L2-MPCIE SEMESTRE 4

Département de Mathématiques

Éric DELABAERE et Étienne MANN

ANALYSE 2 - COURS

L2-MPCIE SEMESTRE 4

Faculté de Sciences, Laboratoire de Mathématiques LAREMA, UMR CNRS 6093, Université d’Angers, 2 Boulevard Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01, France.

E-mail : [email protected]

ANALYSE 2 - COURS L2-MPCIE SEMESTRE 4

Éric DELABAERE et Étienne MANN

Résumé. — Ce poly a été rédigé par Éric Delabaere en 2018, il s’appuie sur les notes de cours de Analyse 2 du Pr. Laurent Meersseman, avec son aimable autorisation. Étienne Mann a repris le cours en 2020/2021 et il remercie chaleureusement Éric pour avoir transmis le fichier source. Les erreurs éventuelles sont de la seule responsabilité d’Étienne Mann.

Objectif du cours: Suites et séries de fonctions numériques réelles : convergence simple, uniforme, normale ; critère de Cauchy de convergence uniforme ; limite uniforme d’une suite de fonctions bornées, continues, de classesC^p ; intégration. Séries entières réelles ou complexes : rayon de con- vergence, règles de d’Alembert et de Cauchy ; développement en série entière des fonctions usuelles.

Séries entières réelles : intégration et dérivation terme à terme.

Prérequis: Les compétences requises sont celles du cours d’Analyse 1 du semestre 3, particulièrement celles concernant les suites et séries numériques.

Compétences attendues: A l’issue de la formation les étudiants ou stagiaires seront en capacité:

-Suites de fonctions

– de définir et d’analyser la borne supérieure d’une fonction bornée sur un intervalle;

– de définir et d’analyser la convergence simple et uniforme d’une suite de fonctions;

– d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration relatifs aux limites uniformes de suites de fonctions;

– de définir et d’appliquer le critère de Cauchy de convergence uniforme des suites de fonctions.

-Séries de fonctions

– de définir et d’analyser la convergence simple, absolue, normale et uniforme d’une série de fonctions;

– d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration relatifs aux séries de fonctions uniformé- ment convergentes.

-Séries entières

– de définir et de calculer le rayon de convergence d’une série entière par divers arguments dont les règles de d’Alembert et de Cauchy;

– de définir et d’analyser la convergence simple, absolue et normale d’une série entière sur un disque;

– de définir l’addition, le produit et la dérivée des séries entières, d’estimer leurs rayons de con- vergence.

-Fonctions développables en série entière

– de définir le développement en série entière de fonctions classiques;

– de montrer qu’une fonction est développable ou non développable en série entière;

– de faire le lien entre développement en série entière et développements limités et de Taylor;

– d’appliquer les règles de dérivation et de primitivation sur les développements en série entière.

TABLE DES MATIÈRES

I. Suites de fonctions. . . 1

I.1. Suite de fonctions et convergence simple. . . 1

I.2. Convergence uniforme. . . 5

I.3. Convergence uniforme et continuité. . . 11

I.4. Convergence uniforme, intégration. . . 11

I.5. Convergence uniforme et critère de Cauchy. . . 12

I.6. Références. . . 14

II. Séries de fonctions. . . 15

II.1. Séries de fonctions, convergence simple et absolue. . . 15

II.2. Convergence normale. . . 17

II.3. Convergence uniforme. . . 20

II.4. Diagramme résumé des différentes notions de convergence. . . 22

II.5. Convergence uniforme, continuité et intégration. . . 22

II.6. Références. . . 24

III. Séries entières. . . 25

III.1. Préambule. . . 25

III.2. Séries entières. . . 26

III.3. Rayon de convergence. . . 29

III.4. Opération dans l’algèbre des séries entières. . . 34

III.5. Dérivée formelle. . . 37

III.6. Références. . . 38

IV. Fonctions développables en série entière. . . 39

IV.1. Fonctions développables en série entière. . . 39

IV.2. Régularité des fonctions DSE. . . 41

IV.3. Formules de Taylor et DSE. . . 43

IV.4. Tableau de DSE classiques. . . 46

IV.5. DSE et équations différentielles. . . 47

IV.6. En guise de conclusion. . . 49

IV.7. Références. . . 50

CHAPITRE I

SUITES DE FONCTIONS

Résumé. — Ce chapitre est dédié à l’études des suites de fonctions numériques. On y aborde deux notions de convergence, simple et uniforme. A l’issue de ce chapitre, l’étudiant sera en capacité: de définir et analyser la borne supérieure d’une fonction bornée sur un intervalle ; de définir et d’analyser la convergence simple d’une suite de fonctions ; de définir et d’analyser la convergence ou la non- convergence uniforme d’une suite de fonctions; d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration aux limites uniformes de suites de fonctions ; de définir et d’appliquer le critère de Cauchy de con- vergence uniforme.

I.1. Suite de fonctions et convergence simple

Définition I.1.1 (Suite de fonctions numériques réelles).

SoitI ⊂ Run intervalle de R. Unesuite de fonctions numériques réelles, notée (fn)n∈N ou (fn), est la donnée pour toutn∈N, d’une fonction fn :I →Rdéfinie surIet à valeurs réelles.

Remarque I.1.2.

1. Toutes les fonctions sont définies sur le même intervalleI.

2. Comme pour les suites numériques, la suite (fn) peut n’être définie qu’à partir d’un certain rangn₀ ∈N, auquel cas on pourra la noter (fn)n≥n₀.

Exemple I.1.3.

La suite (fn)n∈N de terme général fn : x ∈]0,1] 7→ fn(x) = ln(1+nx) est une suite de fonctions numériques réelles définie surI =]0,1].

Comme pour les suites numériques, on cherchera à étudier le comportement, quand n → +∞, d’une suite de fonctions (fn). Cela suppose qu’on s’est fixé une notion de convergence.

Le plus naturel est de se ramener à ce qu’on connaît comme notion de convergence pour les suites réelles : on se fixe x ∈ I et on regarde si la suite numérique

fn(x)

converge. Si oui et s’il y a convergence pour toutx ∈I, on peut construire une fonction f : x ∈ I 7→ lim

n→∞fn(x)∈R. Cela donne la notion deconvergence simple.

Définition I.1.4 (Convergence simple).

On dit qu’une suite de fonctions (fn) définies sur un intervalleI converge simplement surI vers une fonction f :I →Rsi : pour toutx∈I, la suite de réels

fn(x)

converge vers f(x),

∀x∈I, f(x)= lim

n→∞ fn(x)∈R. On peut noter “fn

−→CVS

n→∞ f sur I” pour indiquer que la suite (fn) converge simplement vers f sur l’intervalleI.

