Cahier de textes de mathématiques PC1 2021-2022

Cahier de textes de mathématiques PC1 2021-2022

jeudi 2 septembre

01 - espaces vectoriels 0. Rappels : espaces vectoriels en dimension quelconque

- Espaces vectoriels, combinaison linéaire

- Sous-espaces vectoriels : intersection, s.e.v. engendré par une partie - Somme de deux s.e.v., somme directe, supplémentaires.

- Familles libres et génératrices

- Dimension finie, formule du rang, formule de Grassmann

--- lundi 6 septembre

T.D. E01 exercices - Projecteur.

- Systèmes linéaires : ensemble des solutions 1. Produit et somme d'espaces vectoriels

- Espace produit, dimension - Somme de ns.e.v.

mardi 7 septembre T.D. exercices feuille E01

mercredi 8 septembre

- somme directe : définition et CNS - Partition d'une base, réunion de bases - Dimension d'une somme

jeudi 9 septembre

02 - matrices et déterminants 0. Rappels : matrices et déteminants

- Matrice d'une application linéaire. Isomorphisme entre M^n;p(K) et L(E ; F). Changement de bases : X=P X⁰.

- changement de bases :M⁰=P^¡1M P

- Déterminant d'une matrice carrée, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés.

--- lundi 13 septembre

T.D. exercices feuille E01 - Caractérisation des bases.

- Déterminant d'un produit de matrices, matrices semblables, déterminant d'un endomorphisme.

- Développement suivant une ligne ou une colonne.

1. Matrices par blocs et sous-espace stables - Matrices par blocs, opérations, par blocs

- Sous-espace stable, endomorphisme induit, intersection et somme mardi 14 septembre

T.D. exercices feuille E01 mercredi 15 septembre

- Décomposition en s.e. stables et matrice

- Stabilité de l'image et du noyau d'endomorphismes qui commutent 2. Compléments sur les déterminants

- Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs - Déterminant de Vandermonde

jeudi 16 septembre 3. Trace

- Trace d'une matrice carrée, linéarité - tr(A B) =tr(B A)

- invariance de la trace par similitude, trace d'un endomorphisme - trace d'un projecteur

samedi 18 septembre DS 1

--- semaine de colles 1

lundi 20 septembre T.D. feuille E02 exercices

Correction des exercices de la feuille E02 :

ex. 1!grpes 1 et 2 ex. 2!grpes 3 et 4 ex. 3!grpes 5 et 6 ex. 4!grpes 7 et 8 ex. 5!grpes 9 et 10 ex. 6!grpes 11 et 12 ex. 7!grpes 13 et 14 ex. 8!grpes 15 et 16 ex. 9!grpes 1 et 2 ex. 10 !grpes 3 et 4 ex. 11!grpes 5 et 6 ex. 12 !grpes 7 et 8 ex. 13 !grpes 9 et 10 ex. 14 !grpes 11 et 12 ex. 15!grpes 13 et 14 ex. 16 !grpes 15 et 16

03 - réduction des endomorphismes 1. Éléments propres d'un endomorphisme

- Éléments propres d'un endomorphisme, valeur propre et injectivité, sous-espaces propres.

- Des s.e.v. propres sont en somme directe

- Stabilité des s.e.v. propres deupar un endomorphisme qui commute avecu.

- Valeurs propres d'un endomorphisme induit sur un s.e. stable.

- Éléments propres d'une matrice.

mardi 21 septembre T.D. feuilles E01 et E02

mercredi 22 septembre

- Polynôme caractéristique Ad'une matriceA. Lien avec les valeurs propres.

- Coefficients de Aà connaître, polynôme caractéristique de ^tA, de P^¡1A P. - polynôme caractéristique d'un endomorphisme

jeudi 23 septembre

- multiplicitémd'une valeur propre.

- expression de truet de detuà l'aide du spectre lorsqueuest scindé.

- détermination effective des éléments propres d'une matrice.

- lien entre met la dimension du sous-espace propreE. 2. Réduction des endomorphismes

- endomorphisme diagonalisable, matrice diagonalisable.

