16.2 Le critère de Cauchy uniforme

16

Suites de fonctions

Sauf précision contraire, I est un intervalle réel non réduit à un point et les fonctions consi- dérées sont définies sur I à valeurs réelles ou complexes.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme

On désigne par (f_n)_n∈N une suite de fonctions de I dans R ouC.

Définition 16.1 On dit que la suite de fonctions (f_n)_n∈N converge simplement vers une fonc- tion f sur I si, pour tout réel x∈I la suite(f_n(x))_n∈N est convergente dans R ou C.

La convergence simple de (f_n)_n∈N vers f sur I se traduit donc par :

(∀x∈I, ∀ε >0, ∃nx,ε ∈N)|(∀n ≥nx,ε, |fn(x)−f(x)|< ε) la notation n_x,ε signifiant que l’entier n_x,ε dépend de x et de ε.

En utilisant les résultats relatifs aux suites numériques, on montre facilement les résultats énoncés avec le théorème qui suit.

Théorème 16.1 Soient(fn)_n∈N et(gn)_n∈N deux suites de fonctions qui convergent simplement sur I vers f et g respectivement.

1. La suite (|f_n|)_n∈N converge simplement vers |f|.

2. Pour tous scalaires λ, µ, la suite (λf_n+µg_n)_n∈N converge simplement vers λf +µg.

3. Si les fonctions f_n et g_n sont à valeurs positives avec f_n ≤g_n à partir d’un certain rang, alors f ≤g.

4. Si les fn sont à valeurs positives et croissantes à partir d’un certain rang, alors f est croissante.

5. Si lesf_nsont à valeurs positives et convexes à partir d’un certain rang, alorsf est convexe.

Exemple 16.1 Considérons la suite de fonctions (f_n)_n∈N définie sur I = R⁺ par f_n(x) = nx

1 +nx. On vérifie facilement que cette suite converge simplement vers la fonction f définie par :

f(x) =

½ 1 si x >0 0 si x= 0 Pour ε∈]0,1[ donné et x >0, on aura

|fn(x)−f(x)|= 1

1 +nx < ε 365

pour nx > 1−ε

ε , soit pour n≥n_x,ε=E

µ1−ε εx

¶ + 1.

Supposons qu’il existe un entier n_ε indépendant de x∈I tel que |f_n(x)−f(x)|< ε pour tout n ≥n_ε. On aura alors pour tout x >0et n ≥n_ε, 1

1 +nx < ε et faisant tendre x vers 0 pour n fixé, on aboutit à 1≤ε, ce qui n’est pas.

Il est donc impossible de trouver un tel n_ε valable pour tout x∈I ou même pour tout x >0.

On dit dans ce cas que la convergence n’est pas uniforme sur R⁺ (ou R^+,∗).

L’exemple précédent nous conduit à la définition suivante.

Définition 16.2 On dit que la suite de fonctions (f_n)_n∈N converge uniformément vers f sur I si la suite

µ sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|

¶

n∈N

est convergente vers 0.

Remarque 16.1 La borne supérieuresup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|est un élément deR⁺=R⁺∪{+∞}. La convergence uniforme de (f_n)_n∈N vers f sur I se traduit donc par :

(∀ε >0, ∃n_ε∈N)|(∀n≥n_ε, ∀x∈I, | |f_n(x)−f(x)|< ε)

La convergence uniforme se traduit aussi graphiquement en disant que pourn≥n_εle graphe def_n est dans une bande de largeur2εsymétrique par rapport au graphe def (faire un dessin).

Avec les inégalités |fn(x)−f(x)| ≤ sup

x∈I|fn(x)−f(x)|, on déduit que la convergence uni- forme entraîne la convergence simple.

Exemple 16.2 En reprenant l’exemple précédent, on a pour x > 0, |f_n(x)−f(x)| = ϕ(nx) où ϕ(y) = 1

1 +y pour y > 0 avec sup

y>0 ϕ(y) = 1, ce qui donne sup

x>0|f_n(x)−f(x)| = 1 et la convergence n’est pas uniforme sur R^+,∗ (et en conséquence elle n’est pas uniforme sur R⁺).

Mais sur J = [a,+∞[ avec a >0, on a : sup

x≥a

|f_n(x)−f(x)|= 1 1 +na du fait de la décroissante de la fonction x7→ 1

1 +nx sur R⁺.Avec lim

n→+∞

1

1 +na = 0, on déduit que la convergence est uniforme sur J.

Remarque 16.2 Si I est une réunion d’intervalle, I = [p

k=1

I_k la convergence uniforme de (f_n)_n∈N sur I est équivalente à la convergence uniforme sur chacun des I_k. En effet si (f_n)_n∈N converge uniformément vers f sur I, avec :

sup

x∈Ik

|f_n(x)−f(x)| ≤sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|

on déduit la convergence uniforme sur I_k.Si (f_n)_n∈N converge uniformément vers f sur chacun des I_k, avec :

sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)| ≤ sup

1≤k≤p

µ sup

x∈Ik

|f_n(x)−f(x)|

¶

≤ Xp

k=1

sup

x∈Ik

|f_n(x)−f(x)|

on déduit la convergence uniforme sur I.

