Chapitre I: Généralités sur la commande non linéaire et modélisation d'un système
I.3 Conclusion
1 2
1 2 1
λ γ γ
=γ γ
+ − (I.16) On note que le tableau de gain relatif est lié seulement aux réglages des vannes sans avoir recours à d'autres paramètres physiques du procédé. Dans ce cas particulier, le tableau de gain relatif prend des valeurs positives lorsque le système est en phase minimale et des valeurs négatives lorsque le système est en phase non-minimale.
Figure (I.4):Contours du tableau de gain relatif en fonction des paramètres des vannes γ1 et γ2
I.3Conclusion
L’objet de ce premier chapitre était de donner des généralités sur les systèmes non linéaires et leurs commandes plus particulièrement le système quadruple réservoir. On a entamé ce travail par l’introduction d’une définition d’un système non linéaire, de la représentation d’état d’un système non linéaires, de la modélisation d’un système sous forme de représentation d’état et des généralités sur la commande. Ensuite, une attention particulière sur le système quadruple réservoir ou la description du système, le principe de fonctionnement, la matrice de transfert, en fin les emplacements zéro et leurs directions ont été détaillés.
Chapitre II
Techniques de l'intelligence artificielle
II. Introduction
La commande fondée sur l’intelligence artificielle représente un domaine très étendu et laborieux, parmi ces outils on cite les réseaux de neurones artificiels et la logique floue qui sont deux concepts inspirés du raisonnement humain. La logique floue fournit des connaissances avec un certain degré d’incertitude ou d’exactitude et les réseaux de neurones modélisent et reproduisent l’apprentissage humain. Ces deux outils sont différents du point de vue structure, mais possèdent de nombreux points communs et peuvent accomplir des tâches complémentaires d’où l’idée de combiner ces deux techniques pour créer un système artificiel intelligent proche à notre échelle humain. On sait que les techniques de l’intelligence artificielle sont réputées intéressantes pour les systèmes non linéaires là où il est difficile d’établir un modèle mathématique.
La première partie du chapitre décrira en premier lieu les principes de la logique floue, en second lieu un exposé général conceptuel sur les ensembles flous sera présenté, enfin une étude détaillée de la structure interne d’un contrôleur flou sera également donnée.
La deuxième partie du chapitre portera sur une discussion sur les réseaux de neurones et leurs propriétés les plus importantes.
La troisième et dernière partie sera consacrée à la projection des systèmes flous dans un réseau de neurones dans le but de former un système neuro-flou, employée généralement pour la modélisation et la commande des systèmes complexes.
II.1 Logique floue
De nos jours, la logique floue (fuzzy logic) est un axe de recherche important sur lequel se focalisent de nombreux scientifiques [28].
Les commandes à base de logique floue ont connu un succès croissant depuis la fin du dernier siècle, notamment dans le domaine du génie électrique. Celles-ci apportent en effet une amélioration significative des performances par rapport à des commandes linéaires plus classiques. Cependant, les paramètres de ce type de commande sont nombreux et délicats à régler. Le fil conducteur de ces travaux consiste alors à proposer des méthodologies de réglage simples pour des commandes à base de logique floue dédiée à des systèmes électriques [29].
II.1.1 Systèmes flous
Les systèmes flous peuvent être considérés comme des systèmes logiques qui utilisent des règles linguistiques pour établir des relations entre leurs variables d’entrée et de sortie. Ils sont apparus pour la première fois dans les années soixante-dix avec des applications dans le domaine du contrôle des processus [6]. Aujourd’hui, les applications des systèmes flous sont très nombreuses outre la commande, ils sont largement utilisés pour la modélisation, le diagnostic et la reconnaissance de formes [30][31][32]. Pour une meilleure compréhension de leur fonctionnement, nous présentons brièvement quelques notions de base de ces systèmes.
II.1.2 Ensembles flous
La notion d’ensemble flou a été proposée par Zadeh [5] en introduisant un caractère graduel de l’appartenance d’un élément à un ensemble donné. Cela permet une meilleure représentation des termes et des connaissances vagues que nous, les humains, manipulons au quotidien.
Mathématiquement, un ensemble flou A d’un univers de discours U, est caractérisé par une fonction d’appartenance, notée µA, à valeur dans l’intervalle [0,1] et qui associe à chaque élément x de U un degré d’appartenance µA(x) indiquant le niveau d’appartenance de x à A.
µA(x) = 1 et µA(x) = 0 correspondent respectivement à l’appartenance et la non-appartenance.