Remarque I.1.5.

En nous référant au cours Analyse 1 de L2-MPCIE Semestre 3, la définition précédente se for- malise de la manière suivante: fn

CVS−→

n→∞ f surIsi et seulement si pour toutx ∈I, pour toutε > 0, il existeN ∈Ntel que

n≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)|< ε .

On remarquera que le choix deN dépend en général dex.

Exemple I.1.6.

1. On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies sur I = [1,+∞[, de terme général fn : x∈I 7→ fn(x)= 1

x+ ¹_n. Pour tout x∈I, lim

n→+∞ fn(x)= 1

x. Par suite, la suite (fn)n∈N^? converge simplement surI vers la fonction f : x∈I 7→ f(x)= 1

x.

2. On considère la même suite de fonctions que précédemment mais définies surI = [0,+∞[.

On observe que pour toutn ∈ N^?, fn(0)= n, donc que lim

n→∞fn(0) = +∞ : la suite diverge en x= 0, donc la suite (fn)n∈N^? ne converge pas simplement sur [0,+∞[.

I.1. SUITE DE FONCTIONS ET CONVERGENCE SIMPLE 3

Voici les graphiques les premiers termes et la limite en rouge.

Exemple I.1.7.

On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies surI =[0,+∞[, de terme général fn : x∈I 7→ fn(x)=

1+ x n

n

.

Pour toutx ∈I, fn(x) = e^nln(¹+n^x) et ln 1+ x

n = x

n + o

n→+∞

1 n

!

. Par suite lim

n→∞fn(x) = e^x pour tout x∈I: la suite (fn)n∈N^? converge simplementsurI vers la fonction f : x∈ I 7→ f(x) =e^x. Voici les

graphiques les premiers termes et la limite en rouge.

Exemple I.1.8.

On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies surI =[0,1], de terme général fn : x∈I 7→ fn(x)= xⁿ.

On note que pour toutn ∈ N^?, fn(0) = 0 −→

n→∞ 0, fn(1) = 1 −→

n→∞ 1 tandis que pour tout x ∈]0,1[, fn(x) = e^nln(x) −→

n→∞0 (car ln(x) < 0). Par suite la suite (fn)n∈N^? converge simplement sur I vers la fonction f : x∈I 7→ f(x)=

( 0 six∈[0,1[

1 six=1 .

I.2. CONVERGENCE UNIFORME 5

Voici les graphiques les premiers termes et la limite en rouge.

On observe sur ce dernier exemple que, bien que la suite (fn)n∈N^? soit composée de fonc- tions continues, elle converge simplement vers une fonction f qui ne l’est pas. Ce problème motive l’introduction d’une autre notion de convergence.

I.2. Convergence uniforme

Nous commençons par quelques notions relatives aux bornes supérieures.

I.2.1. Borne supérieure et norme associée. —

Définition I.2.1 (Borne supérieure d’une partie deR).

SoitA une partie deR.

– Si A est majorée, la borne supérieure deA dans R est le plus petit des majorants deA dansR. On le note sup(A)∈R.

– SiA est non majorée, on posera sup(A)= +∞.

Remarque I.2.2.

SoitA une partie majorée deR. Dire queM ∈Rest la borne supérieure deA revient à écrire les propriétés suivantes:

1. M est un majorant, donc∀a∈A,a≤ M;

2. M est le plus petit des majorants, donc pour tout ε > 0, on peut trouver un a ∈ A tel que M−ε≤a.

Le fait que toute partie majorée A de R admette une borne supérieure (donc que la définition précédente a du sens) est en fait une propriété des nombres réels. Pour plus détails, cf. Analyse Approfondie, L2-MPCIE Semestre 4.

Exemple I.2.3.

1. SiA =]−1,2]∪ {3}. Alors sup(A)=3.

2. SiA =]− ∞,1[ alors sup(A)=1.

3. SiA =]1,+∞[ alorsA est non majorée et on pose sup(A)= +∞. Définition I.2.4.

Soit f : I →Rune fonction numérique. On pose:

kfk∞ =sup

x∈I

|f(x)|= sup|f(x)|,x∈I ∈R∪ {+∞}.

Exemple I.2.5.

Soitn ∈ N^? et f : x ∈[0,1] 7→ f(x) = xⁿ. La fonction f est dérivable et f⁰(x) = nxⁿ⁻¹. D’où le

tableau de variations (pourn ≥ 2):

x 0 1

f⁰(x) 0 + 1

f(x) %

0

. Par suite f([0,1]) = [f(0), f(1)] = [0,1],

donckfk_∞ =sup [0,1]= 1.

Exemple I.2.6.

Soitn ∈ N^? et g : x ∈ [0,1[7→ f(x) = xⁿ. La fonction g est dérivable et croissante. Par suite g([0,1[)=[g(0), lim

x→1,x<1g(x)[= [0,1[, donckgk∞ =sup [0,1[= 1.

Nous signalons les propriétés souvent utiles suivantes:

Proposition I.2.7.

Soit f,g: I →Rdeux fonctions numériques etkfk_∞ =sup

x∈I

|f(x)|,kgk∞ =sup

x∈I

|g(x)|.

1. S’il existe M > 0tel que pour tout x ∈I,|f(x)| ≤ M, alorskfk_∞≤ M.

2. Pour toutλ∈R,kλfk_∞ =|λ| × kfk_∞.

I.2. CONVERGENCE UNIFORME 7

3. kf +gk_∞ ≤ kfk_∞+kgk_∞. 4. kf gk_∞ ≤ kfk_∞× kgk_∞.

Démonstration. — 1. S’il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ I, |f(x)| ≤ M, alors M est un majorant de|f|. Donckfk∞ ≤ Mcarkfk∞ est le plus petit des majorants de|f|.

2. Pour toutλ∈R, pour tout x∈I,|λf(x)|=|λ| × |f(x)|. Donckλfk∞ =|λ| × kfk∞.

3. Pour tout x ∈ I, |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| (inégalité triangulaire). Or pour tout x ∈ I,

|f(x)| ≤ kfk∞ et |g(x)| ≤ kgk∞. Donc ∀x ∈ I, |f(x) + g(x)| ≤ kfk∞ + kgk∞ et par suite kf +gk∞ ≤ kfk_∞+kgk∞.

4. Pour toutx∈I,|f(x)×g(x)|=|f(x)| × |g(x)| ≤ kfk_∞× kgk∞. Donckf gk∞ ≤ kfk_∞× kgk∞.

La preuve de la propriété suivante est laissée en exercice.

Proposition I.2.8 (Norme du sup sur les fonctions bornées).

