné la volonté et la force afin de réaliser ce travail.

Je voudrai remercier grandement, Mr Nouibat Wahid, qui m’a dirigé tout au long des années de cette thèse. Il a toujours été disponible, à l’écoute de mes questions, et il s’est toujours intéressé à l’avancement de mes travaux. Pour tout cela merci.

J’exprime toute ma reconnaissance à Mr Midoun Abdelhamid pour avoir bien voulu accepter de présider le jury de cette thèse. Mes remerciements vont également à . Mr Ahmed Foitih Zoubir , Mr Mansouri Abdellah et Mr

Bouhenna Abderrahmane pour l’honneur qu’ils me font d’être dans mon jury de thèse.

Je n’oublie pas de remercier tous mes collègues et amis sans exception.

Merci à toute ma famille et plus particulièrement à mes parents.

Je tiens enfin à exprimer mes sincères remerciements à toutes les

personnes qui ont participé de près ou de loin au bon déroulement de cette

thèse.

(3)

Dédicaces

Je dédie ce travail : A mon père,

Pour son grand amour, son encouragement, son sens du devoir et ses sacrifices pour que je réussisse dans mes études.

A ma mère,

Pour son affection, sa patience, son encouragement pendant les épreuves difficiles ainsi que ses prières qui m’apportent bonheur et réussite.,

A mes frères, A ma soeur,

Qui sont toujours à mes côtés, prêts à m’aider.

A mes chèrs amis

A tous ceux qui m’aiment et à tous ceux que j’aime.

A tous ceux que je connais de près ou de loin.

(4)

Résumé

Les travaux présentés dans cette étude portent sur l'utilisation des techniques des soft computing et leurs versions optimisées pour commander un système quadruple réservoir. En premier lieu l'étude s’est focalisée sur la modélisation du système quadruple réservoir, ensuite l'intérêt s’est dirigé à la présentation du techniques de soft computing (flou, réseaux de neurones, neuro-flou). Par la suite, une revue de la littérature sur les techniques d’optimisation métaheuristiques (les algorithmes génétiques, de colonies de fourmis, d'optimisation par essaim particulaire et d'optimisation à base de biogéographie) a été présenté.

Dans ce travail, divers contrôleurs (PI, floue, PD- floue + I, PID-floue, ANFIS) sont proposés pour commander le système quadruple réservoir. Deux méthodes d'optimisation bio- inspirées: l'optimisation des essaims de particules (PSO) et l'optimisation basée sur la biogéographie (BBO) sont appliquées pour ajuster les gains des régulateurs PI et les paramètres des fonctions d'appartenance des contrôleurs flous afin d'améliorer les performance des contrôleurs traditionnels.

Les résultats de simulation confirment l'efficacité des méthodes de contrôle proposées et montrent les avantages des contrôleurs optimisés.

Mots clés: Système quadruple réservoir, Logique floue, Réseaux de neurones, Essaims de particules, Optimisation à base de la biogéographie.

(5)

Abstract

The work presented in this study focuses on the use of soft computing techniques and their optimized versions to control a quadruple tank system. The study is concentrated first on the modeling of the quadruple tank system, and then the attention is directed to the presentation of soft computing techniques (fuzzy, neuro, neuro-fuzzy). A review of the literature on metaheuristic optimization techniques (genetic algorithms, ant colonies, particulate swarm optimization and optimization based on biogeography) was also presented.

In this work, various controllers (PI, fuzzy, PD-fuzzy + I, PID-fuzzy, ANFIS) are proposed to control the quadruple tank system. Two bio-inspired optimization methods: particle swarm optimization (PSO) and Biogeography based optimization (BBO) are applied to adjust the gains of the PI controllers and the parameters of the membership functions of the fuzzy controllers to improve the performance of traditional controllers.

The simulation results confirm the effectiveness of the proposed control methods and show the advantages of the optimized controllers.

Key words: Quadruple tank system, Fuzzy logic, Neural networks, Particle swarms optimization, Optimization based on biogeography.

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Table des matières

Introduction générale ... 1

Chapitre I: Généralités sur la commande non linéaire et modélisation d'un système quadruple réservoir I. Introduction ... 6

I.1 Systèmes non linéaire et leurs commandes ... 7

I.1.1 Systèmes non linéaires ... 7

I.1.1.1. Définition ... 7

I.1.1.2 Représentation d’état ... 7

I.1.1.3 Modélisation d’un système sous forme de représentation d’état ... 7

I.1.2 Généralités sur la commande ... 8

I.1.2.1 Système de commande ... 8

I.1.2.2 Asservissement ... 8

I.1.2.3 Régulateur ou système suiveur ... 8

I.1.2.4 Propriétés d’un système commandé ... 8

I.1.2.5 Propriétés de commandabilité et d'observabilité ... 9

I.1.2.6 Systèmes à non minimum de phase et systèmes à minimum de phase ... 9

I.1.3 Les approches de commande ... 9

I.1.3.1 Commande adaptative ... 10

I.1.3.2 Commande robuste ... 10

I.1.3.3 Commande optimale ... 10

I.1.3.4 Commande prédictive ... 10

I.1.3.5 Commande neuronale ... 10

I.1.3.6 Commande par mode glissant ... 11

I.1.3.7 Commande floue ... 11

I.2 Système quadruple-réservoir ... 12

I.2.1 Matrice de transfert ... 14

I.2.2 Interprétation de zéro multivariable ... 15

I.2.2.1 Emplacement des zéros ... 15

I.2.2.2 Direction du zéro ... 17

(7)

I.2.3 Tableau de gain relatif ... 17

I.3 Conclusion ... 18

Chapitre II: Techniques de l'intelligence artificielle II. Introduction ... 19

II.1 Logique floue ... 20

II.1.1 Systèmes flous ... 20

II.1.2 Ensembles flous ... 20

II.1.3 Variables linguistiques ... 22

II.1.4 Règles et opérateurs flous ... 22

II.1.5 Structure d'un système flou ... 23

II.1.6 Choix des éléments du mécanisme d’inférences floues ... 24

II.1.7 Règles de Mamdani... 26

II.1.7.1 Composition des règles ... 26

II.1.7.2 Passage du symbolique vers le numérique ... 26

II.1.7.2.1 Méthode de centre de gravité ... 26

II.1.7.2.2 Méthode de maximum ... 27

II.1.8 Traitement numérique des inférences ... 27

II.1.9 Régulateur flou de type PI ... 29

II.1.10 Définition de la loi de commande floue ... 29

II.1.11 Régulateur PID à base d'un système flou ... 30

II.1.12 Régulateur PD-flou avec action intégrale ... 32

II.2 Réseaux de neurones artificiels ... 32

II.2.1 Historique ... 33

II.2.2 Neurone formel ... 33

II.2.2.1 Définition ... 33

II.2.2.2 Principe de fonctionnement ... 33

II.2.2.3 Fonction d'activation ... 34

II.2.3 Propriétés des réseaux de neurones ... 34

II.2.3.1 Le parallélisme ... 34

II.2.3.2 La capacité d’adaptation ... 35

II.2.3.3 La mémoire distribuée ... 35

II.2.3.4 La capacité de généralisation ... 35

II.2.4 Architectures des réseaux de neurones ... 35

II.2.4.1 Les réseaux statiques ... 35

(8)