Exemple: la taille d’un homme est représentée par les figures (II.1, 2):
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0 1 . 5 5 1 . 6 1 . 6 5 1 . 7
µ
( )
T a i l l e m
Petite M oyenne Grande
1 . 7 5 1 . 8
Figure (II.1) : Représentation de la taille d’un homme par les ensembles classiques
- En logique booléenne (figure (II.1)), le degré d’appartenance µ ne peut prendre que deux valeurs (0 ou 1). Dans ce cas la taille peut être :
- Petite : µpetite = 1, µmoyenne = 0, µgrande= 0 ; - Moyenne : µpetite = 0, µmoyenne = 1, µgrande= 0 ; - Grande : µpetite = 0, µmoyenne = 0, µgrande= 1 ;
La taille ne peut pas prendre deux qualificatifs à la fois.
- En logique floue, le degré d’appartenance devient une fonction qui peut prendre une valeur réelle intermédiaire comprise entre 0 et 1 inclus. Dans ce cas, la taille peut être considérée à la fois, comme Petite avec un degré d’appartenance de 0.25 et comme Moyenne avec un degré d’appartenance de 0.75 (figure (II.2)).
Petite Grande
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 M oyenne
( ) T aille m
Figure (II.2) : Représentation de la taille d’un homme par les ensembles flous
L’allure de la fonction d’appartenance est à choisie selon l’application traitée. La figure (II.3), illustre les différentes formes de fonctions d’appartenance les plus utilisées.
Figure (II.3) : Différents types de fonctions d’appartenance utilisées
II.1.3 Variables linguistiques
Une variable linguistique appelée aussi attribut linguistique peut être définie à partir du triplet (X, U, Tx) où x est une variable définie sur l’univers de discours U et Tx = A1,…….An, est un ensemble composé de sous-ensembles flous de U qui caractérise X. On associe souvent à chaque sous ensemble flou de TX une valeur ou un terme linguistique (étiquette). La figure (II.4) illustre un exemple de la variable linguistique ’Taille’ avec trois termes linguistiques: petite, moyenne et grande.
Petite Moyenne Grande
µ
1
Taille V ariable linguistique
Termes linguistiques
'
Fonctions d appartenance
( ) T a i l l e m
Figure (II.4) : Variables linguistiques
II.1.4 Règles et opérateurs flous
On appelle proposition floue élémentaire, une proposition de type x est A où (X, U, Tx) est une variable linguistique et A un sous ensemble de Tx. Une telle proposition possède un degré de vérité égal à µA(x) où x est une valeur réelle de X. D’une manière générale, on peut combiner ces
propositions élémentaires à l’aide des opérateurs logiques de conjonction et de disjonction (’et’
et ’ou’) mis en œuvre respectivement par des T-normes et T-conormes. Le degré de vérité des nouvelles propositions obtenues peut être calculé entre autre par les équations suivantes:
Conjonction: (X est A) ET (Y est B) – minimum (µA(x),µB(y))
– produit µA(x) × µB(y)
Disjonction: (X est A) OU (Y est B) – maximum (µA(x), µB(y))
– somme µA(x) + µB(y) − µA(x) × µB(y)
L’opérateur d’implication permet d’introduire la notion de règle floue qui caractérise les relations de dépendance entre plusieurs propositions floues:
(X1 est A1) ET (X2 est A2) ⇒(Y est B)
Où X1, X2 et Y sont des variables linguistiques et A1 et A2 et B sont des sous-ensembles flous. Une telle règle se trouve habituellement dans les systèmes flous avec une formulation légèrement différente :
Si (X1 est A1) ET (X2 est A2) Alors (Y est B)
Dans cette dernière formulation la partie (X1 est A1) ET (X2 est A2) est appelée prémisse de la règle et la partie (Y est B) est appelée conclusion (conséquent).
II.1.5 Structure d'un système flou
La structure du système flou, présentée sur la figure (II.5), peut être décomposée en trois grands modules.
Entrée Sortie
Fuzzification
Mécanisme '
d inference
Défuzzification
Base de regle
Figure (II.5) : Structure générale d’un système flou
- La fuzzifiction proprement dite consiste à définir les fonctions d’appartenance pour les différentes variables d’entrée et de sortie. On réalise ainsi le passage des grandeurs physiques en variables linguistiques qui peuvent être traitées par les inférences. Elle permet d’associer à chacune des variables réelles, par le biais des fonctions d’appartenances, un degré d’appartenance pour chacun des sous-ensembles flous définis sur l’univers de discours [33].