Soit I ⊂ Run intervalle. NotonsB(I,R)leR-espace vectoriel des fonctions numériques bornées sur I. Alors l’application k.k∞ : B(I,R) → [0,+∞[définit une norme surB(I,R), c’est à dire vérifie les propriétés suivantes:

1. pour toutλ∈Ret tout f ∈B(I,R):kλfk∞ = |λ| × kfk∞; 2. pour tout f ∈B(I,R): kfk∞ = 0⇒ f = 0;

3. pour tout f,g∈B(I,R):kf +gk∞ ≤ kfk∞+kgk∞.

I.2.2. Convergence uniforme. —

Définition I.2.9 (Convergence uniforme).

On dit qu’une suite de fonctions (fn) définies sur un intervalle I converge uniformementsur I vers une fonction f :I →Rsi la suite de réels

kfn− fk∞

converge vers 0,

n→∞limkfn− fk_∞ =0.

On peut noter “fn CVU−→

n→∞ f sur I” pour indiquer que la suite (fn) converge uniformement vers f sur l’intervalleI.

Remarque I.2.10.

La définition précédente peut se formaliser de la manière suivante: fn CVU−→

n→∞ f sur Isi et seulement si pour toutε >0, il existeN ∈Ntel que

n≥ N ⇒ kfn− fk_∞ < ε

.

Exemple I.2.11.

On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies sur I = [1,+∞[, de terme général fn(x)= 1

x+ ¹_n. On a vu à l’exemple I.1.6 que fn CVS−→

n→∞ f sur I avec f(x) = 1

x. On veut mon- trer que la convergence est uniforme surI. Pour tout x∈I,

|fn(x)− f(x)|=

1 x+ ¹_n − 1

x

=

x−x− ¹_n x

x+ ¹_n

= 1 nx²+ x. On veut montrer que sup

[1,+∞[

|fn(x)− f(x)| −→

n→+∞0 et nous illustrons les deux manières de procéder.

– Posons gn(x) = 1

nx²+x. Pour tout n ∈ N^?, on analyse les variations de gn. On a g⁰_n(x) =

− 2nx+1

(nx²+ x)². On en déduit le tableau de variations:

x 1 +∞

g⁰_n(x) −

1 n+1

gn(x) &

0

. Ainsikfn−fk_∞ =

sup_[1,+∞[gn = 1 n+1 −→

n→∞0 et on peut conclure: fn CVU−→

n→∞ f sur l’intervalleI.

– Pour tout n ∈ N^?, on majore gn sur [1,+∞[ par une fonction de n. La condition x ≥ 1 implique quenx²+ x ≥ n+1, donc 0≤ 1

nx²+x ≤ 1

n+1. Par conséquent, pour toutx ∈ I,

|fn(x)− f(x)| ≤ 1

n+1. Donc, par la prop. I.2.7, pour toutn ∈N^?, kfn− fk_∞ ≤ 1 n+1 −→

n→∞0.

On peut conclure: fn CVU−→

n→∞ f sur l’intervalleI.

Exemple I.2.12.

On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies surI =[0,1], de terme général fn(x)= xⁿ. On a vu à l’exempleI.1.8que fn

−→CVS

n→∞ f surIavec f(x)=

( 0 six∈[0,1[

1 six=1 . On veut analyser si (fn) converge uniformement vers f sur I. On a: |fn(x)− f(x)| =

( xⁿ six∈[0,1[

1−1=0 six= 1 . Ainsi, pour toutn ∈ N^?, sup

x∈[0,1]

|fn(x)− f(x)| = sup

x∈[0,1[xⁿ = 1, c’est à direkfn − fk_∞ = 1. Donc la suite kfn− fk_∞

ne converge pas vers zéro et la suite (fn) ne converge pas uniformement vers f surI.

I.2.3. Convergence simple et convergence uniforme. — Dans les exemples I.2.11etI.2.12 nous avons analysé la convergence simple d’une suite de fonctions (fn) vers f puis analysé si cette conver- gence était uniforme. On a de fait la propriété suivante:

I.2. CONVERGENCE UNIFORME 9

Proposition I.2.13.

Si une suite de fonctions(fn)converge uniformement vers une fonction f sur un intervalle I, alors (fn)converge simplement vers la fonction f sur I:

fn CVU−→

n→∞ f

⇒ fn

−→CVS n→∞ f

.

Démonstration. — On suppose que fn CVU−→

n→∞ f surI, donc quekfn− fk_∞ −→

n→∞0. Observons que pour tout x ∈ I, |fn(x)− f(x)| ≤ kfn − fk_∞, par suite : pour tout x ∈ I, |fn(x)− f(x)| −→

n→∞ 0. On conclut:

fn

−→CVS

n→∞ f surI.

La propositionI.2.13fournit donc une méthode pratique : pour étudier la convergence uniforme sur un intervalleI d’une suite de fonctions (fn) on commence par étudier la convergence simple. Si (fn) converge simplement vers une fonction f sur I, on détermine cette fonction puis on étudie la convergence uniforme. Pour cela:

1. on étudie les variations de |fn(x) − f(x)| sur I ou on cherche à majorer |fn(x) − f(x)| sur I par une quantité indépendante de x et qui tend vers zéro quand n → ∞, montrant ainsi que kfn− fk∞ −→

n→∞0 et donc que fn CVU−→

n→∞ f (cf. l’exempleI.2.11);

2. si au contraire on veut montrer que la convergence n’est pas uniforme, on minorerakfn− fk_∞ par une quantité (indépendante de x) qui ne converge pas vers zéro quandn → ∞. On illustre ce mode de raisonnement dans l’exempleI.2.14ci-après.

Exemple I.2.14.

On considère à nouveau la suite (fn)n∈N^? de fonctions définies sur I = [0,1], de terme général fn(x)= xⁿ. On sait (cf. exempleI.1.8) que fn

−→CVS

n→∞ f avec f(x)=

( 0 six∈[0,1[

1 six= 1 surI.

On va montrer que la convergence n’est pas uniforme surIet on illustre les deux méthodes.

– Première méthode. On cherche à calculer sup_[0,1]|fn− f|.

Pour x ∈ [0,1[ on a gn(x) = |fn(x)− f(x)|= xⁿ. On fait l’étude de cette fonction sur [0,1[:

x 0 1

g⁰_n(x) 0 + 1 gn(x) %

0

. Par suite sup_x∈[0,1[|fn(x)− f(x)|= 1.

Par ailleurs |fn(1)− f(1)| = 0. En conclusion kfn− fk∞ = sup_x∈[0,1]|fn(x)− f(x)| = 1. En conséquence, la suite (kfn − fk∞) ne tend pas vers zéro quand n → ∞ et la suite (fn) ne converge pas uniformement vers f surI.

– Deuxième méthode. On cherche à minorerkfn−fk_∞. Pourn∈N^?, posonsxn =1−1

n ∈[0,1[.

