PC 1 & 2 - Devoir maison n°4
A rendre le 01/12/21
N.B.aux 3/2 de la PC1 : les méthodes de résolution des question 3.b. et 9.e.
ne seront vues qu'au cours de la semaine. Gardez-les donc pour la fin ! AUTOUR DE LA FONCTION ZETA ALTERNÉE DE RIEMANN
Objectifs
On noteF la fonction zeta alternée de Riemann, définie parF(x) =X
n=1 +1
(¡1)n¡1
nx , et la fonction zeta de Riemann, définie sur ]1;+1[ par(x) =X
n=1 +1
1 nx.
Ce problème propose une étude croisée de quelques propriétés deF et .
Si(un)n>n0est une suite réelle, on désignera par X
n>n0
unla série de terme généralunet, lorsqu'elle converge, on notera sa somme X
n=n0
+1
un.
I. Généralités
1. Déterminer l'ensemble de définition deF. 2. PourN2N, calculerZ
0 1
(¡t)Ndtpuis exprimerX
n=1
N (¡1)n¡1
n sous la forme d'une intégrale.
Montrer que Z
0 1(¡t)N
1 +t dttend vers 0 lorsqueN tend vers+1. En déduire la valeur de F(1).
3. Dérivabilité de F
a. Soitx >0. Étudier les variations sur]0;+1[de la fonctiont7!lnt
tx et en déduire que la suitelnn
nx
n1
est monotone à partir d'un certain rang (dépendant dex) que l'on précisera.
b. Montrer que F est une fonction de classeC1sur]0;+1[.
4. Montrer que, six >2,06(x)¡162x¡21 (2). En déduire la limite de en+1. 5. Calculer, pourx >1,F(x)¡(x)en fonction dexet de (x). En déduire que :
F(x) = (1¡21¡x)(x):
1
En déduire la limite de F en+1.
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même On rappelle que le produit de Cauchy de deux sériesP
n1anetP
n1bnest la sérieP
n2cn, où cn=P
k=1 n¡1
akbn¡k.
Dans cette partie, on veut déterminer la nature, selon la valeur dex, de la sérieP
n2cn(x), produit de Cauchy deP
n1 (¡1)n¡1
nx par elle-même.
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement une série convergente.
Dans toute cette partie,xdésigne un réel strictement positif.
6. Étude de la convergence
a. Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme, en fonction deP F, de la série produit
n2cn(x)lorsque x >1.
b. Démontrer que, pour tout n>2,jcn(x)j 4x(n¡1) n2x . En déduire, lorsque 0< x12, la nature de la sérieP
n2cn(x).
7. Cas oùx= 1
On suppose, dans cette question 7, que x= 1.
a. Trouver aetb réels tels que t(n1¡t)=at+n¡b t pour toutt2Rnf0; ng. En déduire, si n>2, une expression decn(x)en fonction de Hn¡1
n , où Hn=X
k=1 n 1 (somme partielle de la série harmonique). k
b. Déterminer la monotonie de la suite Hn¡1
n
n2
.
c. Montrer queHnn!+1ln(n). En déduire la nature de la sérieP
n2cn(x).
III. Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude de au voisinage de 1
8. Développement asymptotique en 1
a. Écrire en fonction de ln 2 et de F0(1) le développement limité à l'ordre 1 et au voisinage de 1 de la fonction F, puis déterminer le développement limité à l'ordre 2 et au voisinage de 1 de la fonctionx7!1¡21¡x.
b. En déduire deux réels aet b, qui s'écrivent éventuellement à l'aide de ln2et F0(1), tels que l'on ait, pourxau voisinage de1+:
(x) = a
x¡1+b+o(1):
2
9. Développement asymptotique en 1 (bis) On considère la série de fonctionsP
n1vn, oùvnest définie sur[1;2]par vn(x) = 1
nx¡ Z
n n+1dt
tx:
a. Justifier que, pour n1et x2[1;2], on a : 0vn(x) 1
nx¡ 1 (n+ 1)x: b. Justifier que, pour x2[1;2], la sérieP
n1vn(x)converge.
On note alors =P
n=1
+1vn(1) (c'est la constante d'Euler).
c. Exprimer, pour x2]1;2], la sommeP
n=1
+1vn(x)à l'aide de (x)et 1¡x.
d. Démontrer que la sérieP
n1vnconverge uniformément sur[1;2](on pourra utiliser le reste de la série).
e. En déduire que l'on a, pour xau voisinage de1+: (x) = 1
x¡1++o(1):
10. Application
Déduire des résultats précédents une expression, à l'aide de ln2 et , de la somme X
n=1 +1
(¡1)n¡1lnn
n :
Fin de l'énoncé
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