II.2.4.1.1 Le Perceptron ... 36

II.2.4.1.1.1 Structure du Perceptron ... 36

II.2.4.1.2 Le perceptron multicouche ... 37

II.2.4.1.2.1 Structure de perceptron multicouches ... 37

II.2.4.1.2.2 Architecture du réseau perceptron multicouches ... 38

II.2.4.1.3 Réseau de neurones de type RBF ... 38

II.2.4.1.3.1 Architecture de réseau RBF ... 38

II.2.4.2 Les réseaux dynamiques ... 39

II.2.5 Apprentissage des réseaux de neurones ... 40

II.2.5.1 Apprentissage supervisé ... 40

II.2.5.2 Apprentissage non supervisé ... 41

II.2.6 Algorithmes d'apprentissage des RNAs ... 41

II.2.6.1 Méthode de rétro-propagation ... 41

II.2.6.2 Equations du réseau ... 42

II.2.6.3 Principe du rétro- propagation ... 43

II.2.6.4 Adaptation des poids ... 43

II.2.6.5 Algorithme de la rétro-propagation ... 44

II.3 Systèmes neuro-flous ... 45

II.3.1 Définition des systèmes neuro-flous ... 45

II.3.2 Types des systèmes neuro-flous... 46

II.3.2.1 Le système neuro-flou coopératif ... 46

II.3.2.2 Système neuro-flou concurrent ... 47

II.3.2.3 Système neuro-flou hybride ... 47

II.3.3 Architectures neuro-floues ... 48

II.3.3.1 Architecture ANFIS ... 48

II.3.3.1.1 Phase d’apprentissage ... 50

II.4 Conclusion ... 51

Chapitre III: Méthode d’optimisation métaheuristiques III.1 Introduction ... 52

III.2 Algorithme génétique ... 53

III.2.1 Codage ... 54

III.2.1.1 Codage binaire ... 54

III.2.1.2 Codage réel ... 54

III.2.2 Population initiale ... 54

(9)

III.2.3 Opérateur de sélection ... 55

III.2.3.1 Sélection par roulette ... 55

III.2.3.2 Sélection par tournois ... 55

III.2.4 Croissement ... 56

III.2.4.1 Croisement à un point ... 56

III.2.4.2 Croissement à multiples points ... 57

III.2.4.3 Croisement uniforme ... 57

III.2.5 Mutation... 58

III.2.5.1 Mutation à un point ... 58

III.2.5.2 Mutation à multiples points ... 58

III.3 Algorithmes de colonies de fourmis ... 58

III.3.1 Algorithme de base ... 60

III.4 Optimisation par essaim particulaire ... 62

III.4.1 Principe de déplacement d’une particule dans PSO ... 62

III.5 Algorithme d'optimisation à base de biogéographie ... 64

III.5.1 Migration ... 66

III.5.2 Mutation... 67

III.5.3 Élitisme ... 68

III.5.4 BBO algorithme ... 68

III.6 Conclusion ... 69

Chapitre IV: Implémentation et résultats IV.1 Introduction ... 70

IV.2 Commande du processus de réservoir quadruple ... 71

IV.2.1 Contrôleur PI ... 71

IV.2.1.1 Résultats de simulation obtenus en phase minimale ... 72

IV.2.1.1.1 Interprétations des résultats ... 74

IV.2.1.2 Résultats de simulation obtenus en phase non minimale ... 74

IV.2.2 Contrôleur PI optimisé par PSO ... 76

IV.2.3 Contrôleur PI optimisé par BBO ... 82

(10)

IV.2.4 Contrôleur flou ... 87

IV.2.5 Contrôleur PD-flou avec action intégrale ... 92

IV.2.6 Contrôleur PID-flou ... 97

IV.2.7 Contrôleur ANFIS ... 102

IV.2.8 Contrôleur flou optimisé par PSO ... 107

IV.2.9 Contrôleur flou optimisé par BBO ... 114

(11)

IV.3 Discussion du résultats ... 121

IV.4 Critères de performance ... 121

IV.4.1 Critère ISE ... 122

IV.4.2 Critère IAE ... 122

IV.4.1 Critère ITAE ... 122

IV.4.2 Critère ITSE ... 122

IV.5 Étude comparative ... 122

IV.6 Conclusion ... 124

Conclusion général et perspectives ... 125

Bibliographie ... 127

(12)

Introduction générale

La plupart des systèmes industriels complexes sont des systèmes à multi-entrées et multi- sorties (MIMO). Ils sont complexes à commander en raison de la non-linéarité intrinsèque et de l'existence d'interactions entre les variables d'entrée et les variables de sortie. Pour concevoir les non-idéalités des processus industriels on effectue des expériences avec des instruments de laboratoire de haute technologie.

Le processus quadruple réservoir a été suffisamment employé dans la littérature du contrôle pour éclaircir un grand nombre de concepts dans le contrôle multi-variables, en particulier les limitations de zéros de demi-plan droit [1]. La caractéristique principale du processus à quatre réservoirs est la flexibilité dans le positionnement de l'un de ses zéros multivariables sur l'une ou l'autre moitié du plan. La modélisation est l'une des étapes la plus importante dans la conception d'un système de contrôle. Bien que les problèmes de réservoirs non linéaires aient été largement abordés dans la dynamique classique du système lors de la conception de systèmes de contrôle intelligents, le modèle correspondant de simulation devrait refléter toutes les caractéristiques du système réel à contrôler.

Parmi les approches de commandes de système quadruple réservoir exploitées par les chercheurs, on distingue de manière non exhaustive la commande par régulateur PI, la commande par les techniques de l'intelligence artificielle, la commande par mode glissant, la commande par backstepping, etc.