On a:

|fn(xn)− f(xn)|= fn(xn)= 1− 1 n

!ⁿ .

Par suite, pour tout n ∈ N^?, kfn − fk_∞ ≥ 1− 1 n

!n

. Or 1− 1 n

!n

= e^nln(¹⁻¹n) −→

n→∞ e⁻¹. En conséquence, la suite (kfn − fk_∞) ne tend pas vers zéro quand n → ∞ et la suite (fn) ne converge pas uniformement vers f surI.

Exemple I.2.15.

On considère la suite (fn)n∈N^? de fonctions de terme général fn(x)= nln

1+ x n

, x∈[0,+∞[. On a fn(0)= 0 →

n→∞0 tandis que pour tout x∈]0,+∞[, fn(x)= x+ o

n→∞

1 n

!

→

n→∞ x. Donc fn CVS−→

n→∞ f sur [0,+∞[ avec f(x)= x.

1. SoitA > 0 etIA = [0,A]. On considère ici les fonctions fn et f en restriction à IA. On veut montrer que fn

CVU−→

n→∞ f surIA.

Pourn ∈N^? et x∈ IA, posonsgn(x) = fn(x)− f(x)= nln

1+ x n

−x. Cette fonctiongn est dérivable sur IA, de dérivée : g⁰_n(x)= n

1 n

1+ ^x_n −1= n

x+n −1=− x x+n ≤0.

0 A

g⁰_n − 0 gn &

nln 1+ ^A_n

−A Par conséquent, pour toutn∈N^?, sup

x∈[0,A]

|fn(x)− f(x)|= A−nln

1+ A n

= o

n→∞(1) →

n→∞0. On peut conclure: fn

CVU−→

n→∞ f sur [0,A].

2. On veut montrer que (fn) ne converge pas uniformement vers f sur [0,+∞[. Illustrons deux méthodes:

– Première méthode (analyse de fonctions). On reprend les notations et l’éude précé- dente:

0 +∞

g⁰_n − 0 gn &

−∞

Donc sup

x∈[0,+∞[

|fn(x)− f(x)| = +∞. Aussi la suite (fn) ne converge pas uniformement vers f sur [0,+∞[.

– Deuxième méthode (minoration). Posons xn =npourn∈N^?. On a: |fn(xn)− f(xn)|= n(1−ln(2)) et par suite, pour toutn∈N^?, sup

x∈[0,+∞[

|fn(x)− f(x)k ≥n(1−ln(2)) −→

n→∞+∞.

La suite (kfn−fk_∞) ne tend donc pas vers zéro quandn→ ∞et la suite (fn) ne converge pas uniformement vers f sur [0,+∞[.

I.4. CONVERGENCE UNIFORME, INTÉGRATION 11

I.3. Convergence uniforme et continuité

L’interêt de la convergence uniforme réside principalement dans le résultat fondamental suivant:

Théorème I.3.1 (Convergence uniforme et continuité).

Soit (fn) une suite de fonctions continues sur l’intervalle I ⊂ R. Si fn CVU−→

n→∞ f sur I, alors f est continue sur I.

Démonstration. — Rappelons la définition de la continuité en un point : la fonction f est continue en pointx₀ ∈Isi et seulement si: pour toutε >0, il existeη >0 tel que

|x−x₀|< η ⇒ |f(x)− f(x₀)|< ε . Soit doncx0 ∈Ietε >0. Observons que pour tout x∈Iet toutn∈N:

|f(x)− f(x₀)| = |f(x)− fn(x)+ fn(x)− fn(x₀)+ fn(x₀)− f(x₀)|

≤ |f(x)− fn(x)|+|fn(x)− fn(x₀)|+|fn(x₀)− f(x₀)|

On va majorer chacun des 3 termes précédents.

– On sait quekfn− fk_∞ →

n→∞0 car fn CVU−→

n→∞ f surI. Donc : il existen₀ ∈Ntel quekfn− fk_∞ < ε 3 si n≥n0. Comme pour toutx∈I,|f(x)− fn(x)| ≤ kfn− fk∞et|f(x0)− fn(x0)| ≤ kfn− fk∞, on en déduit: il existen0 ∈Ntel que

( |f(x)− fn(x)≤ |₃^ε

|f(x₀)− fn(x₀)| ≤ ^ε₃ pour toutn ≥ n0. (On va prendren = n0

par la suite).

– On sait que (fn) est une suite de fonctions continues surI. En particulier fn0 est continue enx₀. Donc : il existeη >0 tel que

|x− x₀|< η⇒ |fn₀(x)− fn₀(x₀)|< ^ε₃ Faisons le bilan : pour toutε >0, il existeη >0 tel que, si|x−x₀|< η:

|f(x)− f(x₀)| ≤ |f(x)− fn₀(x)|+|fn₀(x)− fn₀(x₀)|+|fn₀(x₀)− f(x₀)|

< ε 3 + ε

3 + ε 3 et par suite

|x−x0|< η ⇒ |f(x)− f(x0)|< ε

, ce qui achève la preuve.

Remarque I.3.2.

Pour certaines suites de fonction continues (fn), on peut avoir fn

−→CVS

n→∞ f sur I et f continue sur I sans que la convergence soit uniforme : la condition fn

CVU−→

n→∞ f sur I est une condition suffisante mais non nécessaire pour que f soit continue surI. Cf. exempleI.2.15.

I.4. Convergence uniforme, intégration

On a vu précédemment que si une suite fn

de fonctions continues sur un intervalle converge uniformement vers f sur un intervalle I, alors f est continue surI. Ces fonctions étant continues, et siI est un segment, leurs intégrales

Z

I

fn(x)dx et Z

I

f(x)dxsont bien définies. Le théorème suivant permet de les comparer:

Théorème I.4.1 (Convergence uniforme et intégration).

Soit fn

une suite de fonctions continues sur le segment[a,b](−∞ < a≤ b < +∞). Si fn CVU−→

n→∞ f sur[a,b], alors

Z b

a

fn(x)dx →

n→∞

Z b

a

f(x)dx.

Démonstration. — Comme fn CVU−→

n→∞ f sur [a,b] on akfn−fk_∞ −→

n→∞0 oùkfn−fk_∞ = sup

x∈[a,b]

|fn(x)−f(x)|.

Or pourn≥ N:

Z b

a

fn(x)dx− Z b

a

f(x)dx

=

Z b

a

fn(x)− f(x) dx

≤ Z b

a

fn(x)− f(x) dx

≤ Z b

a

kfn− fk∞dx car pour toutx∈[a,b],|fn(x)− f(x)| ≤ kfn− fk_∞. Ainsi:

Z b

a

fn(x)dx− Z b

a

f(x)dx

≤ kfn− fk_∞ Z b

a

dx≤(b−a)kfn− fk_∞ −→

n→∞0 En conclusion:

Z b

a

fn(x)dx →

n→∞

Z b

a

f(x)dx.

