VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES (1) Cours professé par le professeur Awono Onana Ecole Nationale Supérieure Polytechnique de Yaoundé

VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES (1) Cours professé par le professeur Awono Onana Ecole Nationale Supérieure Polytechnique de Yaoundé

Définition 1 : Soit A une matrice carrée d’ordre n. Le nombre  tel que :

; 

Ax = λx x 0 (1)

est appelé valeur propre de la matrice A. Le vecteur x associé à la valeur propre

 est appelé vecteur propre de la matriceA.

Remarque. Selon la définition ci-dessus, une valeur propre peut être nulle, mais jamais un vecteur propre. Par ailleurs, si x est un vecteur propre de la matrice

A, alors tout multiple de x est également vecteur propre de A. Remarque. L’équation (1) se ramène à :



^{A - λI x =}



^{0 (2)}

Le problème est donc de trouver les éléments x de l’espace nul de la matrice B = A - λI où les λsont les valeurs propres de la matrice A.

Définition. Soit A une matrice carrée d’ordre n et de valeurs propres  ₁, ₂,...,_n. Si, pour une valeur propre on a :  _i  _i1  _{i m 1} ; alors, on dit que cette valeur propre est de multiplicité algébrique m.

Définition 4 : La multiplicité algébrique d’une valeur propre d’une matrice A

est le plus grand entier k tel que ()^k divise le polynôme caractéristique deA.

Exemple. Considérons la matrice

3 1 4 1

0 3 3 3

6 2 8 2

6 4 2 4

 

 

  

 

  

 

    

 

A dont les valeurs propres

sont respectivement  ₁ ₂ 0;₃ ₄  3. Chacune des deux valeurs propres est de multiplicité algébrique 2.

Remarque. Il découle de cette définition que si la matrice A de dimension n a pour valeurs propres  ₁, ₂,...,_p de multiplicité algébrique respective n n₁, ₂,...,n_p:

1 p

i i

n n





 ; alors, son équation caractéristique est de la forme :



  1

 

ⁿ¹   2



ⁿ²



  _p



^np 0

Définition : Le polynôme ^det



^{A - λI}



est appelé polynôme caractéristique de la matriceA.

Théorème : Toute matrice carrée A de dimension n admet n valeurs propres complexes.

Preuve. Ceci découle d’un résultat fondamental de l’algèbre selon lequel tout polynôme de degré n admet racines complexes.

Définition 2 : L’ensemble ^

 

^A des valeurs propres d’une matrice A est le spectre de la matrice.

Théorème. Soit A une matrice carrée triangulaire supérieure (inférieure). Les valeurs propres de A sont égales aux éléments diagonaux.

Preuve. On sait que le déterminant d’une matrice triangulaire est égale au produit de ses éléments diagonaux. A étant une matrice triangulaire , A - λI l’est

aussi et son déterminant est

 

1

det

n

ii i

i

a







 

A dont les racines sont

; 1, 2,...,

i a iii n

   .

Définition. Etant donnée A une matrice carrée d’ordre n, l’ensemble

  

^/



N_ A - λI  x Ax = λx

est appelé espace propre de la matrice A associé à la valeur propre .

Remarque. La définition ci-dessus laisse clairement entendre que le vecteur 0

est un élément de l’espace propre

Exemple. Considérons la matrice

4 1 1

2 5 2

1 1 2

  

 

  

 

 

A dont les valeurs propres sont

1 2 3, 3 5

     . CalculonsN5



A - 5I



. Solution.

4 1 1 5 0 0 1 1 1

2 5 2 0 5 0 2 0 2

1 1 2 0 0 5 1 1 3

  

     

     

       

      

     

A - 5I

On trouve que ^N5



^A5I



^



^{xR3/x1 2x x2, 3  7x2}



Exemple. Considérons la matrice

5 2 0

8 3 0

4 2 1

 

 

  

   

 

A . On vérifie aisément que

 1est une valeur propre de la matrice A. calculons N_1



A + I



. En effet, l’équationAu = -uconduit à deux vecteurs propres _{1 2}

0 1

0 ; 2

1 0

   

   

   

   

   

u u . Dès lors :

 

1 1 2 1 2

0 1

/ 0 2 ; ,

1 0

N_    

     

     

       

       

 

A + I x x

Exercice. x étant une valeur propre de la matrice A, calculez A x^k .