Plusieurs approches empiriques ont été développées pour la synthèse des PI connus par leurs popularités dans les milieux industriels. Ils existent plusieurs travaux dans la littérature qui traite la commande du système quadruple réservoir par régulateur PI. La structure et les propriétés physiques du processus quadruple réservoir, la modélisation mathématique du système et la commande par régulateur PI sont d'écrits dans [2]. Dans la référence [3] le contrôleur PI est utilisé pour contrôler le processus quadruple réservoir, ou plusieurs méthodes sont utilisées pour définir les gains des régulateurs PI, telles que la synthèse directe, la méthode de Ziegler-Nichols et la méthode basée sur IMC (Internal Model Control). La référence [4] présente une approche

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pour la conception d'un PI auto décentralisée utilisant un découpleur (le système MIMO est transformé en deux systèmes SISO) et des techniques d'adaptation pour contrôler le système quadruple réservoir. Les paramètres du régulateur sont ajustés à l'aide de MRAC (Model Reference Adaptive reference Control).

Les techniques de commande linéaires ne sont pas assez performantes pour garantir la stabilité et la performance des systèmes non linéaires pour cela les travaux de recherche on été orienté vers Les outils intelligents. Les outils intelligents autrement dit les techniques de soft computing c’est à dire les réseaux de neurones, la logique floue…etc. Leurs applications au problème de contrôle des systèmes multivariables ont prouvé un grand succès.

La logique floue a été introduite par le chercheur Zadeh (1965) [5], elle devient un outil très dominant pour la représentation des termes et des connaissances vagues. Elle est native de la capacité de l’homme à décider et à agir d’une manière intelligente malgré l’imprécision et l’incertitude des connaissances disponibles. Son utilisation dans le domaine du contrôle a été l’une des premières applications de cette théorie dans l’industrie avec les travaux de Mamdani et Assilian (1975) [6]. Depuis, les applications de la logique floue se sont multipliées pour toucher des domaines très divers. Ils existent plusieurs travaux dans la littérature qui traitant la commande système quadruple réservoir par régulateur flou. les auteurs dans [7] il conçoivent un contrôleur flou décentralisé pour commander le processus quadruple réservoir. Dans [8] les auteurs présentent une approche pour la conception du contrôleur flou décentralisé pré-compensé par régulateur PI pour le système quadruple réservoir. La référence [9] présente une modélisation mathématique et conçoit un contrôleur flou pour la phase non minimale du système quadruple réservoir.

Dans un autre côté les premiers travaux sur les neurones artificiels ont pris naissance avec les chercheurs McCulloch et Pitts dans les débuts des années 1940 [10]. Les réseaux de neurones sont des modèles mathématiques et informatiques, leurs assemblages en unités de calculs appelés neurones formels, et dont l’inspiration originelle est le modèle de la cellule nerveuse humaine. C’est dans le souci de maintenir une certaine similitude avec le système nerveux humain, l’idée est bienveillante et continue à animer une part importante des recherches dans le domaine. L’essentiel des travaux aujourd’hui ont pour objet le réseau de neurones formels et non son corrélat neurobiologique. Sont perçus comme des systèmes de calcul, les réseaux de neurones, possèdent plusieurs propriétés qui les rendent intéressants d’un point de vue théorique, et forts utiles en pratique.

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Pour profiter des avantages de réseaux de neurones et la logique floue on combine les deux structures, ou simplement le contrôleur neuro-flou qui est un arrangement de la logique floue et des réseaux de neurones. La combinaison de ces techniques a attiré l’attention de beaucoup de chercheurs [11][12]. Plusieurs architectures neuro-floues sont proposées dans la littérature suivant le type des règles floues qu’elles intègrent (Mamdani ou Sugeno) [13][14]. La puissance de ces structures réside dans la possibilité d’incorporer une base de connaissance, de traiter les données imprécises et vagues par la logique floue et en même temps d’introduire l’apprentissage via le réseau de neurones. Pour la plupart des architectures proposées, les procédures d’apprentissage appliquées sont soit supervisées en se basent sur les techniques d’optimisation classique (descente du gradient, les moindres carrés), soit non supervisées en utilisant les algorithmes de classification (K-means) [15]. Ils existent deux travaux dans la littérature qui traitent la modélisation et la commande du système quadruple réservoir par ANFIS (Adaptive neuro fuzzy inference system). La référence [16] porte sur la conception et la simulation d'un contrôleur ANFIS pour contrôler le système quadruple réservoir. Dans [17] le système quadruple réservoir est modélisé par l'utilisation des techniques de soft computing telles que le neuronale, le flou et le neuro-flou. Les résultats de la simulation montre qu’avec le modèle ANFIS on obtient une précision améliorée par rapport aux autres modèles soft computing.

Afin d'obtenir des résultats plus efficaces on fait recours a l'optimisation des paramètres des contrôleurs traditionnels (les paramètres du contrôleur PI, et les fonctions d'appartenance du contrôleur flou) par les métaheuristiques d'optimisation. Ces métaheuristiques sont des algorithmes génériques, inspirés de la nature. Ils sont conçues pour la résolution des problèmes d’optimisation complexes. Parmi les métaheuristiques les plus récentes, nous retenons celles basées sur le déplacement de volées d’oiseaux et de bancs de poissons: PSO (Particle Swarm Optimization), et la théorie de la biogéographie insulaire : BBO (Biogeography Based Optimization). L'optimisation basée sur la biogéographie et l’optimisation essaim de particules sont les algorithmes d'optimisation les plus populaires. Ceux-ci ont montré des performances impressionnantes par rapport à d'autres algorithmes évolutionnaires [18]. En [19] l'optimisation par PSO est développée pour optimiser les paramètres du contrôleur PI afin de contrôler la vitesse d'un moteur à courant continu. Dans [20], les paramètres du contrôleur flou de type mamdani (les centres et les largeurs des fonctions d'appartenance gaussiennes des entrées et des sorties) ont été optimisés par PSO pour contrôler la trajectoire du robot. De plus, l'optimisation des paramètres du contrôleur flou basé sur PSO est présentée dans [21]. Dans [22] l’algorithme d'optimisation basé sur la biogéographie (BBO) est utilisé pour fournir les paramètres de contrôle d'un régulateur PI d'un système d'entraînement à moteur synchrone à aimant permanent

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à cinq phases alimenté par un convertisseur matriciel. L'algorithme BBO a été utilisé par [23]

dans la détermination des paramètres des fonctions d'appartenance du contrôleur flou utilisé pour piloter un robot mobile.

Objectif de thèse

L'objectif principal du thème de recherche présenté dans cette thèse est la commande d’un quadruple réservoir en utilisent des techniques du soft computing optimisées pour l’obtention des résultats plus efficace.

Afin de réalisé cet objectif, notre démarche consiste à contrôler le système quadruple réservoir à l'aide des régulateurs non optimisés (PI, floue, PD- floue + I, PID-floue, ANFIS). En suite deux méthodes d'optimisation bio-inspirés: optimisation par essaim particulaire et l’algorithme à base de biogéographie sont employées pour ajuster les paramètres des contrôleurs PI, et pour ajuster aussi les paramètres des fonctions d'appartenance du contrôleur flou afin d’améliorer les performances des contrôleurs traditionnels.