Exemple I.4.2.

On a vu à l’exempleI.2.15que fn CVU−→

n→∞ f sur [0,1] où fn(x)=nln

1+ x n

et f(x)= x. Donc, par le théorèmeI.4.1:

Z 1

0

nln

1+ x n

dx →

n→∞

Z 1

0

xdx=hx² 2

i¹

0 = 1 2.

I.5. Convergence uniforme et critère de Cauchy

Définition I.5.1 (Critère de Cauchy pour la norme du sup).

Soit fn

une suite de fonctions numériques définies sur un intervalleI ⊂ R. On dit qu’elle vérifie lecritère de Cauchypour la norme du sup si : kfn− fpk_∞ −→

n,p→∞0.

Remarque I.5.2.

La notation kfn − fpk_∞ −→

n,p→∞ 0 signifie précisément : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que

( n≥N

p≥ N ⇒ kfn− fpk_∞ < ε

Le résultat suivant montre qu’il y a équivalence entre vérifier le critère de Cauchy⁽¹⁾et converger uniformément:

(1)Augustin Louis Cauchy (1789-1857), mathématicien français, considéré comme le fondateur de l’analyse moderne

I.5. CONVERGENCE UNIFORME ET CRITÈRE DE CAUCHY 13

Théorème I.5.3 (Convergence uniforme et critère de Cauchy pour les suites de fonctions).

Soit fn

une suite de fonctions numériques définies sur un intervalle I ⊂ R. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

1. La suite fn

vérifie le critère de Cauchy pour la norme du sup sur I.

2. Il existe une fonction f définie sur I telle que fn CVU−→

n→∞ f sur I.

Démonstration. — 1. 1. implique 2.On suppose que suite fn

vérifie le critère de Cauchy surI.

(a) Etape 1: on montre l’existence d’une fonction f telle que fn

−→CVS

n→∞ f surI.

Soit x₀ ∈ I. Comme|fn(x₀)− fp(x₀)| ≤ kfn − fpk_∞, on sait que|fn(x₀)− fp(x₀)| −→

n,p→∞0.

Ceci veut dire que la suite réelle fn(x₀)

n est de Cauchy. Cette suite converge donc dans Rqui est complet⁽²⁾. On note f(x₀) cette limite : lim

n→∞ fn(x₀)= f(x₀). Puisque x₀peut être choisi arbitrairement dans I, on obtient ainsi une fonction f : I → Rtelle que fn

CVS−→

n→∞ f surI.

(b) Etape 2: on montre que fn CVU−→

n→∞ f surI.

Soitε >0. On fixeN ∈Ntel que(

n≥ N

p≥ N ⇒ kfn− fpk_∞ < ε

.

Soit x∈I. On a|fn(x)− fp(x)| ≤ kfn− fpk_∞ ≤ εpour tout (n≥ N,p≥ N).

On fixe n(n ≥ N) et on fait tendre p → ∞. On sait que fp(x) −→

p→∞ f(x) (étape 1), donc fn(x)− fp(x) −→

p→∞ fn(x)− f(x). Par suite:|fn(x)− f(x)| ≤εpour toutn≥ N.

Dans ce raisonnement, x ∈ I est arbitraire. On a donc obtenu : pour toutε > 0, il existe N ∈Ntel que

n≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)| ≤ε

. Ceci montre que fn CVU−→

n→∞ f surI.

2. 2. implique 1. On suppose que fn CVU−→

n→∞ f surI. Montrons qu’alors la suite fn

vérifie le critère de Cauchy. Soitε > 0. Il existeN ∈ Ntel que n≥ N ⇒ kfn− fk_∞ ≤ ε

2

. Supposons à présent (n≥N,p≥ N) : on akfn− fk_∞ ≤ ε

2 etkfp− fk_∞ ≤ ε 2 et

kfn− fpk_∞= kfn− f + f − fpk_∞ ≤ kfn− fk_∞+kfp− fk_∞ ≤ ε 2 + ε

2 ≤ε.

On vient donc de montrer: pour toutε >0 il existeN ∈Ntel que

( n≥ N

p≥ N ⇒ kfn−fpk_∞ < ε

. Ceci montre que la suite fn

satisfait au critère de Cauchy.

Remarque I.5.4.

L’intérêt du critère de Cauchy est qu’il permet de montrer la convergence uniforme d’une suite de fonctions fn

sans avoir à expliciter la fonction limite f.

(2)Cf. le cours Analyse 1 de L2-MPCIE Semestre 3. Dire que “Rest complet”, c’est précisément dire que toute suite réelle de Cauchy converge.

I.6. Références

Pour aller plus loin:

J.-M. Monier,Analyse MP. Dunod, collection J’intègre. 5éme Edition 2007.

CHAPITRE II

SÉRIES DE FONCTIONS

Résumé. — Ce chapitre est dédié à l’études des suites de fonctions numériques. On y aborde prin- cipalement deux notions de convergence, simple et normale, puis celle de convergence uniforme. A l’issue de ce chapitre, l’étudiant sera en capacité : de définir et d’analyser la convergence simple et absolue d’une série de fonctions sur un intervalle; de définir et d’analyser la convergence nor- male et uniforme d’une série de fonctions sur un intervalle; d’appliquer les théorèmes de continuité, d’intégration et de dérivation relatifs aux séries de fonctions uniformément convergentes.

II.1. Séries de fonctions, convergence simple et absolue

Dans tout ce chapitre, (fn)n∈Ndésigne une suite fonctions réelles définies sur l’intervalleI ⊂R. Définition II.1.1 (Série de fonctions et sommes partielles).

La série de fonctions sur I notée X

n≥0

fn, est la donnée pour tout x ∈ I de la série numérique X

n≥0

fn(x). On dit que fnest leterme généralde cette série. Pour toutn∈N, la sommeSn =

n

X

k=0

fk

est appeléesomme partielle d’ordrende la série.

Remarque II.1.2.

Comme pour les séries numériques, la série de fonctions peut n’être définie qu’à partir d’un certain rangn₀ ∈N, auquel cas on pourra la noterX

n≥n₀

fn.

Comme pour les séries numériques, on cherche à donner du sens à la somme formelleX

n≥0

fn, ce qui suppose de définir une notion de convergence. Nous commençons par la convergence simple:

Définition II.1.3 (Convergence simple, convergence absolue).

