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Leçon 243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

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Academic year: 2022

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Leçon 243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

I. Rayon de convergence 1. Définitions

— Def : Série entière

— Lemme d’Abel

— Def : Rayon de convergence et lieu de convergence 2. Calcul du rayon de convergence

— Prop : Règle de d’Alembert

— Prop : Règle de Cauchy

— Formule d’Hadamard

— Abel angulaire

3. Opérations sur les séries entières

— Somme de deux séries entières : info sur le rayon de convergence

— Produit de Cauchy de deux séries entières et info sur le rayson de convergence

II. Propriétés de la somme 1. Continuité et dérivation

— Thm : Continuité

— Thm : Dérivation

— Thm : Intégration termes à termes

— Exemple

2. Principe des zéros isolés

— Thm : Prolongement analytique

— Inégalité de Cauchy

III. Développement en série entière

Déf : Fonction développable en série entière 1. Exemple des fractions rationnelles

2. Dévelopement d’une fonction à variables réelles

— Méthode et exemples des fonctions usuelles

— Dev 1 : Thm de Bernstein pour les séries entières 3. Fonction exponentielle et circulaire

Dev 2 : Nombre de Bell

Bibliographie :

— Tout est dans le Gourdon

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Références

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