Contenu de la thèse

Le chapitre I présentera des généralités sur les systèmes non linéaires et leurs commandes plus particulièrement le système quadruple réservoir. On débutera ce chapitre par l’introduction d’une définition d’un système non linéaire, d'une représentation d’état d’un système non linéaires, de la modélisation d’un système sous forme de représentation d’état et des généralités sur la commande. Ensuite, une attention particulière sera mise sur le système quadruple réservoir.

Le chapitre II formulera les techniques de l'intelligence artificielle. La première partie sera consacrée à la logique floue et la présentation des systèmes d'inférence flous. En suite les fondements théoriques des sous-ensembles flous et de la logique floue seront énoncés, suivi par la description de la structure générale d’un contrôleur flou, en indiquant leurs types. Dans la seconde partie nous présenterons une étude sur les réseaux de neurones artificiels et leurs propriétés les plus importantes. Dans la troisième partie nous exposerons le système neuro-flou issu de la combinaison de la logique flou les réseaux de neurones, puis une étude détaillé sur le système d'inférence neuro-flou adaptative (ANFIS) sera adoptée dans notre travail.

Le chapitre III exposera d’une manière détaillée, les métaheuristiques les plus utilisées et nous mettrons l’accent sur celles que nous seront étudiées dans le cadre de cette thèse. Il s'agira de:

l'optimisation par essaim particulaire (PSO) et l’algorithme à base de biogéographie (BBO).

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Le chapitre IV présentera les résultats obtenus par de régulateur PI, régulateur PI optimisée par PSO, régulateur PI optimisée par BBO, contrôleur flou, contrôleur PD-flou+ I, contrôleur PID- flou, contrôleur ANFIS, contrôleur flou optimisé par PSO et contrôleur flou optimisé par BBO utilisés pour commander un système quadruple réservoir. En suite une étude comparative entre les résultats obtenus par les différents contrôleurs sera présentée.

Cette étude sera achevée par une conclusion générale et une proposition de perspectives possibles pour ce travail.

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Chapitre I

Généralités sur la commande non linéaire et modélisation d'un système quadruple réservoir

I. Introduction

Aujourd’hui, un nombre important de phénomènes scientifiques et d’engineering sont analysés par la théorie des systèmes dynamiques non linéaires. Cette théorie a été faite pour un éventail de problèmes dans les disciplines des sciences exactes et des sciences de la nature, et autres. L’attitude statique et dynamique d’un processus physique est modélisée par des lois mathématiques, qui sont un ensemble d'équations algébriques et différentielles non linéaires. Le modèle mathématique en conséquence obtenu ne présente qu’une partie de la réalité, il englobe des incertitudes et des erreurs de modélisation en rapport avec des faits négligés et à l’exactitude des grandeurs des paramètres du modèle. Pour réaliser une commande on utilise le modèle obtenu pour reproduire des régulateurs qui assurent la stabilité et un niveau de performances satisfaisant malgré les incertitudes sur les paramètres ou les dynamiques négligées dans le modèle du processus.

Dans ce premier chapitre, nous exposons en premier lieu des généralités sur les systèmes dynamiques non linéaires et leurs commandes : définition, phénomènes physiques non linéaires, modélisation, propriétés de commandabilité et de stabilisabilité, les approches de commande et de synthèse des lois de commande. Ensuite nous présentons un aperçu sur le système quadruple réservoir utilisé dans notre travail.

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I.1 Systèmes non linéaires et leurs commandes

Dans ce paragraphe nous présentons des généralités sur les systèmes non linéaires, sur leurs modélisations et leurs commandes.

I.1.1 Systèmes non linéaires I.1.1.1. Définition

Un système non linéaire est décrit par une équation différentielle de la forme suivante :

.

0 0

( , ), ( ) x =f x t x t =x

oùx t( )∈Rⁿ est l'état du système, et f est une fonction non linéaire.

I.1.1.2 Représentation d’état

Pour un système dynamique la représentation d'état est composée de deux équations :

.( ) ( , ( ), ( ))

x t =f t x t u t (I.1) ( ) ( , ( ), ( ))

y t =g t x t u t (I.2) x est appelé le vecteur des variables d'état, Il évolue généralement dans un sous espace j de Rⁿ. t désigne le temps, y le vecteur des variables de sortie et u le vecteur des variables d'entrée.

Pour ces deux équations, la première (I.1) représente l'équation d’évolution, la seconde (I.2) représente l’équation d’observation. Dans cette forme l’état linéaire est un cas singulier, si les fonctions f et g sont linéaires on représente dans ces circonstances les fonctions sous forme matricielle (l’équation (I.3)):

. ( ) ( )

( ) ( )

x A x t B u t y C x t D u t

= +

= + (I.3)

I.1.1.3 Modélisation d’un système sous forme de représentation d’état

La modélisation d’un système est acquise à partir du comportement physique qui est obtenu d’une série d’équations mathématiques. Elle permet d’évaluer l’attitude de ce système en fonction d’une commande ou d’établir une commande permettant d’obtenir une démarche précise pour ce système. L’écart entre l’attitude espérée du système et son comportement réel est lié à la fidélité au système du modèle choisi. Il est important de noter que pour tout système non linéaire, il est possible de linéariser ce système autour d’un point de fonctionnement, ce qui entraine qu’on se retrouve avec un problème linéaire.

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I.1.2 Généralités sur la commande I.1.2.1 Système de commande

La gestion d’un processus, c’est la résolution des commandes à lui appliquer. Les processus sont des systèmes physiques qui se développent au fil des temps, sous les influences internes et externes, et sur lesquels on peut faire des mesures. Les signaux qui nous concernent sont appelées variables de sortie. Les grandeurs opérant sur le processus, donc sur ses sorties, sont appelées variables d’entrée. Le processus est donné par deux sortes de variables d’entrée : les commandes sur lesquelles on peut agir, et les perturbations sur lesquelles on n’a pas d’action.

Parmi ces dernières on a les perturbations mesurées et les perturbations non mesurées.

I.1.2.2 Asservissement

En automatique, un asservissement est un algorithme ayant pour but de stabiliser et d'améliorer la performance d'un système par rapport au comportement désiré. Il compare l'état réel du système avec celui qui est souhaité et effectue une correction en fonction de l'écart constaté, donc un système asservi est un système dit suiveur, qui suit donc une consigne qui varie : par exemple un missile qui poursuit une cible.

I.1.2.3 Régulateur ou système suiveur

La régulation est un système asservi dans laquelle la consigne d’entrée est fixe. ce système est destiné à maintenir la sortie constante quelles que soient les perturbations (variable aléatoire qui agit sur la grandeur de sortie).