On dit que la série de fonctionsX

n≥0

fnconverge en x∈I si la série numériqueX

n≥0

fn(x) converge;

dans ce cas la limite

∞

X

k=0

fk(x)= lim

n→∞

n

X

k=0

fk(x)= lim

n→∞Sn(x) est lasomme de la sérieenx.

On dit que la sérieX

n≥0

fn converge simplement(CVS) sur I si elle converge en tout point de I.

Dans ce cas la fonction notée

∞

X

n=0

fn : x∈I 7→

∞

X

n=0

fn(x)∈Rest appeléesomme de la série.

On dit que la sérieX

n≥0

fnconverge absolument(CV A) surIsi la sérieX

n≥0

|fn|CVS surI.

Remarque II.1.4.

1. Dire que la sérieX

n≥0

fnconverge simplement surI, de somme f =

∞

X

n=0

fn, est équivalent à dire que Sn

−→CVS

n→∞ f sur I où (Sn) désigne la suite des sommes partielles de la série et f sa limite simple.

2. Par une propriété sur les séries numériques : (X

n≥0

fnCV AsurI)⇒(X

n≥0

fnCVS surI).

Définition II.1.5 (Reste d’ordrend’une série simplement convergente).

Soit X

n≥0

fn une série de fonctions CVS sur I. Pour tout n ∈ N et tout x ∈ I, la somme Rn(x)=

∞

X

k=n+1

fk(x) est appeléereste d’ordrende la série enx.

Remarque II.1.6.

Dans la définition précédente, comme la série converge simplement surI, le reste d’ordren en x est bien défini. Par ailleursRn

−→CVS

n→∞0 surI.

L’analyse de la convergence simple se ramène le plus souvent à appliquer des règles vues en Analyse 1, L2-MPCIE Semestre 3, concernant les séries numériques: séries géométriques, conver- gence absolue, séries alternées, séries de Riemann⁽¹⁾, règles de Cauchy et de d’Alembert⁽²⁾, théorème de comparaison, équivalents.

(1)Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien allemand, auteur de contributions marquantes en analyse et en géométrie.

(2)Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), mathématicien et philosophe français.

II.2. CONVERGENCE NORMALE 17

Exemple II.1.7.

On considère la série de fonctionsX

n≥0

fn où fn(x) = xⁿ surI =]−1,1[. (Remarque : x⁰ = 1). Il s’agit de la série géométrique : elle converge simplement surI, de somme

∞

X

n=0

fn : x∈I 7→ 1 1−x.

Exemple II.1.8.

On considère la série de fonctionsX

n≥1

fn où fn(x) = (−1)ⁿ

x²+n². Montrons la convergence simple de la série surR. Pour cela observons que pour toutx∈R,|fn(x)| ≤ 1

x²+n². Comme 1 x²+n² ∼

n→∞

1 n², la série X

n≥0

1

x²+n² converge par le critère de Riemann (cf. Analyse 1, L2-MPCIE Semestre 3).

Par suiteX

n≥1

fn(x)CV A, donc elle converge (cf. Analyse 1, L2-MPCIE Semestre 3). Ceci montre queX

n≥1

fn converge simplement surR, de somme la fonctionx∈R7→

∞

X

n=1

(−1)ⁿ x²+n².

Exemple II.1.9.

On considère la série de fonctions de terme général : fn(x) = (−1)ⁿ

√ n²+x²

,n∈ N. On veut montrer laCVS de la série surR. Pour cela observons que pour toutx∈Rfixé:

– on a fn(x)=(−1)ⁿgn(x) avecgn(x)= 1

√ n²+x²

≥0.

– la suite gn(x)

nest décroissante : pour toutn∈N^?,gn+1(x)≤gn(x);

– on agn(x) −→

n→∞0.

La série numérique X

n≥0

fn(x) est donc alternée et elle converge donc par le critère des séries al- ternées (cf. Analyse 1, L2-MPCIE Semestre 3). On conclut : la sérieX

n≥0

fn(x)CVS surR.

II.2. Convergence normale

La convergence normale pour les series de fonctions, que nous allons introduire, est l’analogue de la convergence absolue pour les séries numériques, la valeur absolue étant remplacée par la norme du sup:

Définition II.2.1 (Convergence normale).

On dit que la série X

n≥0

fn converge normalement (CV N) sur I si la série numérique X

n≥0

kfnk∞

converge, oùkfnk_∞ =sup

x∈I

|fn(x)|.

Proposition II.2.2.

Si la sérieX

n≥0

fnconverge normalement sur I alors, la série numériqueX

n≥0

fn(x)converge absolu- ment pour tout x∈I, doncX

n≥0

fnconverge simplement sur I.

Démonstration. — Soit x ∈ I. Pour tout n ∈ N on a |fn(x)| ≤ kfnk∞. Comme la série X

n≥0

kfnk∞

converge par hypothèse, on en déduit par comparaison que la sérieX

n≥0

|fn(x)|converge, c’est à dire queX

n≥0

fn(x)CV A. En conséquenceX

n≥0

fn(x) converge et, xétant choisi arbitrairement dansI, la série X

n≥0

fnconverge donc simplement sur I.

Exemple II.2.3.

On considère la série de fonctionsX

n≥1

fn où fn(x) = (−1)ⁿ

x²+n^3/2. Montrons la convergence normale surR.

– Première méthode, par analyse des fonctions. Pour n ∈ N^? et x ∈ R, posons:

gn(x) = 1

x²+n^3/2. On a g⁰_n(x) = − 2x

(x²+n^3/2)². On en déduit le tableau de variations:

x −∞ 0 +∞

g⁰_n(x) + 0 −

1 n^3/2

gn(x) % &

0 0

. On en déduit quekfnk_∞ = sup

x∈R

|fn(x)|= sup

x∈R

|gn(x)| = 1 n^3/2.

Or la série X

n≥1

1

n^3/2 converge par le critère de Riemann. Aussi, la série de fonctions X

n≥1

fn

converge normalement (donc simplement) surR.

– Deuxième méthode, par majoration. Pour tout n ∈ N^?, pour tout x ∈ R, x² + n^3/2 ≥ n^3/2 de sorte que |fn(x)| ≤ 1

n^3/2. Par suite kfnk_∞ = sup_x∈R|fn(x)| ≤ 1

n^3/2. On déduit du critère de Riemann que la série X

n≥1

1

n^3/2 converge puis, par comparaison, que la série X

n≥1

kfnk_∞

II.2. CONVERGENCE NORMALE 19

converge. La série de fonctions X

n≥1

fn est de ce fait normalement convergente sur R, donc converge simplement surR, de somme

∞

X

n=1

(−1)ⁿ x²+n^3/2.

Exemple II.2.4.