- Le mécanisme d’inférence est basé sur un ensemble défini de règles. Ces règles de type : Si..., Alors... permettent de passer des degrés d’appartenance des grandeurs d’entrées aux degrés d’appartenance aux sous-ensembles flous des variables de sortie. Ce mécanisme d’inférence va nous permettre donc de générer une conclusion à partir des entrées et des règles actives [29].
- Enfin, le dernier bloc, l’interface de défuzzification, va permettre de transformer les degrés d’appartenance des sous-ensembles flous de commande en grandeur numérique. C’est la transformation inverse du module de fuzzification. Plusieurs méthodes permettent de réaliser l’étape de défuziffication [33]. La méthode du centre de gravité est l’un des moyens les plus simples et les plus utilisés. Elle consiste à rechercher le centre de gravité d’un système de sous-ensembles flous dont les poids sont leurs coefficients d’appartenance.
II.1.6 Choix des éléments du mécanisme d’inférences floues
Le premier élément est le choix de la nature des fonctions d’appartenance en entrée. Afin de faciliter les réglages du contrôleur flou, nous utiliserons des formes triangulaires, ce qui permet de traiter très simplement des fonctions linéaires par morceaux en entrée. Les fonctions d’appartenance sont placées de telle manière qu’à tout moment il n’y ait que deux fonctions d’appartenances activées pour chaque entrée. Ce choix apporte plusieurs avantages. Tout d’abord, en limitant les interactions entre les paramètres, la commande est ainsi considérablement simplifiée. De plus, une action très localisée sur la surface de commande est ainsi rendue possible. Enfin, limitant le nombre de fonctions actives simultanément, le temps de calcul nécessaire au traitement flou sur le calculateur est également réduit.
Ayant choisi le type de fonction d’appartenance en entrée, il faut maintenant déterminer leur nombre, c’est-à-dire la couverture de l’univers du discours. Plus ce nombre sera important, plus le nombre de sous-ensembles flous sera conséquent, et plus la sensibilité de la commande floue augmentera. Cependant, une telle augmentation se traduit aussi par un nombre de paramètres à régler de plus en plus important, ce qui peut s’avérer problématique en termes de temps et difficulté de réglage. Nous fixons alors à sept le nombre de fonctions d’appartenance.
Celles-ci sont représentées par la figure (II.6) et notées : NB (Negative Big), NS (Negative Small), NVS (Negative Very Small), Z (Zero), PVS (Positive Very Small), PS (Positive Small) et PB (Positive Big). La grandeur µ(x) définit le degré d’appartenance au sous-ensemble flou considéré.
Univers du discour s
PB PS
PVS NVS Z
NS NB
-1 1 1
0
µ(x)
Figure (II.6) : Fonctions d’appartenance
Dans l’optique du réglage simple d’une commande floue, il est préférable de fixer les règles de la table de règles car régler séparément chacune des règles augmenterait de façon considérable le nombre de paramètres à régler. De plus, leur influence sur la surface de commande étant locale, un tel choix ne pénalise pas fortement le comportement global. Pour ce faire une table antidiagonale classique, (tableau (II.1)) va être utilisée.
Tableau(II.1): Base d’inférence
∆e
NB NS NVS Z PVS PS PB
e
NB NB NB NB NB NS NVS Z
NS NB NB NB NS NVS Z PVS
NVS NB NB NS NVS Z PVS PS
Z NB NS NVS Z PVS PS PB
PVS NS NVS Z PVS PS PB PB
PS NVS Z PVS PS PB PB PB
PB Z PVS PS PB PB PB PB
Ce tableau donne l’ensemble des règles linguistiques et se lit, par exemple : Si e est PS et ∆e est PVS alors u est PB
La perception humaine de la commande du procédé est ainsi traduite, c’est-à-dire que lorsque la valeur du signal est éloignée de la référence et qu’elle continue à s’en éloigner, un très fort gain va être appliqué au système. Au contraire, au voisinage de la référence, le gain sera moindre. Il est donc aisé d’introduire la non-linéarité de la commande. Le tableau de règles permet d’agir très localement sur la surface de commande et donc une variation de l’un de ses paramètres n’aura qu’une répercussion locale sur la réponse globale [29].