Un système suiveur, est un système asservi où la consigne évolue continuellement.

L’objectif de ce système est d’ajuster en permanence le signal de sortie au signal d’entrée, par exemple le radar de poursuite.

I.1.2.4 Propriétés d’un système commandé

Le système commandé doit être: stable, précis et rapide.

• Stabilité : On dit qu’un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d’équilibre lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée.

• Précision : l’erreur entre la mesure et la valeur désirée doit être la plus petite possible, on distingue deux types de précision:

Précision dynamique : l’écart entre la sortie et l’entrée pendant l’évolution du signal.

(20)

Précision statique: on appelle précision statique, l’écart entre la sortie et l’entrée lorsque le système est stabilisé (t→+∞).

• Rapidité : La rapidité caractérise le temps mis par le système pour que la sortie atteigne sa nouvelle valeur. On définit, pour caractériser la rapidité, le temps de réponse à 5%

(t5%), c’est le temps que met le système pour rester la bande des 5% de sa valeur finale.

Figure (I.1):Propriétés d’un système commandé

I.1.2.5 Propriétés de commandabilité et d'observabilité

Un système est dit commandable si quel que soit x(ti)l'état à l'instant initial, et quel que soit x(tf) l'état à l'instant final, il existe une commande u(t), appliquée sur un intervalle de temps fini [ti, tf ] qui permet de rejoindre l'état final partant de l'état initial, c'est-à-dire telle que x(tf)=0.

La commandabilité est une propriété structurelle forte du système.

Etudier l’observabilité d’un système consiste à établir les conditions sous lesquelles l’état du système peut être reconstruit à partir des entrées et des sorties mesurées.

I.1.2.6 Systèmes à non minimum de phase et systèmes à minimum de phase

Le transfert rationnel G(s) = N(s)/D(s) où N(s) et D(s) sont deux polynômes premiers entre eux est dit à non minimum de phase si l’un de ses zéros (i.e. l’une des racines de N(s)) est à partie réelle strictement positive. On parle alors de zéro instable. Bien que nombreux travaux aient été menés ces dernières années [24][25][26] ce type de systèmes est réputé difficile à contrôler. Le second cas concerne les systèmes dont la dynamique des zéros est stable, appelés systèmes à minimum de phase. Pour ces systèmes, le problème est apparemment plus simple.

I.1.3 Les approches de commande

La commande d’un système est généralement fondée sur un modèle connu suite à des acquisitions scientifiques a priori telles que les lois des sciences physiques ou à partir des

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données d’observations expérimentales. Dans la plupart des cas d’applications, on se limite à une application linéaire autour d’un point de fonctionnement ou d’une trajectoire. On rencontre diverses approches de commande selon les particularités les plus efficaces du système à commander, cela nécessite la compréhension du procédé et les buts de commande déterminés par l’utilisateur. On cite quelques exemples de techniques abordées dans la littérature.

I.1.3.1 Commande adaptative

Elle réalise le réalignement de quelques paramètres entrant dans le calcul de la commande en fonction de la dynamique du processus afin de garder les records du système lorsque les paramètres varient.

I.1.3.2 Commande robuste

C’est une commande dirigée vers la création de correcteurs à paramètres fixes qui seront aptes d’assurer des propriétés en présence de perturbations et d’incertitudes paramétriques.

I.1.3.3 Commande optimale

C’est une commande obtenue à partir d’un modèle qui permet de vérifier les conditions initiales et finales, de satisfaire diverses contraintes imposées et d’optimiser un critère mathématique choisi.

I.1.3.4 Commande prédictive

Le MPC (Model prédictive control) ou les méthodes de commande prédictive sont des outils forts pour affronter le problème de commande avec restrictions. Le MPC est une commande pour les systèmes à dynamique relativement lente. Il est compatible avec le fait qu’à chaque temps d’échantillonnage le signal de commande découle de la résolution d’un problème d’optimisation, elle doit son origine et son développement à l'emploi de l'ordinateur dans les processus de commande. La commande prédictive établie un espace étendu et varié, elle associe d’autres branches comme la commande multivariables, la commande optimale et la commande avec contrainte.

I.1.3.5 Commande neuronale

Le réseau de neurones artificiels est un ensemble d’algorithmes dont la conception est à l’origine inspirée du fonctionnement des neurones biologiques. Le fonctionnement d’un neurone artificiel opère par analogie avec celui d’une cellule nerveuse. Un réseau de neurones est constitué d’un ensemble de neurones artificiels interconnectés par des poids dont les valeurs influent sur le comportement de toute la structure.

(22)

L’accomplissement des règles d’opération d’ajustement des connexions, définissent l’algorithme d’apprentissage ou de synthèse de réseau. La capacité de traitement de l’information distribuée est rapide, ceci est dû à la structure parallèle et à l’aptitude de reproduire des attitudes arbitraires à partir de modèles significatives qui font des réseaux neurones des outils avantageux pour la résolution de différents problèmes. Il est intéressant pour la commande des systèmes de s’appuyer sur des modèles non linéaires d’entrée-sortie obtenus à partir des données.

I.1.3.6 Commande par mode glissant

C’est une commande non linéaire, elle se distingue par sa robustesse et son efficacité.

Son principe de commande est l’aboutissement au point représentatif de l’évolution du système sur une hyper surface de l’espace de phase, elle représente un ensemble de relations statiques entre les variables d’état. La surface considérée est indiquée comme surface de glissement ou de commutation Le comportement dynamique résultant est appelé régime glissant idéal, est entièrement déterminé par les paramètres et les équations définissant la surface.

I.1.3.7 Commande floue

La synthèse d’une loi de commande performante nécessite un modèle précis, en l’absence de ce modèle on est conduit vers des applications difficiles de l’automatique classique. Une alternative intéressante s’impose c’est la commande basée sur les techniques de la logique floue.

Ces techniques admettent de formaliser le traitement de l'inconsistance et de l'incertitude sur le modèle du système et d'établir une interopérabilité du comportement dynamique du système par un ensemble de règles linguistiques traduites en langage simple et interprétable.

Un contrôleur flou est un système qui utilise un raisonnement en profondeur très limité, dans une procédure de chaînage.

Les contrôleurs flous emploient une expertise proche du langage humain sous forme de règles, dont la forme générique pour un contrôleur à deux entrées et une sortie est décrite par l'expression suivante : Si x1 et A1 et x2 et A2 Alors y est B, cette dernière est appelée règle floue.

Les variables x1, x2 et y représentent les variables physiques caractéristiques du processus à commander et du problème de commande associé. A1, A2et B sont des valeurs linguistiques qui sont représentées par des ensembles flous.