--- semaine de colles 2

lundi 27 septembre T.D. feuille E03

Correction des exercices de la feuille E03 :

ex. 1!grpes 1 et 2 ex. 2!grpes 3 et 4 ex. 3!grpes 5 et 6 ex. 4!grpes 7 et 8 ex. 5!grpes 9 et 10 ex. 6!grpes 11 et 12 ex. 7!grpes 13 et 14 ex. 8!grpes 15 et 16 ex. 9!grpes 1 et 2 ex. 10 !grpes 3 et 4 ex. 11!grpes 5 et 6 ex. 12 !grpes 7 et 8 ex. 13 !grpes 9 et 10 ex. 14 !grpes 11 et 12 ex. 15!grpes 13 et 14 ex. 16 !grpes 15 et 16 ex. 17 !grpes 1 et 2 ex. 18 !grpes 3 et 4 ex. 19!grpes 5 et 6 ex. 20 !grpes 7 et 8

- diagonalisabilité et égalité entremet dimE. Cas oùuest scindé à racines simples.

mardi 28 septembre T.D. feuille E03

mercredi 29 septembre DM ramassé

- endomorphisme, matrice trigonalisable. Equivalence avec uscindé.

- Cas simples de trigonalisation en dimensions 2 et 3.

3. Applications de la réduction - calcul des puissances d'une matrice.

- récurrence linéaire à coefficients constants.

jeudi 30 septembre

--- semaine de colles 3

lundi 4 octobre T.D. feuille E03

04 - espaces vectoriels normés 0. Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

1. Normes et e.v.n.

- norme, exemples classiques : k:k¹,k:k²et k:k1surKⁿ (ou surE de dimensionnmuni d'une base) - norme euclidienne associée à un produit scalaire

mardi 5 octobre T.D. feuille E03

mercredi 6 octobre

- normes classiques surC([a; b];K).

-k:k1sur l'espaceB(X ; E)des fonctions bornées sur un ensembleX à valeurs dans un e.v.n. E.

- distance associée à une norme

- boules d'un espace métrique (!représentation des sphères dek:k¹,k:k²etk:k1dansR²).

- partie convexe d'un e.v.n.

jeudi 7 octobre

- Une boule est convexe symétrique par rapport à son centre.

- fonctions lipschitziennes.

- la norme et les opérations d'un e.v.n. sont lipschitziennes.

--- semaine de colles 4

lundi 11 octobre T.D. feuille E03

2. Convergence dans les espaces vectoriels normés de dimension finie - convergence des suites dans un e.v.n., unicité de la limite.

- toute suite convergente est bornée, suites extraites d'une suite convergente.

- combinaisons linéaires de suites convergentes. lim(kunk)lorsque(un)converge.

mardi 12 octobre T.D. feuilles E03-E04

Correction des exercices de la feuille E04 :

ex. 1!grpes 9 et 10 ex. 2!grpes 11 et 12 ex. 4!grpes 13 et 14 ex. 6!grpes 15 et 16 ex. 8!grpes 1 et 2 ex. 9!grpes 3 et 4 ex. 10!grpes 5 et 6 ex. 13 !grpes 7 et 8 ex. 14 !grpes 9 et 10 ex. 15 !grpes 11 et 12 ex. 17!grpes 13 et 14 autres : volontaires

mercredi 13 octobre

- indépendance du choix de la norme (admis), convergence des suites et coordonnées.

3. Quelques notions de topologie

- intérieur, adhérence, frontière d'une partie d'un espace métrique.

jeudi 14 octobre - ouverts et fermés.

- une boule ouverte (fermée) est un ouvert (un fermé).

- réunions et intersections d'ouverts ou de fermés - caractérisation séquentielle des points adhérents.

samedi 16 octobre DS 2

--- semaine de colles 5

lundi 18 octobre T.D. feuille E03

- caractérisation séquentielle des fermés dans un e.v.n.

4. Limites de fonctions dans un e.v.n.

- limite d'une fonction f:E!F, unicité.

- limite et coordonnées lorsque F est de dimension finie.

- caractérisation séquentielle.

- opérations sur les limites.

mardi 19 octobre T.D. feuilles E03-E04

mercredi 20 octobre 5. Continuité

- fonction continue

- toute fonction lipschitzienne est continue (exemple des formes linéaires coordonnnées) - caractérisation séquentielle de la continuité

- opérations sur les fonctions continues (fonctions polynomiales des coordonnées).

- continuité et composantes.

jeudi 21 octobre

- une fonction réelle continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes.

- limite et continuité des fonctions f:E!F sont indépendantes du choix des normes surE etF. 6. Applications linéaires et bilinéaires

- continuité des applications linéaires en dimension finie - continuité des applications multilinéaires en dimension finie.