II.1.7 Règles de Mamdani
Dans le cas de règles de Mamdani, le calcul de la valeur numérique de sortie s’effectue en deux étapes:
II.1.7.1Composition des règles
Une fois la phase d’inférence terminée, il s’agit de regrouper (par union) les sous ensemble flous issus de l’inférence pour en obtenir un seul ensemble représentatif des différentes conclusions des règles floues. Comme méthode de composition, on peut citer en particulier les compositions maximum (en général couplée avec l’inférence minimum) et somme (en général couplée avec l’inférence produit). La première consiste à caractériser l’ensemble de sorties par une fonction d’appartenance égale au maximum des fonctions d’appartenance des ensembles flous. La deuxième consiste à faire la somme de fonctions d’appartenance des sous-ensembles issus de l’inférence [6].
II.1.7.2Passage du symbolique vers le numérique
C’est la phase de défuzzification proprement dite qui permet de générer une valeur numérique à partir de l’ensemble obtenu par composition des règles. Il existe plusieurs méthodes de défuzzification ; les plus communément employées sont [30]:
II.1.7.2.1 Méthode de centre de gravité
La défuzzification par centre de gravité consiste à calculer l’abscisse du centre de gravité de la fonction d’appartenance résultante
µ
r . En pratique, on estime le centre de gravité, en calculant la moyenne d’un certain nombre de points échantillonnés sur la fonction:
* ( )
( )
i r i
r i
y y
y y
µ
=
∑
µ∑
(II.1)II.1.7.2.2 Méthode moyenne dumaximum Cette méthode, s’applique uniquement dans le cas où la fonction d’appartenance
associée à l’ensemble de sortie n’admet qu’un seul maximum. On choisit comme sortie l’abscisse y*correspondant à ce maximum.
II.1.8 Traitement numérique des inférences
Dans les règles précédemment décrites, interviennent les opérateurs ET et OU.
L’opérateur ET s’applique aux variables à l’intérieur d’une règle alors que l’opérateur OU lie les différentes règles. A cause de l’empiètement des fonctions d’appartenance, en général deux ou plusieurs règles sont activées en même temps. Ce fait doit être pris en considération lors de la réalisation de l’opérateur OU. Une méthode d’inférence doit être utilisée permettant le traitement numérique des différents opérateurs dans cette inférence. L’idée générale est d’obtenir une certaine allure de la fonction d’appartenance résultante de la variable de sortie à partir de certaines valeurs pour les fonctions d’appartenance des variables d’entrées. La méthode d’inférence max-min est utilisée dans notre cas. La conclusion dans chaque règle lie le degré d’appartenance de la variable de sortie par l’opérateur ET alors réalisé par la formation du minimum. Enfin, l’opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé par la formation du maximum. La figure (II.7) représente graphiquement le principe de la méthode d’inférence max-min. Ce schéma traite l’exemple d’un système de deux règles liant deux variables d’entrées, x et y, à une variable de sortie, z. L’allure de la fonction d’appartenance de la variable de sortie résultat de l’application de ces règles à deux valeurs données des variables d’entrée, x1 et y1, est ainsi montrée. Cet exemple met en évidence le choix du degré d’appartenance minimal représentant l’opérateur ET qui vient affecter la fonction d’appartenance de la variable de sortie désignée dans chaque règle. L’opérateur OU reliant les deux règles est traité en choisissant le degré d’appartenance maximal à chacun des ensembles flous de la variable de sortie obtenue par l’application de chacune des deux règles.
M
Figure (II.7) : Méthode d’inférence max-min pour deux variables d’entrée et deux règles
Étant donnée l’allure de la fonction d’appartenance résultante de la variable de sortie, µres
(z), la dernière phase du traitement numérique des inférences est notamment la transformation de cette information floue en une valeur déterminée. C’est précisément la phase de défuzzification, méthode inverse de la fuzzification. Concrètement, pour une valeur donnée des variables d’entrées, une valeur précise de la variable de sortie est ainsi fournie par le mécanisme d’inférence flou. Nous allons utiliser la méthode la plus utilisée qui consiste à déterminer le centre de gravité de la fonction d’appartenance résultante comme le montre la figure (II.8). La valeur de la variable de sortie résultante, zres est ainsi l’abscisse de ce centre de gravité.