On considère la sérieX

n≥0

fn de terme général fn(x)= xⁿ. 1. On se place surI =]−1,1[. On a: kfnk∞= sup

x∈]−1,1[|xⁿ|= 1. Par suite la sérieX

n≥0

kfnk∞diverge vers+∞, donc la sérieX

n≥0

fnne converge pas normalement surI.

2. Soit A ∈]0,1[. On se place sur I = [−A,A]. On a kfnk_∞ = sup

x∈[−A,A]|xⁿ| = sup

x∈[0,A]xⁿ = Aⁿ par parité de |xⁿ| puis par croissance de la fonction x ∈ [0,A] 7→ xⁿ. Par suite la série X

n≥0

kfnk_∞ = X

n≥0

Aⁿ est une série géométrique de raison 0 < A < 1, donc converge. En conclusion, la série X

n≥0

fn converge normalement (donc simplement) sur [−A,A], pour tout A∈]0,1[. Ceci implique que la sérieX

n≥0

fnconverge simplement sur ]−1,1[= [

A∈]0,1[

[−A,A].

Exemple II.2.5.

On considère la série X

n≥1

fn de terme général fn(x) = (−1)ⁿ

√ x²+n²

. On a vu à l’exemple II.1.9 qu’elleCVS sur R. On veut analyser sa convergence normale. Fixons x ∈ R et observons que

|fn(x)|= 1

√ x²+n²

n→∞∼ 1

n. Par le critère de Riemann, la sérieX

n≥1

1

n diverge vers+∞. Donc la série X

n≥1

fn(x) ne converge pas absolument. Par suite la sérieX

n≥1

fn ne converge pas normalement, sur aucun intervalle deR.

Les exemples précédents illustrent la méthode générale:

1. pour montrer que la série de fonctionsX

n≥0

fnCV Nsur l’intervalleI, on cherche à majorer|fn(x)|

surI par une quantité un ≥ 0 indépendante de xpuis on montre que la série numériqueX

n≥0

un

converge. On conclut par comparaison.

2. si au contraire on veut montrer que la convergence n’est pas normale surI, on minorerakfnk_∞ par une quantitévn≥ 0 telle que la série numériqueX

n≥0

vn diverge vers+∞.

II.3. Convergence uniforme

On a vu pour les suites de fonctions continues que la convergence simple était insuffisante pour assurer la continuité de la limite. Pour des raisons analogues, nous introduisons la notion de convergence uniforme pour les séries de fonctions:

Définition II.3.1 (Convergence uniforme).

On dit que la série de fonctionsX

n≥0

fn définie sur l’intervalle I converge uniformément (CVU) sur I si la suite Sn

n≥0 de ses sommes partielles Sn =

n

X

k=0

fk converge uniformément sur I : X

n≥0

fnCVU surI⇔ Sn

n≥0CVU surI

Remarque II.3.2.

La définition précédente s’écrit aussi de la manière suivante: X

n≥0

fnconverge uniformément sur I si et seulement sikSn− Spk_∞ = k

n

X

k=p+1

fkk_∞ −→

n≥p→∞ 0. (Critère de Cauchy pour la suite Sn , cf.

théorèmeI.5.3).

Proposition II.3.3 (Convergence uniforme implique convergence simple).

Si la série de fonctionsX

n≥0

fn converge uniformément sur I, alors elle converge simplement sur I vers la somme

∞

X

n=0

fnde la série.

Démonstration. — Supposons que la série de fonctionsX

n≥0

fn converge uniformément surI, c’est à dire que la suite des sommes partielles Sn

n≥0converge uniformément. En particulier la suite Sn

n≥0

converge simplement surI(cf. propositionI.2.13) et pour tout x∈I, lim

n→∞Sn(x)=

∞

X

k=0

fk(x), la somme

de la série enx.

La propriété suivante est souvent utile en pratique pour montrer laCVU d’une série de fonc- tions:

Proposition II.3.4 (Convergence normale implique convergence uniforme).

Si la série de fonctionsX

n≥0

fnconverge normalement sur I, alors elle converge uniformément sur I vers la somme

∞

X

n=0

fnde la série.

II.3. CONVERGENCE UNIFORME 21

Démonstration. — Supposons que la sérieX

n≥0

fn converge normalement surI, autrement dit la série X

n≥0

kfnk_∞converge vers le réelσ=

∞

X

n=0

kfnk_∞. En notantσn =

n

X

k=0

kfkk_∞la suite des sommes partielles, on a doncσn −→

n→∞σ.

Soitε >0. Par ce qui précéde, il existe N ∈Ntel que pour toutn≥ N on a|σn−σ| ≤ε, c’est à dire:

∞

X

k=n+1

kfkk_∞ ≤ε.

Pourx∈Iet pourn≥ p≥ N:

|Sn(x)−Sp(x)|=

n

X

k=p+1

fk(x)

≤

n

X

k=p+1

|fk(x)| ≤

n

X

k=p+1

kfkk_∞ ≤

∞

X

k=p+1

kfkk_∞≤ ε.

Commexest arbitraire dansI, on obtient: kSn−Spk_∞ ≤ εpour toutn ≥ p≥ N. Ceci montre que la suite des sommes partielles Sn

est de Cauchy, donc qu’elle converge uniformément surI. Par suite, la sérieX

n≥0

fnCVU surI.

On vient de voir que CV N implique CVU. La réciproque est fausse ainsi que nous allons l’illustrer sur l’exempleII.3.6. Auparavant, nous allons donner un nouveau critère de convergence uniforme basée sur la suite des restes:

Proposition II.3.5.

SoitX

n≥0

fnune série de fonctions. Elle converge uniformément sur l’intervalle I si et seulement si:











la série X

n≥0

fnconverge simplement sur I la suite Rn

n≥0 des restes converge uniformément vers0sur I

Démonstration. — On suppose:











la série X

n≥0

fn converge simplement surI la suite Rn

n≥0des restes converge uniformément vers 0 surI . En notant S =

∞

X

n=0

fn la somme de la série, on observe que Rn = S − Sn. Par hypothèse, kS −Snk∞ −→

n→∞0, autrement ditSn CVU−→

n→∞S surI. DoncX

n≥0

fnCVU surI.

La preuve de la réciproque est laissée au lecteur.

Pour finir, voici un exemple un peu pathologique où nous n’avons pas une convergence normale mais une convergence uniforme.

Exemple II.3.6.

On considère la suite de fonction fnqui vaut 0 partout sauf sur [n,n+1] où c’est son graphe est un triangle de sommet (n+ ¹₂, ¹_n). Remarquons que nous avons||fn||∞ = ¹_n et donc nous n’avons pas de convergence normale carP

n≥0||fn||∞ =P

n≥0 1

n qui diverge. Pour la convergence uniforme, nous

utilisons la propostion ci-dessus sur les restes partiels qui sont RN = X

n≥N

fn

Clairement, nous avons||RN||_∞ = 1/N qui tend bien vers 0 et donc nous avons une convergence uniforme.

