Réglage Analytique du Régulateur PI

Réglage Analytique du Régulateur PI ^λ D ^µ

Nadir Fergani^(1),(2) , Abdelfatah Charef⁽²⁾ et Djamel Boucherma^(1),(2)

(1)Welding and NDT Research Centre, BP 64, Cheraga, Algeria

(2)Laboratoire de traitement de signalDépartement d’électronique Université Mentouri - Constantine -

Route de Ain El-Bey, Constantine 25000, Algérie

*Email: nadirfergani@yahoo.fr

Résumé- Dans ce papier, une méthode de réglage du correcteur PI^λD^µ a été présentée. Cette technique utilise la réponse indicielle du processus à asservir stable ou à la limite de stabilité et elle ne nécessite aucune approximation du processus par un modèle. Les cinq paramètres du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire sont conçus tel que le système en boucle fermée soit équivalent à un modèle d’ordre fractionnaire désiré. Des exemples illustratifs ont été présentés pour tester cette approche de réglage. Les réponses fréquentielles et temporelles ont été obtenues et la robustesse en performances a été aussi analysée vis-à-vis des incertitudes sur le gain avec éclaircissements de la flexibilité de technique proposée.

Keywords: — Bode’s ideal function, Fractional PI^λD^µ controller, Iso- damping property, Robustness, Step response

I. INTRODUCTION

Malgré les avances continues dans la théorie de la commande, le correcteur PID est la technique la plus utilisée dans l’asservissement des processus industriels pour des décennies.

Les raisons majeures de sa large acceptation en industrie sont sa capacité de commander la majorité des processus, ces actions sont bien comprises et son implémentation est très simple. La conception et le réglage de ce type de correcteur a été un sujet de recherche depuis le jour où Ziegler et Nichols ont présenté leur méthode en 1942 [1].

Récemment, un correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire qui est une généralisation du correcteur PID classique a été proposé par Podlubny en 1999 [2], ce correcteur comprend une intégration fractionnaire d'ordre λ et une dérivation fractionnaire d’ordre µ ou λ et µ sont des nombres réelles.

L’intérêt pour ce type de correcteur est justifié par une meilleure flexibilité dans la conception de la commande puisqu’il a deux paramètres en plus, les ordres fractionnaires des actions d’intégration et de dérivation. Ces paramètres peuvent êtres utilisés pour satisfaire des performances additionnelles dans la conception des systèmes asservis. Bien que plusieurs méthodes et techniques de réglage du correcteur PI^λD^µ aient été proposées, un travail de recherche continu et intensif est encore en cours pour le rehaussement de la qualité et l’amélioration des performances des systèmes asservis [3] à [10]. L’objectif de ce travail est de présenter une méthode simple de réglage du correcteur d’ordre fractionnaire PI^λD^µ [19]. Cette technique utilise la réponse indicielle du processus

à asservir supposé stable et elle ne nécessite aucune approximation du processus par un modèle s’inspirant d’une technique récente de réglage du PID classique [11]. Les cinq paramètres du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire sont conçus tels que le système en boucle fermée soit équivalent à un système désiré. Ce système désiré est un système d’ordre fractionnaire oscillatoire dont la fonction de transfert est une fonction irrationnelle donnée par l’équation (3) [12], Où 1 < m

< 2 et ωu est une fréquence caractéristique. Ce type de système est très largement utilisé dans la commande d’ordre fractionnaire parce qu’il est l’équivalent à la fonction de transfert en boucle fermée de la boucle de commande idéale de bode en plus il présente des caractéristiques de robustesse très importante tel que l’indépendance de son dépassement des variations du gain statique en boucle ouverte [13].

II. Formulation du problème

Considérons le système de commande classique à retour unitaire suivant :

Figure 1: Classical unity feedback control system

C(s) est la fonction de transfert du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire est donné par :

µ λ D

I

C T s

s K T

C(s) = + + (1) G_p(s) est la fonction de transfert du processus supposé inconnue dans notre cas, selle la réponse indicielle du processus est disponible.