--- Vacances de la Toussaint

--- semaine de colles 6

lundi 8 novembre T.D. feuille E04

05 - séries numériques 0. Rappels sur les séries numériques

- Définition, convergence, divergence, divergence grossière - Séries géométriques, de Riemann

mardi 9 novembre T.D. E04 mercredi 10 novembre

- Séries à termes positifs : convergence monotone, théorèmes de comparaison, critère de Riemann - Convergence absolue, convergence absolue entraîne convergence

1. Compléments sur les séries réelles - Règle de d'Alembert

jeudi 11 novembre

--- semaine de colles 7

lundi 15 novembre DM ramassé T.D. feuille E05 exercices

Correction des exercices de la feuille E05 :

ex. 1!tout le monde ex. 2!grpes 15 et 16 ex. 3 1-3!grpes 1 et 2 ex. 3 4-6!grpes 3 et 4 ex. 4!grpes 5 et 6 ex. 5 1-3!grpes 7 et 8 ex. 5 4-6!grpes 9 et 10 ex. 6!grpes 11 et 12 ex. 7!grpes 13 et 14 ex. 8 1-3!grpes 15 et 16 ex. 8 4 !grpes 1 et 2 ex. 9!grpes 3 et 4 ex. 10 !grpes 5 et 6 ex. 11 !tout le monde ex. 12 !grpes 7 et 8 ex. 13! tout le monde

- Théorème spécial des séries alternées - Formule de Stirling

mardi 16 novembre T.D. feuille E05 exercices

mercredi 17 novembre 2. Séries réelles et complexes

- Produit de Cauchy, convergence du produit de Cauchy de séries absolument convergentes jeudi 18 novembre

06 - suites et séries de fonctions 1. Convergence des suites et séries de fonctions

- convergences simple et uniforme des suites de fonctions.

- CVU )CVS

- application aux séries de fonctions.

samedi 20 novembre DS 3

--- semaine de colles 8

lundi 22 novembre T.D. feuilles E05 et E06

- exemples à finir

- séries de fonctions : convergence normale, CVN )CVU)CVS

2. Propriétés des limites

- convergence uniforme et continuité mardi 23 novembre

T.D. feuilles E05 et E06

Correction des exercices de la feuille E06 :

ex. 8!grpes 7 et 8 ex. 2!grpes 9 et 10 ex. 3!grpes 11 et 12 ex. 4!grpes 13 et 14 ex. 5!grpes 15 et 16 ex. 6!grpes 1 et 2 ex. 7!grpes 3 et 4 ex. 8!grpes 5 et 6 ex. 9!grpes 7 et 8 ex. 10 !grpes 9 et 10 ex. 11 !grpes 11 et 12 ex. 12!volontaires

mercredi 24 novembre

- interversion entre intégrale et limite uniforme sur un segment.

- intégration terme à terme de la somme d'une série uniformément convergente vendredi 26 novembre 10h-12h échange avec le cours de français

- convergence uniforme et dérivation, classeC^k, exemples (fonction exponentielle, fonction ).

--- semaine de colles 9

lundi 29 novembre T.D. feuilles E05 et E06

07 - séries entières 1. Convergence des séries entières

- définition d'une série entière

- lemme d'Abel, rayon de convergence R

- convergence absolue dans D(0; R), convergence normale dans tout D (0; r)oùr < R.

- définition du disque (ou intervalle) ouvert de convergence, cercle d'incertitude.

mardi 30 novembre T.D. feuille E06 exercices

mercredi 1er décembre DM ramassé

- théorèmes de comparaison :an=On!+1(bn))Ra>Rb

- application de la règle de d'Alembert

-Panzⁿ etPn anzⁿont même rayon de convergence.

- opérations : combinaisons linéaires, produit de Cauchy jeudi 2 décembre

2. Propriétés de la somme - continuité

- intégration terme à terme

- la sommeS est de classeC¹, dérivation terme à terme. Expression des coefficients en fonction de S.

3. Développement en série entière

- fonction développable en série entière, série de Taylor, unicité du DSE.

--- semaine de colles 10

lundi 6 décembre T.D. feuille E06 exercices

- méthodes usuelles de développement 4. Fonctions usuelles

- développements surC: fonction exponentielle, mardi 7 décembre T.D. feuille E06

mercredi 8 décembre - fonction inverse

- DSE de variable réelle :t7!(1 +t)

- exemples classiques de développement en séries entières

jeudi 9 décembre

11 - intégration sur un intervalle quelconque 1. Fonctions continues par morceaux

- fonctions continues par morceaux sur un segment, structure de CM([a; b]; K); fonction continue par

morceaux sur un intervalle quelconque.

- extension des résultats de première année : définition de l'intégrale

- fonction continue positive d'intégrale nulle : le résultat ne s'étend pas aux fonctions continues par morceaux.