II.4. Diagramme résumé des différentes notions de convergence Convergence Normale

2. &1

Convergence Absolue Convergence Uniforme

3& .4

Convergence simple

Toutes les implications réciproques sont fausses et voici les contre-exemples.

1. L’autre sens de 1 est faux par l’exempleII.3.6.

2. L’autre sens de 2 est faux par l’exempleII.3.6.

3. L’autre sens de 3 est faux par l’exemple (à faire en exercice) 4. L’autre sens de 4 est faux par l’exemple (à faire en exercice)

II.5. Convergence uniforme, continuité et intégration Des considérations précédentes on déduit divers résultats.

Théorème II.5.1 (Convergence uniforme des séries et continuité).

Si la sérieX

n≥0

fnCVU sur l’intervalle I et si les fonctions fnsont continues sur I, alors la somme f =

∞

X

n=0

fnest une fonction continue sur I.

Démonstration. — Les fonctions fnsont continues surI, donc les sommes partiellesSnle sont aussi.

La sérieX

n≥0

fnCVU sur l’intervalleI équivaut àSn CVU−→

n→∞ f surI. On conclut par le théorèmeI.3.1de

continuité pour les suites de fonctions.

Exemple II.5.2.

On considère la sérieX

n≥0

fnde terme général fn(x)= 1

n²+e^x, x∈R,n∈N. On observe:

1. les fonctions fnsont continues surR; 2. on a, pourn∈N^?,kfnk_∞ ≤ 1

n² et la série de RiemannX

n≥1

1

n² converge.

II.5. CONVERGENCE UNIFORME, CONTINUITÉ ET INTÉGRATION 23

Par suite la sérieX

n≥0

fnCV N, doncCVU, surRet la somme f =

∞

X

n=0

fnest continue surR.

Théorème II.5.3 (Convergence uniforme des séries et intégration).

Si la série X

n≥0

fn CVU sur le segment [a,b] (−∞ < a ≤ b < +∞) et si les fonctions fn sont continues sur [a,b], alors la somme f =

∞

X

n=0

fn est intégrable sur [a,b] et la série numérique X

n≥0

Z b

a

fn(x)dx

!

converge vers Z b

a

f(x)dx.

Démonstration. — Les fonctions fnsont continues surI, donc les sommes partiellesSnle sont aussi.

En particulierSnest intégrable sur le segment [a,b]. La sérieX

n≥0

fnCVUsur le segmentIéquivaut à Sn

CVU−→

n→∞ f sur [a,b] et, par le théorème d’intégrationI.4.1sur les suites : Z b

a

Sn(x)dx →

n→∞

Z b

a

f(x)dx.

Or Z b

a

Sn(x)dx =

n

X

k=0

Z b

a

fn(x)dx

!

. On peut donc conclure : la série numérique X

n≥0

Z b

a

fn(x)dx

!

converge vers Z b

a

f(x)dx.

Remarque II.5.4.

On écrit souvent le II.5.3 en disant qu’on peut intervertir les signes de sommation:

Z b

a









∞

X

n=0

fn(x)







dx=

∞

X

n=0

Z b

a

fn(x)dx

! .

Exemple II.5.5.

On reprend l’exempleII.5.2avec fn(x) = 1

n²+e^x, x ∈ R, n ∈N. On a vu que que la série X

n≥0

fn

CVU surR, de somme la fonction f =

∞

X

n=0

fndéfinie et continue surR.

1. Soit A > 0. Par le théorème II.5.3 appliqué au segment [0,A], la série X

n≥0

Z A

0

fn(x)dx

!

converge et Z A

0

f(x)dx=

∞

X

n=0

Z A

0

fn(x)dx

! . Explicitons les intégrales: on a

Z A

0

f₀(x)dx = Z A 0

e^−xdx = 1−e^−A. Par ailleurs pour tout

n∈N^?, Z A

0

fn(x)dx =Z A 0

1

n²+e^xdx =Z A 0

1

e^x(e^−xn²+1)dx =Z A 0

e^−xdx e^−xn²+1. Posons le changement de variableu=e^−x de sorte quedu= −e^−xdx:

Z A

0

fn(x)dx =− Z e^−A

1

1

un²+1du=−

"

ln(1+un²) n²

#^e−A

1

= ln(1+n²)−ln(1+n²e^−A)

n² .

En conclusion:

Z A

0

f(x)dx= (1−e^−A)+

∞

X

n=1

ln(1+n²)−ln(1+n²e^−A) n²

! .

2. Bonus que vous pouvez ignorer. On veut analyser la convergence de l’intégrale généralisée Z →+∞

0

f(x)dx. Autrement dit, on veut analyser si la limite lim

A→+∞

Z A

0

f(x)dxexiste et est finie.

Pour cela, observons que pour toutn∈N^?et tout A>0, 0≤ ln(1+n²)−ln(1+n²e^−A)

n² ≤ ln(1+n²) n² . Montrons que la série X

n≥1

ln(1+n²)

n² converge. On a 0 ≤ ln(1+n²)

n² = ln(1+n²)

√n 1 n^3/2 et ln(1+n²)

√n −→

n→∞ 0 (comparaison entre une puissance et un logarithme). Donc ln(1+n²)

n² = o

n→∞(n^−3/2). En particulier il existe une constante M > 0 telle que pour toutn∈N^?, 0 ≤ ln(1+n²)

√n ≤ M. Donc, pour toutn∈N^?, 0≤ ln(1+n²)

n² ≤ M

n^3/2 etX

n≥1

1 n^3/2 est une série de Riemann convergente. En conséquence on peut passer à la limite A → +∞ dans la série (1 − e^−A) +

∞

X

n=1

ln(1+n²)−ln(1+n²e^−A) n²

!

. Ainsi l’intégrale généralisée Z →+∞

0

f(x)dxconverge, de somme:

Z ₊∞ 0

f(x)dx =1+

∞

X

n=1

ln(1+n²) n²

Remarque : dans l’exemple précédent on a analysé la nature de la sérieX

n≥1

ln(1+n²)

n² par comparai- son avec une série de Riemann. On aurait aussi pu constater que ln(1+n²)

n² = ∼

n→∞2ln(n)

n² . Or la série X

n

ln(n)

n² est unesérie de Bertrand⁽³⁾convergente. (Cf. Analyse 1, L2-MPCIE Semestre 3).

II.6. Références

Pour aller plus loin:

J.-M. Monier,Analyse MP. Dunod, collection J’intègre. 5éme Edition 2007.

(3)Joseph Bertrand (1822-1900), mathématicien et économiste français.