On a la fonction de transfert en boucle fermée est donné par : )

s ( G ) s ( C 1

) s ( G ) s ( C ) s ( R

) s ( ) Y s ( G

p p

A = = + (2) Le problème de conception de ce système asservi est de régler les cinq paramètres du correcteur d’ordre fractionnaire C(s) pour garantir que la fonction de transfert en boucle fermée se comporte comme un système de référence qui lui-même

R(s) Y(s)

C (s) G_p (s) +

-

répond aux spécifications du cahier de charge du système asservi projeté. Le système de référence est lui aussi choisi comme un système d’ordre fractionnaire dont la fonction de transfert G_d (p) est donnée comme suit [12] :

m u d

ω ) ( s 1 (s) 1 G

= + (3) Où 1 < m < 2 : ce choix du paramètre m est justifié par

l’obtention d’un marge de phase 0<φm<π/2, si on veut un système sur amortie en peut choisi m entre 0 et 1 et

ω

_u^{est de}

la fréquence du gain unité. Les paramètres m et

ω

_usont choisis pour que ce système de référence répond aux spécifications du cahier de charge du système asservi projeté, ce système est équivalent à la FTBF de la boucle de commande idéale de bode qui possède une propriété de robustesse très importante dite iso amortissement [13].

Donc La première étape de notre travaille est de calculer le deux paramètres (m et ωu) du système G_d(s) selon des spécifications donnée,où ωu est la fréquence caractéristique et m=2(π- φm)/π . Les cinq paramètres du PID sont conçu tel que G_A(s)

≈

^Gd(s).

III. Principe de la méthode

Les deux fonctions G_A(s) et G_d(s) peuvent développées en séries de Taylor au tour du point

ω

_u , on obtient les deux polynômes suivants :

+L + −

−

+

− +

=

) (ω

! G 3

) ω ) (s (ω

! G 2

) ω (s

) (ω G ) ω (s ) (ω G (s) G

u (3) A 3 u u

(2) A 2 u

u (1) A u u

A A

(4)

+L + −

−

+

− +

=

) (ω

! G 3

) ω ) (s (ω

! G 2

) ω (s

(ω ) G ω ) (s (ω ) G (s) G

u (3) d 3 u u

(2) d 2 u

u (1) d u u

d d

(5)

Par l’identification des cinq premiers termes des deux polynômes on obtient les égalités suivantes :

 





 







=

=

=

=

=

(ω ) G (ω ) G

(ω ) G (ω ) G

(ω ) G (ω ) G

(ω ) G (ω ) G

(ω ) G (ω ) G

u (4) d u (4) A

u (3) d u (3) A

u (2) d u (2) A

u (1) d u (1) A

u d u A

(6)

Donc les paramètres du PI^λD^µ sont obtenus par la résolution des cinq équations non linéaires (6), dans ce contexte on va utiliser une technique de changement de variable pour l’obtention d’une solution analytique des équations (6).

Remarque : les

G

⁽ⁱ⁾_A

(ω

_u

)

sont en fonction des

G

⁽ⁱ⁾_p

(ω

_u

)

, et on a mentionné que le modèle du processus est inconnu, pour cela on va utiliser une technique pour calculer les

) (ω

G

⁽ⁱ⁾_{p u} analytiquement à partir de la réponse indicielle du processus. La technique proposée dans [19] résoudre les cinq équations et retire les paramètres selon un algorithme proposé.