Notre travail, s’intéresse plus particulièrement aux outils intelligents, autrement dit les techniques de soft computing : la logique floue et la combinaison des réseaux de neurones et de la logique floue. Les applications des techniques du soft computing aux problèmes de commande

(23)

ont attesté d’un grand succès. Chacune d’entre elle a des propriétés distinctives afin de résoudre une large famille de problèmes.

Les avantages d'utilisation d’un contrôleur flou sont:

• Le modèle mathématique non requis.

• La connaissance antérieure sur les règles peut être utilisée.

• Une interprétation et implémentation simple.

• Décision et action d’une manière intelligente malgré l’imprécision et l’incertitude des connaissances disponibles.

Les avantages d'utilisation d’un contrôleur neuronale sont:

• Le modèle mathématique non requis.

• Aucune connaissance de base sur les règles.

• Plusieurs algorithmes d’apprentissage sont accessibles.

Le contrôleur neuro- flou est un arrangement de deux approches qui sont la logique floue et les réseaux de neurones. Dans la littérature un certain nombre d’architectures neuro-floues sont présentées suivant le type de règles floues qu’elles intègrent (Mamdani ou Sugeno).

L’aptitude de ces structures demeure dans la capacité d’incorporer une base de connaissances, de traiter les données indécises et confuses par la logique floue et d’introduire l’apprentissage à travers le réseau de neurones.

Suite a ce chapitre on s'intéresse plus au système quadruple réservoir utilisé dans notre travail.

I.2 Système quadruple-réservoir

Le processus est nommé Quadruple-réservoir il est composé de quatre réservoirs d'eau reliés entre eux et de deux pompes. Le système est indiqué sur figure (I.2). Les variables manipulées sont les tensions appliqués aux pompes et les variables commandées sont les niveaux d'eau dans les deux réservoirs inférieurs. Le processus quadruple réservoir peut être construit en utilisant deux double-réservoirs.

La sortie de chaque pompe est divisée en deux à l'aide d'une vanne à trois voies. Chaque sortie d’une pompe refoule vers deux réservoirs, un réservoir inférieur et un autre supérieur, diagonalement opposés ; le rapport de la scission est commandé par la position de la vanne. Avec

(24)

la modification de la position des deux soupapes, le système peut être convenablement placé soit dans la phase minimale ou dans la phase non minimale [1] [17]. Les paramètres physiques du processus donné par [8] [1] sont exposés dans le tableau 1. Le bilan matière pour le réservoir quadruple processus est donné par les équations de 4 à 7. On note que γ1 et γ2 sont les rapports dans lesquels les sorties des deux pompes se bifurquent.

Si γ1 est le taux d'écoulement du premier réservoir, donc (1-γ1) est le taux d'écoulement du quatrième réservoir. Les entrées vers les pompes sont des tensions V1 et V2. k1et k2 sont des facteurs de conversion, exprimés en débit par unité de tension d'entrée de la pompe. Les sorties sont y1 et y2.

réservoir 1

réservoir 4 réservoir

3

réservoir 2 Pompe 1

V1

Pompe 2

y1 y² V2

Figure (I.2) :Système quadruple-réservoir

3

1 1 1 1

1 3 1

1 1 1

2 a 2

dh a k

gh gh V

dt A A A

= − + +γ

(I.4)

2 2 4 2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

dh a a k

gh gh V

dt A A A

= − + +γ

(I.5)

3 3 2 2

3 2

3 3

(1 )

dh a 2 k

gh V

dt A A

γ

= − + −

(I.6)

4 4 1 1

4 1

4 4

(1 )

dh a 2 k

gh V

dt A A

γ

= − + −

(I.7)

(25)

Avec :

Ai : Aire de la section transversale de la cuve (cm²).

ai : Aire de la section transversale de l'orifice de sortie (cm²).

hi : niveau d'eau (cm).

I.2.1 Matrice de transfert

La linéarisation des équations du modèle du système autour des points de fonctionnement

0

i i i

x = −h h et u_i = −v_i v_i⁰, qui est donnée par [1]:

3 1 1

1

1 1 3

2 2 4

2

2 2 4

2 2 3 3

1 1 4 4

1 0 0 0

1 0

0 0

(1 )

1 0

0 0 0

(1 )

1 0

0 0 0

A k

A

T AT

k A

T A T A

dx x u

k dt

A T

k A T

γ

γ γ γ

   

−   

   

 −   

   

= −  + − 

   

 −   − 

   

 

(I.8)

0 0 0

c c

y k x

k

 

= 

  (I.9) Les constantes du temps Ti sont exprimées par:

2 0

i i

A h

T = a g

(I.10)

La matrice de transfert correspondante est au système (I.8) est:

1 1 2 1

1 1 3

1 2 2 2

2 4 2

(1 )

1 (1 )(1 )

( ) (1 )

(1 )(1 ) 1

w w

sT sT sT

G s w w

sT sT sT

γ γ

−

 

 + + + 

 

= − 

 + + + 

  (I.11) Tel que :

1 1 1 1

T k kc

w = A et ₂ ^{2 2}

2

T k kc

w = A

(26)

Tableau (1) : Paramètres physiques des réservoirs

Description Valeur

Aires des réservoirs A1et A3 28 cm² Aires des réservoirs A2et A4 32 cm² Aires des tubes de sortie a1 et a3 0.071 cm² Aires des tubes de sortie a2 et a4 0.057 cm²

Constante k 0.5 V/cm

Deux points de fonctionnement P^- et P⁺sont utilisés : le point de fonctionnement P^- exprime les caractéristiques de la phase minimale et P⁺présente des caractéristiques non- minimales. Le choix des points de fonctionnement correspondent aux valeurs indiquées dans le tableau 2 [8].

Tableau (2) : Paramètres de fonctionnement

Paramètres Phase minimale Phase non minimale

0 0

1 , 2

h h

0 0

3 , 4

h h

0 0

1 , 2

V V

1 , 2

k k

1 , 2

γ γ

12.4, 12.7 1.80, 1.40 3.00, 3.00 3.33, 3.35 0.70, 0.60

12.60, 13 4.80, 4.90 3.15, 3.15 3.29, 3.14 0.43, 0.34

I.2.2 Interprétation de zéro multivariables

Les emplacements zéro et leurs directions de la matrice de transfert G sont dérivés dans cette section. Ils ont des interprétations physiques en fonction des emplacements des vannesγ1

etγ2.

I.2.2.1 Emplacement des zéros

Les zéros de la matrice de transfert donnée par l'équation (I.11) sont des zéros du polynôme numérateur de la fonction rationnelle.