Solution. Soit  la valeur propre associée au vecteur propre x : Ax = λx. Dès lors,

2 2

3 2 2 3

A x = AAx = Aλx = λAx = λ x A x = Aλ x = λ Ax = λ x

Admettons que

1 1

n^ n^

A x x

Alors,

1 1 1

n  n^ = n^ n^ n

A x AA x A x Ax x

Exercice. Soit A une matrice carrée. Démontrez que toute valeur propre  de A vérifie :

inf A^k 1/^k;k

  

Solution. On a en effet λu = Au et par conséquent λ u = A u^{k k} . On en tire que :

 

^1/k

k k

 u  A u    A .

Définition : le polynôme ^{p( )}

^{ }

^det



^{A - λI}



est appelé polynôme caractéristique de la matriceA.

Remarque. Si la matrice A est carrée de dimension n, alors,

   

11 12 1

21 22 23 2

1

det

n n A

n nn

a a a

a a a a

p

a a



 



  

  

 

 

 

 

  

 

A - λI



a11 



a22 

 

ann 



    termes de degré  n 2. On observe par ailleurs que

 

^{0 det}

pA  A.

Exemple 1. Considérons la matrice

3 3

A 4 7

 

  

 

Son polynôme caractéristique est ^p

 

^{ 210 9}



^1



^9



. On en tire que les valeurs propres sont₁ 1; ₂ 9. Dès lors, pour 1 :

 

1 2

0 / 2

N x x  3x 

 

A - I

et pour 9 :



9

 

0 / 2 1 2



N A I  x x x

Exemple 2. Considérons le système d’équations différentielles

' 3 3

; 4 7

 

   

 

y Ay A

Nous savons de l’exemple ci-dessus que₁1; ₂ 9. Alors, les solutions du système sont :

1 2

1 2

2 1

3 ; 1 2

t t

y e^ y e^

   

 

      

Toute autre solution de ce système sera une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières.

Exemple 3 : On considère la réaction chimique dans un réacteur parfaitement agité de volume V :

k C

k 





 ^{1 2}

on se propose de calculer la concentration des composants sachant que à l’instant t 0, on a :

0



 _

 x xC

x

et le mélange qui est transmis au réacteur en quantité v est composée ainsi qu’il suit :

0 0 0, _B, _C

A x x

x ; avec x_⁰ x⁰_B x_C⁰ 1

Dès lors la vitesse d’une étape est donnée par les relations :

C C

A kx k x

x

k₁ ;  ₁ ;  ₂



 _{ }

  



le régime non stationnaire de fonctionnement du réacteur chimique est décrit par les équations suivantes :

 

 

 







































 



 

B C

C C

B A

x Vk x x dt v V dx

x k x k V x x dt v V dx

x Vk x x dt v

V dx

2 0

2 1 0

1 0

) (

Ce système d’équations différentielles n’est pas linéairement indépendants, car la sommation de trois équations est identiquement nulle. Il est donc préférable de le ramener à un système de deux équations indépendantes et de calculer la troisième concentration par la relation :

1



 _

 x xC

x

Soient :





















 





 





2 1

1

1 1 0

;

k k

k x

X x

B A



 ,

v

V



Alors, on a la relation suivante pour l’équation qui décrit l’évolution de la concentration des composants du mélange dans le réacteur :

X X

dt X

d  1 ⁰



la solution de cette équation non homogène sera la somme de la solution de l’équation homogène X X

dt

d ~ ~qui est de la forme X~ e^tP

, où P est le vecteur des constantes d’intégration et d’une solution particulière de l’équation non homogène calculée à partir de l’équation :

~ 0

0/ X 

X 

la solution générale de l’équation non homogène sera donc :

0

1 1

X P

e

X  ^t  ^



Pour la détermination du vecteurP, on utilise la condition initialeX_t0 0, ce qui permet de trouver queP¹^1X⁰

 .

Dès lors,

 

^{1 0}

) 1

(t E e X

X   ^t ^



Le calcul de la solution par cette relation suppose le calcul de l’exponentielle de la matrice , qui peut être obtenue par la formule de Sylvestre :

 

 

^{j n}

I e

e

i j

j i i j n j

i t

t _i

,...

2 , 1

;

1

 









 







 











où les jsont des valeurs propres de la matrice , qui sont les zéros du polynôme caractéristique ^det



^E



^0. En conclusion, le calcul de l’évolution des concentrations d’un mélange dans un réacteur se ramène au calcul des valeurs propres.