µres
zres z
Figure (II.8) : Méthode de défuzzification par calcul de l’abscisse du centre de gravité de la fonction d’appartenance résultante
II.1.9 Régulateur flou de type PI
La présente section a pour but de présenter plus en détails la structure retenue pour les correcteurs flous de type PI utilisés dans nos travaux. Ce correcteur représenté par la figure (II.9).
err eur
dèrivèe de l’erreur
Fuzzification mécanisme d’infér ence
et base de règle
dèfuzzification
G∆u ∫
∆u u
ê
∆ê G∆e
Ge
Figure (II.9) : Régulateur flou de type PI
Deux entrées sont traitées, l’erreur e et la dérivée de l’erreur ∆e pour une unique commande u . Les deux entrées sont normalisées au moyen de gains de normalisation, Gepour l’erreur et G∆epour la dérivée de l’erreur. Un gainG∆u , est utilisé pour normaliser la sortie.
L’univers du discours est ainsi ramené sur l’intervalle [−1, +1]. Les facteurs de normalisation permettent ainsi de définir le domaine de variation normalisé des entrées et le gain de dénormalisation définit le gain en sortie du correcteur flou de type PI. Ces éléments permettent d’agir de façon globale sur la surface de commande en élargissant ou réduisant l’univers du discours des grandeurs de commande.
II.1.10 Définition de la loi de commande floue
Cette loi est fonction de l’erreur et de sa variation (u = ( ,f e ∆e)). Par conséquent, l’activation de l’ensemble des règles de décision associées donne la variation de la commande
∆u nécessaire, permettant l’ajustement de la commande u [34].
La forme générale de la loi de commande est donnée par [34] [35] :
∆ Variation de la commande.
Te: période d'échantillonnage.
L’erreur e et la variation de l’erreur ∆e sont normalisées comme suit:
e
Ge et G∆e représentent les facteurs d’échelle (Gain de normalisation). On fait varier ces facteurs de façon à trouver un réglage convenable.
II.1.11 Régulateur PID à base d'un système flou
L'algorithme de régulation PID est exprimée sous forme d'un contrôle discret par:
(II.3)
Il est très difficile de régler correctement les gains des contrôleurs PID, car de nombreuses installations industrielles sont souvent accablés par des problèmes tels que d'ordre élevé, des retards, et non-linéarités [36][37]. Pour cette raison, de nombreux chercheurs ont mis en avant de nombreuses nouvelles stratégies de contrôle PID basé sur des algorithmes intelligents [38][39][40]. Une des méthodes les plus intéressantes est basée sur les concepts de la logique floue. La Figure (II.10) montre le schéma de commande du système en utilisant un régulateur PID à base d'un système flou, où les valeurs de gain du régulateur PID sont ajustes par un contrôleur flou [29].
yr
y system flou
PID système
KP Ki Kd
u
e
∆e
dtd
Figure (II.10) : Régulateur PID-flou
Trois tables de contrôle flou distinctes sont utilisées pour définir les trois paramètres du régulateur PID-flou, on peut les voir dans les tableaux (II.2) à (II.4) [41].
Tableau(II.2): Base d’inférence pour Kp
∆e
NB NM NS Z PS PM PB
e
NB PB PB PM PM PS Z Z
NM PB PB PM PS PS Z NS
NS PM PM PM PS Z NS NS
Z PM PM PS Z NS NM NM
PS PS PS Z NS NS NM NM
PM PS Z NS NM NM NM NB
PB Z Z NM NM NM NB NB
Tableau(II.3): Base d’inférence pour Ki
∆e
NB NM NS Z PS PM PB
e
NB NB NB NM NM NS Z Z
NM NB NB NM NS NS Z Z
NS NB NM NS NS Z PS PS
Z NM NM NS Z PS PM PM
PS NM NS Z PS PS PM PB
PM Z Z PS PS PM PB PB
PB Z Z PS PM PM PB PB
système flou
Tableau(II.4): Base d’inférence pour Kd
∆e
NB NM NS Z PS PM PB
e
NB NS NB NB NB NS PS PS
NM NS NB NM NM NS Z PS
NS NS NS NM NS NS Z Z
Z NS NS NS NS NS Z Z
PS Z Z Z Z Z Z Z
PM NS PS PS PS PS PB PB
PB PM PM PM PS PS PB PB
II.1.12 Régulateur PD-flou avec action intégrale
Il est simple de concevoir un régulateur PID floue avec trois termes entrés : erreur, intégrale de l'erreur et dérivée de l'erreur. Une base de règles avec trois entrées devient grande et
Il est simple de concevoir un régulateur PID floue avec trois termes entrés : erreur, intégrale de l'erreur et dérivée de l'erreur. Une base de règles avec trois entrées devient grande et