--- semaine sans colles

lundi 13 décembre T.D. feuille E07

- croissance de l'intégrale, inégalitéR

a bf6R

a

bjfj, relation de Chasles.

- continuité de l'intégrale fonction de sa borne.

- changement de variable sur un segment.

2. Intégrales impropres convergentes - introduction

- intégrale impropre convergente sur [a; b[,

- intégrale impropre convergente sur ]a; b], sur]a; b[.

mardi 14 décembre T.D. feuilles E07 mercredi 15 décembre

- cas des fonctions positives.

- convergence absolue. Fonction intégrable. Convergence absolue entraîne convergence.

- théorèmes de comparaison. Critères de Riemann sur]0;1]et sur[1;+1[.

jeudi 16 décembre

- intégrale semi-convergente.

- fonction continue positive d'intégrale (impropre) nulle.

- changement de variable (résultat admis)

--- Vacances de Noël

--- semaine de colles 11

lundi 3 janvier T.D. feuille E07

- changement de variable : exemples, cas d'un changement de variable affine.

- intégration par parties - comparaison série-intégrale mardi 4 janvier

T.D. feuille E07 mercredi 5 janvier

- espaces de fonctions intégrables : norme de la convergence en moyenne

- norme de la convergence en moyenne quadratique. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

jeudi 6 janvier

3. Interversions limites-intégrales

- théorème de convergence dominée : version suites, version séries. Exemples.

- théorème d'intégration terme à terme

--- semaine de colles 12

lundi 10 janvier T.D. feuille E11

- théorème d'intégration terme à terme (exemple) 4. Intégrales dépendant d'un paramètre

- continuité

mardi 11 janvier T.D. feuille E11

mercredi 12 janvier - dérivabilité

- classeC^k des intégrales à paramètres.

- classeC^k des intégrales à paramètres : application à¡.

jeudi 13 janvier

08 - probabilités 1. Ensembles dénombrables

- définition, une partie d'un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. Écriture E=fun; n2Ng. - réunion, produit cartésien de deux ensembles dénombrables.

-Q est dénombrable,Cet Rne le sont pas.

samedi 15 janvier DS 4

--- semaine de colles 13

lundi 17 janvier T.D. feuille E11 2. Espace probabilisé

- univers, tribu

- probabilité : définition. Cas oùest dénombrable.

- propriétés : continuités croissante et décroissante, sous--additivité.

mardi 18 janvier T.D. feuille E11

mercredi 19 janvier DM ramassé 3. Conditionnement et indépendance

- probabilité conditionnelle.

- formule des probabilités composées.

- système complet dénombrable d'événements, formule des probabilités totales.

jeudi 20 janvier - formule de Bayes.

- événements indépendants, famille d'événements mutuellement indépendants.

- introduction aux variables aléatoires.

--- semaine de colles 14

lundi 24 janvier

09 - variables aléatoires discrètes 1. Définitions

- variables aléatoires discrètes, loi, fonction de répartition FX: définition, croissance, limites.

- loi associée à une série de somme 1 (admis) - couple de variables, loi conjointe, lois marginales.

T.D. feuille E11 mardi 25 janvier

T.D. feuille E11

mercredi 26 janvier DM ramassé - loi conditionnelle deX sachantY. - variables indépendantes.

- famille de variables mutuellement ou deux à deux indépendantes.

- variables indépendantes : une propriété.

jeudi 27 janvier

2. espérance et variance - espérance : définition - théorème du transfert

- propriétés de l'espérance : linéarité, positivité, croissance; produit de variables indépendantes

--- semaine de colles 15

lundi 31 janvier T.D. feuille 11

- variance et écart-type : définition, variance et opérations affines.

- inégalité de Markov

- inégalité de Bienaymé-Tchebychev

- variance d'une somme de variables discrètes, cas de variables indépendantes.

mardi 1er février T.D. feuille E08 mercredi 2 février

- covariance, coefficient de corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

3. Variables à valeurs dans N

- espérance d'une variable à valeurs dans N - série génératriceGX.

- la sérieGXdétermine la loi deX

- lien entre dérivée de GX et espérance, entre dérivée seconde et variance

- série génératrice d'une somme de variables indépendantes (démonstration à faire).

jeudi 3 février 4. Lois usuelles

- loi géométrique G(p): série génératrice, espérance et variance.

- caractérisation de G(p)comme loi sans mémoire

- loi de PoissonP(): série génératrice, espérance et variance. Additivité.