1 2 1 2

3 4

4

1 2 1 1 2

(1 )(1 )

det ( ) (1 )(1 )

(1 )

i i

G s w w sT sT

sT

γ γ

γ γ ₌ γ γ

 − − 

=  + + − 

∏ +  

(I.12)

(27)

La matrice de transfert G a donc deux zéros pour γ1, γ2∈ [0, 1]. L'un d'eux est toujours dans le demi-plan gauche, par contre l'autre peut être situé soit dans le demi-plan gauche ou le demi-plan droit. On introduit un paramètreη∈ ∞[0, ]défini par[1]:

1 2

(1 γ )(1 γ )

η γ γ

− −

=

(I.13)

Si ηest petit, les deux zéros sont proches de -1/T3 et -1/T4 respectivement. En outre, un zéro tend vers +∞ et l’autre zéro tend vers−∞. Si η= 1 un zéro se trouve à l'origine. Ce cas correspond à γ1+ γ2= 1. Il en découle que le système est en phase non minimale pour:

1 2

0< + <γ γ 1

et en phase minimale pour:

1 2

1< + <γ γ 2

1 2 1,3 1

γ γ+ = > pour P^-et γ γ₁+ =₂ 0.77 1< pour P⁺,la figure (I.3) montre les deux points de fonctionnement P^- et P⁺.

Lorsque le zéro multivariables est dans le demi-plan gauche ou dans le demi-plan droit, l'interprétation physique est relativement simple. En effet, soit qi le débit à travers la pompe i. si on suppose que q1 = q2, la somme des écoulements vers les réservoirs supérieurs est

1 2 1

[2 (− γ γ+ )]q et la somme des écoulements vers les réservoirs inférieurs est(γ γ₁+ ₂)q₁.Par conséquent, l'écoulement vers les réservoirs inférieurs est plus grand que l’écoulement dans les réservoirs supérieur siγ1+ γ2>1 (le système est en phase minimale). L'écoulement vers les réservoirs inférieurs est plus petit que l'écoulement vers les réservoirs supérieurs si le système est en phase non minimale.

Figure(I.3): En fonction des valeurs des paramètres des vannes 1 et 2, le système est placé en phase minimale ou en phase non-minimale

Il est plus facile de contrôler y1 avec u1 et y2 avec u2, si la plupart des écoulements vont directement dans les réservoirs inférieurs. Si le système est en phase non minimale la plupart des

1 1

P ⁺

P ^-

?1

?2

(28)

écoulements vont directement dans les réservoirs supérieurs. Le problème de contrôle est particulièrement difficile si le débit total allant vers les réservoirs gauches (Réservoirs 1 et 3) est égal au débit total allant vers les réservoirs droits (réservoirs 2 et 4). Cela correspond à γ1+ γ2=1, on a un zéro multivariables dans l'origine. On a une connexion immédiate entre l'emplacement zéro du modèle et le contrôle du processus quadruple réservoir.

I.2.2.2 Direction du zéro

Il existe une distinction remarquable entre les systèmes scalaires et les systèmes multivariables, tout en tenant compte de l’importance de l’emplacement d'un zéro multivariables et de sa direction. On définit la direction d'un zéro z par un vecteurψ∈R² et d'une longueur unitaire telleψ^TG z( ) 0.= Siψ est parallèle à un vecteur unitaire, alors le zéro est associé uniquement à une sortie. Dans le cas contraire, le zéro peut être distribué entre les deux sorties.

Pour la matrice de transfert G (s) donnée par l'équation (I.11), la direction d'un zéro z> 0 est donnée par:

1 1 2 1

1 1 3

1

2 1 2 2 2

4 2 1

(1 )

1 (1 )(1 )

(1 )

(1 )(1 ) 1

T

c c

zT zT zT

c c

zT zT zT

γ γ

ψ

ψ γ γ

−

 

 + + + 

   

   − 

 

 + + + 

 

0 0

 T

= 

  (I.14)

On note qu'il en découle de cette équationψ ψ₁, ₂ ≠0, et que le zéro ne soit en aucun cas associé à une seule sortie. Si on résout l’équation (I.14),γ2 est simplifié , il est facile de montrer que :

1 1 2 1

2 1 1 4 2

1 (1 )

(1 )(1 )

c zT

c zT zT

ψ γ

− +

= − + + (I.15)

De cette équation, on conclut que si γ1 est petit, alors z est associée à la première sortie. Si γ1 est proche de un, alors z est associée à la seconde sortie.

I.2.3Tableau de gain relatif

Le tableau de gain relatif a été introduit par Bristol [27] pour mesurer l'interaction dans les systèmes de contrôle multivariables. Ce tableau est donné par A =G(0) (0) ,G ⁻^T Il est possible de montrer que les éléments de chaque ligne et colonne de A se résume à un, donc pour un système 2×2 Le tableau de gain relatif est déterminé par le scalaireλ=A₁₁. Le tableau de gain relatif est utilisé comme un outil principalement dans l'industrie de processus pour décider des questions de structure de contrôle

(29)

Le tableau de gain relatif du processus du quadruple réservoir est donné par l'expression suivante :

1 2

1 2 1

λ γ γ

=γ γ

+ − (I.16) On note que le tableau de gain relatif est lié seulement aux réglages des vannes sans avoir recours à d'autres paramètres physiques du procédé. Dans ce cas particulier, le tableau de gain relatif prend des valeurs positives lorsque le système est en phase minimale et des valeurs négatives lorsque le système est en phase non-minimale.

Figure (I.4):Contours du tableau de gain relatif en fonction des paramètres des vannes γ1 et γ2

I.3Conclusion

L’objet de ce premier chapitre était de donner des généralités sur les systèmes non linéaires et leurs commandes plus particulièrement le système quadruple réservoir. On a entamé ce travail par l’introduction d’une définition d’un système non linéaire, de la représentation d’état d’un système non linéaires, de la modélisation d’un système sous forme de représentation d’état et des généralités sur la commande. Ensuite, une attention particulière sur le système quadruple réservoir ou la description du système, le principe de fonctionnement, la matrice de transfert, en fin les emplacements zéro et leurs directions ont été détaillés.

(30)

Chapitre II

Techniques de l'intelligence artificielle

II. Introduction

La commande fondée sur l’intelligence artificielle représente un domaine très étendu et laborieux, parmi ces outils on cite les réseaux de neurones artificiels et la logique floue qui sont deux concepts inspirés du raisonnement humain. La logique floue fournit des connaissances avec un certain degré d’incertitude ou d’exactitude et les réseaux de neurones modélisent et reproduisent l’apprentissage humain. Ces deux outils sont différents du point de vue structure, mais possèdent de nombreux points communs et peuvent accomplir des tâches complémentaires d’où l’idée de combiner ces deux techniques pour créer un système artificiel intelligent proche à notre échelle humain. On sait que les techniques de l’intelligence artificielle sont réputées intéressantes pour les systèmes non linéaires là où il est difficile d’établir un modèle mathématique.