Exemple 4. En mécanique quantique, une particule est déterminée non pas par ses coordonnées spatiales, mais plutôt par sa fonction d’onde  qui se trouve être la solution de L’équation d’onde de Schrödinger :

 

2 2 2 2

2 2 2 2

8 m 0

x y z h U

    

      

  

Où H est le Hamiltonien,  est l’énergie de l’orbite moléculaire et est la fonction d’onde. Ainsi, le calcul des niveaux énergétiques des orbites moléculaires est ramené à un problème des valeurs et des fonctions propres à partir de l’équation caractéristique :



  H

En pratique, c’est la méthode des orbites moléculaires qui est utilisée pour la résolution de cette équation. On suppose alors que la fonction d’onde de l’orbite moléculaire est une combinaison linéaire des fonctions d’onde des orbites atomiques :

r n

i jr

j  









1

j ,_jr sont respectivement l’orbite moléculaire et le coefficient de pondération de la r^ème orbite atomique pour la molécule j ; _r est l’orbite atomique pour l’atome r. L’énergie du système est donnée par la relation :



^{  }



^{/( 2 )}

 ^



H d



d

L’état le plus stable correspond à celui qui minimise l’énergie orbitale. Le problème se revient donc à calculer les coefficients _jrqui permettent de minimiser l’énergie du système. Ce qui conduit à la résolution d’un problème de minimisation de l’énergie  par rapport aux coefficients jr. A terme, on arrive au système d’équations suivant :

 

0

1











 _{ki ki}

n

i

i H S

Les H_iisont appelés intégrales de Coulomb et caractérisent l’énergie des électrons sur l’orbite 2p. On admet que Les H_iiont tous la même valeur qui est

. Les termes H_ki;k isont appelés intégrales de résonance et caractérisent l’énergie d’interaction entre deux orbites atomiques. Cette énergie dépend

évidement de la distance entre les deux orbites. Ainsi, pour les orbites non liées, cette énergie est nulle. Pour des atomes liés, l’énergie d’interaction est  .

Les termes S_{k i,} sont appelés intégrales de couverture. On considère que pour k=1, elles sont égales à 1 et pour ki, elles sont nulles. Ces hypothèses nous conduisent au système :

 

 

 

1 2 12 1,

1 12 2 1,

1 ,1 2 2

0 0 0

n n

n n

n n n

c c c

c c c

c c c

   

   

   

    

    

    

Qui représente un système d’équations linéaires homogènes par rapport aux inconnues c ii



^{1, 2,...,}n



. Il est connu que ce système n’admet de solution non triviale que si le déterminant associé est nul :

12 1

21 2

1 2

0

n n

n n

   

   

   



 



Cette condition permet de définir les énergies moléculaires i



i^{1, 2,...,}n



qui correspondent à un état stable de la molécule. Cette équation caractéristique se met sous la forme AI 0

Théorème 1 :  est valeur propre de la matrice A si et seulement si,  est solution de l’équation caractéristique de la matrice :

det(A - I )0 (2)

Preuve : Par définition, si  est valeur propre de la matriceA, alors :

Ax - λx = (A - λI)x = 0.

Mais puisquex0, A - λIest singulière : ker(A - I )0. Ainsi,

 

 

dim ker A - λI 1

par ailleurs,

 

     

dim Im A - λI dim ker A - λI n

Il devient donc évident que

 

 

dim Im A - λI  n 1

Or, par définition, ^dim



^Im



^{A - λI}

 

^{ n 1} est égal au rang de la matrice A - λI. On tire donc de la dernière inégalité que ;

 

rang A - λI n

Ainsi, si  est valeur propre de A, alors ^rang



^{A - λI}



^n ; et donc ^det



^{A - λI}



^0 et  est une racine de l’équation caractéristique.

Supposons maintenant que  est une racine de l’équation caractéristiquedet(A - I )0.

Interprétation géométrique. Si

u

est un vecteur propre de la matrice Aassocié à la valeur propre réelle, alors , l’effet de la matrice Asur le vecteur

u

se réduit à :

 Une élongation du vecteur si la valeur propre est en module supérieure à 1

 Une contraction du vecteur propre si la valeur propre est en module inférieure à 1.



u 

 1

  u

 0

u 

v

Av

x

y

Dans la figure ci-dessus, u est un vecteur propre et v n’en est pas un. Dès lors,

Av et v ne sont pas colinéaires.