IV. ALGORITHME DE REGLAGE DES PARAMETRES DU CORRECTEUR

Pour le réglage des paramètres K_c, T_I, T_D, λ et µ du correcteur d’ordre fractionnaire C(s) = PI^λD^µ du système asservi de la figure (I) afin que sa fonction de transfert en boucle fermée se comporte comme un modèle de référence qui répond aux spécifications du cahier de charge du système asservi projeté : Données :

- La fréquence du gain unité

ω

_u du modèle de référence de l’équation (3)

- L’ordre fractionnaire de dérivation m du modèle de référence de l’équation (3)

- Les valeurs de la réponse indicielle du processus gin(kT), pour 0 ≤ k ≤ N

-Le nombre d’échantillons N = partie entière {T_ac/T}, avec T_ac= temps d’acquisition et T = période d’échantillonnage de la réponse indicielle du processus

Sortie : Valeurs des cinq paramètres K_c, T_I, T_D, λ et µ V. Algorithme de calcule :

Etape 1 : Calculer les variables θi , pour 0 ≤ i ≤ 4

4 u 2 4

3 u 2 3

2 u 2

u 1

0

ω 4

2) (m m θ 3

ω 8

4) (m θ m

4ω θ m

4ω θ m

2 θ 1

− −

=

= −

=

−

=

=

(7)

Etape 2 : Calculer les variables STP_i , pour 0 ≤ i ≤ 4

∑

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

−

=

=

N

1 K

KT ω in

4 4

N

1 K

KT ω in

3 3

N

1 K

KT ω in

2 2

N

1 K

ω KT in

1 N

1 K

KT ω in

0

u u u u u

e (KT) g (KT) STP

e (KT) g (KT) STP

e (KT) g (KT) STP

e (KT) g (KT) STP

e (KT) g STP

(8)

Etape 3 : Calculer les

G

⁽ⁱ⁾_o , pour 0 ≤ i ≤ 4

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

^{1 θ}₀ ⁴

3 6θ1 3

θ0 1

θ2 6θ1 2 θ0 1

θ3 u)

(3)(ω Go

3 θ0 1

2 2θ1 2

θ0 1

θ2 u)

(2)(ω Go

2 θ0 1

θ1 u)

(1)(ω Go

θ0 1

θ0 u) o(ω G

+ − + −

= −

+ −

= −

= −

= −

( ) ( )

( ) (

^{1 θ}₀

)

⁵

4 24 θ1 4

θ0 1

θ2 2 36 θ1

3 θ0 1

θ3 8θ1 2 6θ2 2 θ0 1

θ4 u )

(ω (4) G o

− +

−

+

− + +

−

=

Etape 4 : Calculer les

X

_i, pour 0 ≤ i ≤ 4

















−

−

−

−

−

−

−

= −

















−

−

−

−

−

= −

−

−

−

−

=

−

−

=

=

STP2 X2 6ωu STP3 X1 4ωu STP1 X3 4ωu STP4 X0 ωu

STP3 4X0 STP2 12X1 STP1 12X2 STP0 4X3 u) (4)(ω Go STP0 ωu

1 X4

STP2 X1 3ωu STP1 X2 3ωu

STP3 X0 ωu STP2 3X0 STP1 6X1 STP0 3X2 u) (3)(ω Go STP0 ωu

1 X3

2) 0STP uX 1 ω 1STP uX 1 2ω 0STP X 0 2 1STP 2X u) (2)(ω (Go STP0 ωu

1 X2

1) 0STP uX 0 ω 0STP X u) (1)(ω (Go STP0 ωu

1 X1

STP0 ωu

u) o(ω G X0

Etape 5 : Calculer les variables Zi, pour 1 ≤ i ≤ 3

4 3 u 3 2 u 2 u 1 3

3 2 u 2 u 1 2

2 u 1 1

ω X 6ω X

7ω X X Z

X ω X 3ω X Z

X ω X Z

+ +

+

=

+ +

= +

=

Etape 6 : Résoudre l’équation du second ordre du paramètre λ suivante :

( ^{Z X Z} ) ^{( Z Z X Z )} ( ^{Z X}

1

^Z

3

) ⁰

2 2 3

1 2 1 2 2 1 2

1

− λ + − λ + − =

-Choisir la solution convenable (λ > 0)