--- semaine de colles 16

lundi 7 février T.D. feuille 08 5. Résultats asymptotiques

- loi binomiale et loi de Poisson - interprétation de la loi de Poisson - loi faible des grands nombres.

mardi 8 février T.D. feuilles E08 et E09

mercredi 9 février

12 - espaces préhilbertiens réels 0. Révisions

- produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz.

- espace préhilbertien réel, euclidien, norme associée au produit scalaire.

- orthogonalité, théorème de Pythagore, supplémentaire orthogonal - projection orthogonale

- orthonormalisation de Gram-Schmidt

Programme prévisionnel

jeudi 10 février 1. Groupe orthogonal

- endomorphisme orthogonal, groupe orthogonal O(E)

- symétrie orthogonale, réflexion

--- semaine de colles 17

lundi 14 février T.D. feuille E09

- orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle - matrice orthogonale, groupe orthogonalO(n)

- changement de base orthonormale, orientation

- groupeO(2), groupeSO(2), rotation : mesure d'une rotation du plan - caractérisation des éléments de O^¡(2)

mardi 15 février T.D. feuilles E09 mercredi 16 février DM ramassé 2. Endomorphismes autoadjoints

- endomorphisme et matrice symétriques

- orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme autoadjoint - théorème spectral

jeudi 17 février

10 - fonctions vectorielles 1. Dérivation des fonctions vectorielles

- dérivabilité d'une fonction vectorielle de variable réelle f:I!E (oùE=R²ouR³) - dérivabilité entraîne continuité. dérivabilité et composantes.

- opérations : linéarité de la dérivation, dérivabilité deLf lorsqueLest linéaire, deB(f1; f2)lorsque B est bilinéaire.

- composition à droite par ':J!I (exemple à finir) - dérivées d'ordre supérieur

samedi 19 février DS 5

--- Vacances d'hiver

--- semaine de colles 18

lundi 7 mars

T.D. feuille E09

- étude d'arcs paramétrés mardi 8 mars

T.D. feuilles E09 et E12 mercredi 9 mars

13 - fonctions de plusieurs variables Introduction.

1. Dérivées partielles - dérivées partielles

- dérivées partielles et composantes 2. Applications de classeC¹

- définition, classeC¹et développement limité (résultat admis) - toute fonction de classeC¹est continue

- différentielle, exemple des applications linéaires, gradient - opérations sur les dérivées partielles : somme, produit

!les fonctions rationnelles en les coordonnées sont de classe C¹. - règle de la chaîne pour g:t7!f(x1(t); :::; xp(t)), g⁰(t) =P

j=1

p xj0(t)_@x^@f

j(x1(t); :::; xp(t)) jeudi 10 mars

- caractérisation des fonctions constantes sur un convexe.

- changements de variables dansR²: changements affines

- changements de variables dansR²: passage aux coordonnées polaires.

--- semaine de colles 19

lundi 14 mars T.D. feuille E12

- résolution d'équations aux dérivées partielles par passage en polaires.

- extrema d'une fonction deR^pdans R.

3. Applications de classeC² - définition, opérations - théorème de Schwarz

mardi 15 mars T.D. feuille E12 mercredi 16 mars

- résolution d'équations aux dérivées partielles d'ordre 2 4. Courbes et surfaces

- courbes planes définies par une équation cartésienne, point régulier - équation cartésienne de la tangente

jeudi 17 mars

- surfaces de R³définies par une équation cartésienne, point régulier - arc paramétré tracé sur une surface

--- semaine de colles 20

lundi 21 mars T.D. feuille E12

- plan tangent en un point régulier

14 - équations différentielles 0. Révisions de première année

mardi 22 mars T.D. feuille E10

mercredi 23 mars

1. Équation linéaire homogène vectorielle d'ordre 1 - définition, structure vectorielle de l'ensemble S des solutions

- théorème de Cauchy-Lipschitz (admis), dimension de l'espace des solutions S. - cas des systèmes à coefficients constants :

- résolution des systèmes triangulaires.

jeudi 24 mars

- cas des systèmes diagonalisables, trigonalisables 2. Équation linéaire scalaire d'ordre 2

- principe de superposition

- transformation en équation vectorielle - théorème de Cauchy-Lipschitz (admis) - cas de l'équation à coefficients constants

--- semaine de colles 21 ?

lundi 28 mars T.D. feuille E10

- solutions développables en série entière.

FIN DU COURS mardi 29 mars T.D. feuille E13

mercredi 30 mars T.D. feuille E14

jeudi 31 mars T.D. feuille E14 ...

samedi 2 avril DS 6

--- Date de fin des cours à déterminer

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Reprise pour la préparation à l'oral vers le lundi 16 mai