Remarque. Selon la définition ci-dessus, un vecteur propre de la matrice A est un vecteur de l’espace vectoriel E dont la direction est conservée après déformation par la matriceA.

Exemple. Le nombre 5 est-il une valeur propre de la matrice

6 -3 1

= 3 0 5

2 2 6

 

 

 

 

 

 

A ?

Solution. Le nombre 5 est une valeur propre de la matrice A si et seulement si l’équation



A - 5I x = 0



admet une solution non triviale.

6 3 1 5 0 0 1 3 1

3 0 5 0 5 0 3 5 5

2 2 6 0 0 5 2 2 1

 

     

     

      

     

     

A - 5I

Il est facile de montrer que le système



A - 5I x = 0



est équivalent au système triangulé

1 3 1

= 0, 0 4 2

0 0 5

  

 

  

  

 

Tx T

La matrice T étant inversible, le système



^{A - 5I x}



^0 n’admet pas de solution non triviale et le nombre 5 n’est pas une valeur propre de la matriceA.

Exemple. Considérons la matrice ^{1 0} ; ^{1 0}

2 3 2 3





    

    

A A - λI . Dès lors, les valeurs propres de la matrice Asont : ₁ 1,₂ 3. Les vecteurs propres associés sont respectivement : ₁ ¹ ; ₂ ⁰

1 1

   

    

u u . Il est évident que tout multiple de u₁ou de u₂est encore vecteur propre de la matrice A.

Exemple. Les équations ci-dessous décrivent la répartition des courants dans le circuit électrique (fig. *) :

i3

i2

i1

v(t)

C C

C

L L L

 

   

 

2 1

1 2

2 2

2

2 3 1 2

2 2

2

3 2 3

2

1 ( )

1 1

0

1 1

0 Ld i i i v t

dt C

Ld i i i i i

dt C C

Ld i i i i

dt C C

   



    



    



On suppose par ailleurs que la tension à l’entrée v t est une fonction

 

sinusoïdale de fréquence w :

 

1 1 2 2 3 3

; 1

; ;

iwt

iwt iwt iwt

v t ve i

i i e i i e i i e

  

  

Les équations *** se mettent alors sous la forme :

2

1 2

2 3 2

1 1

0

1 2 1

0

1 2 0

0

LC LC

i v

LC LC LC i

i

LC LC







    

  

     

         

         

    

    

  

  

 

La résonance correspond à la situation lorsque la fréquence forcée w du circuit coïncide avec l’une des fréquences naturelles d’oscillation du circuitw_n. Ceci signifie, sur le plan mathématique, que le déterminant de la matrice du système

** est nulle :

2

2

2

1 1

0

1 2 1

0

1 2

0

n

n

n

LC LC

LC LC LC

LC LC







   

 

 

 

     

 

 

   

Les valeurs wn²obtenues en résolvant cette équation sont les valeurs propres de la matrice

1 1 0

1 2 1

1 2

0

LC LC

LC LC LC

LC LC

  

 

 

  

 

 

  

 

 

Exemple. Nous considérons la rotation du plan xOy d’un angle  dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Soient e₁ et e₂ deux orthonormés et A la matrice associée à la rotation. Alors, le vecteur unitaire Ae₁ forme avec le vecteur e₁ un angle  et angle

2

  avec le vecteur e₂. Donc,

1cos 1sin 2

Ae e e

Le vecteur unitaire Ae₂ forme avec le vecteur e₁ un angle

 2 et avec le vecteur e₂ un angle . Par conséquent,

2  sin 1cos 2

Ae e e

On peut maintenant en déduire que

cos sin

sin cos

 

 

  

  

 

A

Nous nous posons la question de déterminer les valeurs propres de la matrice A.

l’équation caractéristique est :

 

^{cos sin 2 2 cos . 1 0}

sin cos

  

    

  

 

    



Les racines de cette équation sont :

1,2 cos isin

   

Comme elles sont complexes, on en déduit que sur le plan réel et dans l’hypothèse où  n’est pas un multiple de  , la rotation n’admet pas de valeurs propres. Mais si  2k, alors la rotation devient une transformation unité et chaque vecteur du plan en est un vecteur propre. Supposons maintenant que