Etape 7 : Calculer les paramètres µ, TD, T_I et K_c

1 1

2 1

Z X

Z Z

+ λ

+

= λ

µ

( )

[ ] ( )

[ ^{( Z )} ]

T X ) ,

( Z T X

) 1 ( u 1 1 I

) 1 ( u 1 1

D

λ λ + µ

ω

−

− µ µ =

+ λ µ

ω +

= λ

^{−µ +λ}

µ u D λ u I

c

X T ω T ω

K =

₀

−

⁻

−

V.EXEMPLE DE SIMULATION

Nous allons valider la méthode proposée dans la section 4 sur la commande des deux processus définies par les fonctions de transferts (7) et (8), tel qu’on fait la commande de ces processus par des PI^λD^µ réglé par la méthode proposé pour les mêmes spécifications désirées. Les fonctions de transfert des processus sont données par [6] :

ω ) (1 s ω

s (s) g G

0 1

0

p2 = + (7)

2 0 1

0 p3

ω ) (1 s ω

s (s) g G

= + (8)

Les paramètres de ces processus sont donné par :

- plant G_p2(s): g₀ = 1, ω0=50 rd/s and ω1 =16.89 rd/s.

- plant G_p3(s): g₀ = 1, ω0=10 rd/s and ω1=17 rd/s.

Le système asservi projeté (boucle fermée) doit garantir les spécifications suivantes :

- La pulsation de gain unité ωu=500 rad/sec.

- La marge de phase φm = 45°

Le système donné par l’équation (3) qui satisfait les spécifications du cahier des charges est donné par la fonction de transfert suivante:

1.5 m

u d

500) ( s 1

1 s )

( 1 (s) 1 G

+

= + ω

= (9)

Par l’utilisation de la technique proposée, on obtient les deux correcteurs suivants :

^.0.5

0.5002

2 13.2356s

s 662.2204 0535

. 0 (s)

C = + +

^0.5415

1.5003

3 - 98.0790 s

s 6.5589 7073

. 200 (s)

C = + + Les fonctions de transferts C_i(s) sont des fonctions

irrationnelles, on peut obtenir sont approximation par des fonctions rationnelles dans une bande fréquentielle donné on utilise la méthode de charef présenté dans [14], [15], le modèle désiré aussi est représenté par une fonction irrationnelles met on peut obtenir sont approximation fréquentielle et sa réponse analytique présenté par [12]. On fait la simulation avec les paramètres suivante :

- La bande d’approximation du correcteur est : [ω_u10^-2 ωu10²]= [5 50000] rad/sec.

- La période d’échantillonnage du signal est T=10^-4sec.

Les figures suivantes représente les réponses fréquentielle et temporelle des systèmes commandé.

Figure 3 Bode diagrams of C2(s) Gp2(s) and desired open loop.

Figure 4 Bode diagrams of C3(s) Gp3(s) and desired open loop

Figure 6 Step responses of reference model and PI^λD^µ closed-loop system for Gp2.

Figure 7 Step responses of reference model and PI^λD^µ closed-loop system for Gp3

Les figures 2, 3 et 4 montrent que à l’intérieur de la bande d’approximation on obtient une phase constante, cette propriété se traduit dans le domaine temporelle par un dépassement insensible à la variation du gain.

VI Performances:

Dans cette section on présent une étude comparative de la robustesse en performance obtenues par le PI^λD^µ et celle obtenu par un PID classique. Le processus est défini par la fonction de transfert suivante :

ω ) (1 s ω

s (s) g G

0 1

0

p2

= +

Les valeurs nominales des paramètres g₀, ω1 et ω0 sont : g0 = 1, ω0=50 rd/s and ω1 =16.89 rd/s.

Le correcteur obtenu par la méthode proposé est donné par :

.0.5 0.5002

2

1 3 . 2356 s

s 662.2204 0535

. 0 (s)

C = + +

Pour tester la robustesse de ce contrôleur vis-à-vis la variation du gain la valeur du gain g0 est modifié sur l’intervalle suivant : g_0min = g₀/10 ; g_0max = 10 g₀.