La première partie du chapitre décrira en premier lieu les principes de la logique floue, en second lieu un exposé général conceptuel sur les ensembles flous sera présenté, enfin une étude détaillée de la structure interne d’un contrôleur flou sera également donnée.

La deuxième partie du chapitre portera sur une discussion sur les réseaux de neurones et leurs propriétés les plus importantes.

(31)

La troisième et dernière partie sera consacrée à la projection des systèmes flous dans un réseau de neurones dans le but de former un système neuro-flou, employée généralement pour la modélisation et la commande des systèmes complexes.

II.1 Logique floue

De nos jours, la logique floue (fuzzy logic) est un axe de recherche important sur lequel se focalisent de nombreux scientifiques [28].

Les commandes à base de logique floue ont connu un succès croissant depuis la fin du dernier siècle, notamment dans le domaine du génie électrique. Celles-ci apportent en effet une amélioration significative des performances par rapport à des commandes linéaires plus classiques. Cependant, les paramètres de ce type de commande sont nombreux et délicats à régler. Le fil conducteur de ces travaux consiste alors à proposer des méthodologies de réglage simples pour des commandes à base de logique floue dédiée à des systèmes électriques [29].

II.1.1 Systèmes flous

Les systèmes flous peuvent être considérés comme des systèmes logiques qui utilisent des règles linguistiques pour établir des relations entre leurs variables d’entrée et de sortie. Ils sont apparus pour la première fois dans les années soixante-dix avec des applications dans le domaine du contrôle des processus [6]. Aujourd’hui, les applications des systèmes flous sont très nombreuses outre la commande, ils sont largement utilisés pour la modélisation, le diagnostic et la reconnaissance de formes [30][31][32]. Pour une meilleure compréhension de leur fonctionnement, nous présentons brièvement quelques notions de base de ces systèmes.

II.1.2 Ensembles flous

La notion d’ensemble flou a été proposée par Zadeh [5] en introduisant un caractère graduel de l’appartenance d’un élément à un ensemble donné. Cela permet une meilleure représentation des termes et des connaissances vagues que nous, les humains, manipulons au quotidien.

Mathématiquement, un ensemble flou A d’un univers de discours U, est caractérisé par une fonction d’appartenance, notée µ_A, à valeur dans l’intervalle [0,1] et qui associe à chaque élément x de U un degré d’appartenance µ_A(x) indiquant le niveau d’appartenance de x à A.

µA(x) = 1 et µA(x) = 0 correspondent respectivement à l’appartenance et la non-appartenance.

Exemple: la taille d’un homme est représentée par les figures (II.1, 2):

(32)

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

0 1 . 5 5 1 . 6 1 . 6 5 1 . 7

µ

( )

T a i l l e m

Petite M oyenne Grande

1 . 7 5 1 . 8

Figure (II.1) : Représentation de la taille d’un homme par les ensembles classiques

- En logique booléenne (figure (II.1)), le degré d’appartenance µ ne peut prendre que deux valeurs (0 ou 1). Dans ce cas la taille peut être :

- Petite : µpetite = 1, µmoyenne = 0, µgrande= 0 ; - Moyenne : µpetite = 0, µmoyenne = 1, µgrande= 0 ; - Grande : µpetite = 0, µmoyenne = 0, µgrande= 1 ;

La taille ne peut pas prendre deux qualificatifs à la fois.

- En logique floue, le degré d’appartenance devient une fonction qui peut prendre une valeur réelle intermédiaire comprise entre 0 et 1 inclus. Dans ce cas, la taille peut être considérée à la fois, comme Petite avec un degré d’appartenance de 0.25 et comme Moyenne avec un degré d’appartenance de 0.75 (figure (II.2)).

Petite Grande

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 M oyenne

( ) T aille m

Figure (II.2) : Représentation de la taille d’un homme par les ensembles flous

(33)

L’allure de la fonction d’appartenance est à choisie selon l’application traitée. La figure (II.3), illustre les différentes formes de fonctions d’appartenance les plus utilisées.

Figure (II.3) : Différents types de fonctions d’appartenance utilisées

II.1.3 Variables linguistiques

Une variable linguistique appelée aussi attribut linguistique peut être définie à partir du triplet (X, U, Tx) où x est une variable définie sur l’univers de discours U et Tx = A1,…….A_n, est un ensemble composé de sous-ensembles flous de U qui caractérise X. On associe souvent à chaque sous ensemble flou de TX une valeur ou un terme linguistique (étiquette). La figure (II.4) illustre un exemple de la variable linguistique ’Taille’ avec trois termes linguistiques: petite, moyenne et grande.

Petite Moyenne Grande

µ

1

Taille V ariable linguistique

Termes linguistiques

'

Fonctions d appartenance

( ) T a i l l e m

Figure (II.4) : Variables linguistiques

II.1.4 Règles et opérateurs flous

On appelle proposition floue élémentaire, une proposition de type x est A où (X, U, Tx) est une variable linguistique et A un sous ensemble de Tx. Une telle proposition possède un degré de vérité égal à µA(x) où x est une valeur réelle de X. D’une manière générale, on peut combiner ces

(34)

propositions élémentaires à l’aide des opérateurs logiques de conjonction et de disjonction (’et’

et ’ou’) mis en œuvre respectivement par des T-normes et T-conormes. Le degré de vérité des nouvelles propositions obtenues peut être calculé entre autre par les équations suivantes:

Conjonction: (X est A) ET (Y est B) – minimum (µA(x),µ_B(y))

– produit µA(x) × µB(y)

Disjonction: (X est A) OU (Y est B) – maximum (µA(x), µ_B(y))

– somme µA(x) + µB(y) − µA(x) × µB(y)

L’opérateur d’implication permet d’introduire la notion de règle floue qui caractérise les relations de dépendance entre plusieurs propositions floues:

(X1 est A1) ET (X2 est A2) ⇒(Y est B)

Où X1, X2 et Y sont des variables linguistiques et A1 et A2 et B sont des sous-ensembles flous. Une telle règle se trouve habituellement dans les systèmes flous avec une formulation légèrement différente :

Si (X1 est A1) ET (X2 est A2) Alors (Y est B)

Dans cette dernière formulation la partie (X1 est A₁) ET (X2 est A₂) est appelée prémisse de la règle et la partie (Y est B) est appelée conclusion (conséquent).

II.1.5 Structure d'un système flou

La structure du système flou, présentée sur la figure (II.5), peut être décomposée en trois grands modules.

Entrée Sortie

Fuzzification

Mécanisme '

d inference

Défuzzification

Base de regle

Figure (II.5) : Structure générale d’un système flou