^{2k 1}



   , alors la rotation envisagée devient en fait une symétrie centrale, pour laquelle chaque vecteur du plan est un vecteur propre avec comme valeur

propre  1. Dans le cas complexe, on obtient pour la valeur propre

1 cos isin

     le vecteur propre de coordonnées



^1,i



, et pour la valeur propre

1 cos isin

     , le vecteur propre

 

^{1,i .}

Exemple. Considérons le système mécanique ci-dessous, constitué d’un couple de ressorts reliés chacun d’un côté à un mur rigide et de l’autre côté à des masses M, elles mêmes connectées par un ressort :

k _M ^kr _M k

Soient x t1

 

et x2

 

t les équations qui décrivent le mouvement des masses sont données par la loi de Hooke et la deuxième loi de Newton :

 

 

1 1 2 1

2 2 1 2

r r

Mx Kx K x x

Mx Kx K x x

   

   

Soit :

   

1

 

2

t x t x t

 

  

 

x

Alors, les deux équations ci-dessus se mettent sous la forme condensée suivante :

 

¹

2

m m

m m

K K K x

M t

K K K x

 

  

 x       

La solution est recherchée sous la forme des oscillations de la forme :

 

0exp

 

x t x iwt

Où x₀ est la valeur initiale de x. En substituant, on trouve que :

 

⁰¹

 

2 0

02

exp ^{m m} exp

m m

K K K x

Mw x iwt iwt

K K K x

 

  

     

Ce qui revient à dire :

01 02

m m 0

m m

K K K x

K K K x

 

  

    

  

Cette équation est en fait un problème de valeurs propres. On peut dire qu’il existe deux valeurs propres w₁ et w₂ qui correspondent aux modes normaux du système. On a :

1 2

, k 2k^r

w k w

M M

  

Les vecteurs propres associés sont respectivement :

1 2

1 1

1 , 1

   

    

u u

Ils correspondent aux déplacements relatifs des deux masses pour chaque mode normal.

Exemple. Considérons un système physique constitué de trois masses suspendues à des ressorts de coefficients d’élasticité   ₁, ₂, ₃ respectivement (figure *). Calculons les fréquences propres et les formes de vibration dans le cas ₁ 6,₂ 4,₃ 9.

Solution. Soient F i_i; 1, 2, 3 les forces qui agissent sur les masses et soient y i_i; 1, 2, 3 les déplacements induits de ces masses par rapport à la position d’équilibre. Le système est décrit par les équations suivantes :

 

   

 

1 1 2 1 1 2 2 1

1 2 3 2 2 1 3 3 2

1 3 3 3 2

y F F y y y

y F F y y y y

y F y y

 

 



    



     

   



En posant yxsinwt, on obtient un problème de valeurs propres :

Cx = λx

1 2 1

2

1 2 3 3

3 3

0

; 0

w

 

 

 

     

  

 

C

  

    

 

Dès lors,

1

2

3

 

   

1 2 1

1 2 3 3

3 3

3 2

1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3

0 det

0

2 2 2 3 0

  

 

 

     

   

 

 

         

C - λI

   

    

  

              

Exemple. Le moment cinétique d’une particule en mécanique classique est donné par le produit du rayon vecteur rpar l’impulsion :

 

M = rp

En mécanique quantique, cette grandeur est définie comme une intégrale de mouvement dans un champ de forces centrales, de la façon suivante :

   M = rP

Où Pest l’application vectorielle d’impulsion et rest le rayon vecteur. Les applications des projections du moment cinétique sur les axes de coordonnées sont :

x z y

y x z

z y x

y z i z y

y z

z x i x z

z x

x y i z x

x y

   

       

 

 

       

   

       

M P P

M P P

M P P

Le carré de l’opérateur du moment d’impulsion est donné par la formule :

2 2 2 2

2 2 2

2

x y z

M M M M

z y x y y x

y z z x x y

  

            

                 

Pour le calcul des valeurs et fonctions propres des opérateurs ainsi définis, il est plus intéressant de passer aux coordonnées sphériques en fixant l’axe Oz comme axe polaire. Dans ce cas,

sin cos , sin sin , cos

xr   yr   zr 

Dans le cas illustratif de l’opérateur M^ˆ_z. Ob obtient :

sin sin sin sin

x y z

r r y x

x y z   x   y x y

   

          

        

          