On à un PID classique calculé pour les mêmes spécifications données en section 5 ou sa fonction de transfert est donnée par [16] :

) 72 . 1224 / 1 )(

6804 . 0 / 1 (

) 12 . 204 / 1 )(

0824 . 4 / 1 7 ( . 728 (s) C

_PID

s s

s s

+ +

+

= +

La figure 8 montre que la phase est plus plate dans le cas où on utilise le correcteur fractionnaire, les deux figures 9 et 10 montrent que l’utilisation du correcteur d’ordre fractionnaire a assuré une robustesse en dégrée de stabilité (marge de phase et dépassement) vis-à-vis la variation du gain, donc on peut dire qu’on a atteindre notre objectif qui est la synthèse du correcteur basé sur la boucle de commande idéale de bode pour obtenu un système iso amortie.

Figure 8 Bode Diagram of the three open loop functions: the desired reference, with PID controller and with PI^λD^µ controller.

Figure 9 Step response of the closed-loop system with PI^λD^µcontroller for different values of g0.

Figure 10 Step response of the closed-loop system with classical PID

controller for different values of g0. Amélioration des performances :

L’avantage majore de la technique de réglage présenté dans la section 4 est la précision des performance souhaité, donc on peut améliorer les performance du système en boucle fermée

on jouons sur les deux paramètres de la réponse désiré m et ωu puis on refaire le calcule de l’étape 1 à 7. Le tableau suivant représente les résultats obtenus pour des déférentes spécifications désirées sur le mem système donné en (30).

Tableau (1) : les correcteurs C4, C5, C6 et C₇ obtenus pour des différent spécifications

spécifications désirées Paramètres obtenues Spécifications

obtenues Marge de

Phase

Pulsation ωu

Kc Ti Td λ µ Marge de

Phase

Pulsation ωu

75 1000 9.5152 183.7223 3.7354 0.1868 0.8336 75.1 1000

85 1400 81.076 109.5660 2.4627 0.4047 0.9451 86.9 1400

85 100 0.0001 7.6467 0.1529 0.0556 0.9444 86 100

15 100 1.49 10^-

5

274.812 5.4962 0.8333 0.1667 14.9 99.9

La figure (11) montre la flexibilité de la technique de réglage proposée tell que par un PI^λD^µ on peut varier les performance entre les deux réponses présenté sur la figure avec un bonne précision sur la réponse temporelle on maintient toujours la propriété d’iso amortissement sur le système en boucle fermée.

Figure 11 Step response of the closed-loop system with C5(s) and C7(s) read and desired response blue

.

On peut élargir la possibilité de réglage on changent le système de référence soit par un modèle d’ordre entier ou d’ordre fractionnaire, dans notre travail nous avons utiliser un celle type des système comme un modèle de référence pour maintenais la propriété d’iso amortissement.

Conclusion

Dans ce travail une nouvelle méthode simple et efficace pour le réglage du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire afin de satisfaire des spécifications en boucle fermée donnée a été présentée. La technique proposée est l’extension d’une méthode récente de réglage du correcteur PID classique qu’on a appliqué au réglage du correcteur d’ordre fractionnaire PI^λD^µ. Les paramètres du correcteur d’ordre fractionnaire PI^λD^µ ont été obtenus analytiquement en fonction de la réponse indicielle du système à asservir et des paramètres du système désiré. Des exemples illustratifs ont été utilisé pour tester la méthode de réglage du

correcteur PI^λD^µd’ordre fractionnaire proposée, puis un test de robustesse vis a vis les variation du gain a été fait , les résultats obtenus ont été comparer avec celle ci obtenues par PID classique, on peut dire que les résultats montrent l’efficacités, la précision et la flexibilité de la technique proposée.

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