Convergence simple et convergence uniforme 367 Pour montrer qu’une suite de fonctions convergence uniformément, on peut procéder comme suit :

– étudier la suite numérique(fn(x))_n∈Npour prouver une éventuelle convergence simple vers une fonction f;

– étudier les variations sur l’intervalle I de chaque fonction f_n −f en vue de déterminer sa borne inférieure et sa borne supérieure, ce qui permet d’obtenir sup

x∈I|fn(x)−f(x)|, cette étude est facilitée si les fonctions en questions sont dérivables, dans la mesure où les racines de f_n⁰ −f⁰ se calculent facilement ;

– ou alors essayer de déterminer une suite de réels positifs (ε_n)_n∈N de limite nulle telle que

|fn(x)−f(x)| ≤εnpournassez grand et toutx∈I,ce qui entraînerasup

x∈I|fn(x)−f(x)| ≤ εnpournassez grand. En pratique, il vaut mieux opter pour ce type de méthode de travail.

Exercice 16.1 Montrer que si (f_n)_n∈N est une suite de fonctions uniformément convergente vers une fonction f sur un intervalle I, alors la suite de fonctions (sin (fn))_n∈N converge uni- formément vers sin (f) sur I.

Solution 16.1 Résulte de :

|sin (f_n(x))−sin (f(x))| ≤ |f_n(x)−f(x)| ≤sup

x∈I |f_n(x)−f(x)|.

Le résultat qui suit nous donne un critère permettant de prouver la non convergence uni- forme.

Théorème 16.2 Si(fn)_n∈Nest suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction f sur I, alors pour toute suite (x_n)_n∈N de points de I, la suite (f_n(x_n)−f(x_n))_n∈N converge vers 0.

Démonstration. Résulte des inégalités :

|f_n(x_n)−f(x_n)| ≤sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|

valables pour tout n.

Pour montrer la non convergence uniforme, il suffit donc de trouver une suite (x_n)_n∈N de points de I telle que la suite (f_n(x_n)−f(x_n))_n∈N ne converge pas vers 0 (en supposant bien sur que la convergence simple vers f a été prouvée).

Si la suite (x_n)_n∈N converge vers x,avec :

|f_n(x_n)−f(x)| ≤ |f_n(x_n)−f(x_n)|+|f(x_n)−f(x)|

on aura lim

n→+∞f_n(x_n) =f(x)si la convergence est uniforme avec f continue.

Exercice 16.2 On définit la suite de fonctions (f_n)_n∈N∗ sur R par :

∀n∈N^∗, ∀x∈R, f_n(x) =nsin

³x n

´ .

1. La suite (f_n)_n∈N∗ converge-t-elle simplement sur R, et si oui, vers quelle fonction ? 2. La convergence de la suite (fn)_n∈N∗ est-t-elle uniforme sur R?

3. La convergence de la suite (f_n)_n∈N∗ est-t-elle uniforme sur [−1,1]?

Solution 16.2

1. Pour x = 0, on a fn(0) = 0 pour tout n ∈N^∗ et la suite réelle (fn(0))_n∈N∗ est constante égale à 0.

Pour x6= 0, on a f_n(x) =nsin

³x n

´

+∞v x et la suite réelle (f_n(x))_n∈N∗ converge vers x.

En définitive, la suite de fonctions (fn)_n∈N∗ converge simplement sur R vers la fonction f :x7→x.

2. Pour tout n ∈N^∗, la fonction g_n définie sur R par : gn(x) =fn(x)−f(x) = nsin

³x n

´

−x est impaire et dérivable de dérivée g_n⁰ (x) = cos

³x n

´

−1≤0, cette dérivée s’annulant aux points x_n,k = 2nkπ où k ∈ Z avec g_n(x_n,k) = 2nkπ. On a donc sup

x∈[−2nkπ,2nkπ]

|g_n(x)| = 2n|k|π pour tout k ∈Z et sup

x∈R

|g_n(x)|= +∞.

La convergence n’est donc pas uniforme sur R.

3. Sur [−1,1], pour n∈N^∗ la fonction g_n est décroissante et sup

x∈[−1,1]

|g_n(x)|=|g_n(1)| →

n→+∞

0. La convergence est donc uniforme.

Exercice 16.3 Soit k un entier positif ou nul et (f_n)_n∈N∗ définie par f_n(x) = x^k x²+n. 1. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t’elle uniformément sur R?

2. Pour quelles valeurs dek cette suite converge–t’elle uniformément sur toute partie bornée R?

Solution 16.3

1. Pour tout réelx,on a lim

n→+∞f_n(x) = 0,donc(f_n)_n∈Nconverge simplement vers la fonction nulle.

Pour k = 0, et x dans R, on a 0 ≤ fn(x) = 1

x²+n ≤ 1

n et la suite (fn)_n∈N converge uniformément vers 0 sur R et sur toute partie bornée R.

Pour tout entier strictement positif k, on a f_n⁰ (x) = x^k−1

(x²+n)² ((k−2)x²+kn) et

sup

x∈R

|f_n(x)|=







 1 2√

n si k = 1, 1 si k = 2, +∞ si k >2.

On déduit donc que la suite(f_n)_n∈N converge uniformément vers0sur Runiquement pour k = 0 et k= 1.

2. Soit a >0. Pour tout x∈[−a, a], on a :

|f_n(x)| ≤



 1 2√

n si k = 1,

|f_n(a)| sik ≥2.

On en déduit alors que la suite (fn)_n∈N converge uniformément vers 0 sur tout partie borné R pour tout entier positif ou nul k.

Convergence simple et convergence uniforme 369 Exercice 16.4 Soitα >0et(f_n)_n∈N la suite de fonctions définie surR⁺par f_n(x) =n^αxe^−nx. 1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette suite converge uniformément

sur R⁺.

2. Étudier la convergence uniforme sur tout intervalle [a,+∞[ avec a >0.

Solution 16.4 La fonction f_n est dérivable avec :

f_n⁰ (x) = n^αe^−nx(1−nx) f_n(0) = 0, lim

n→+∞f_n(x) = 0 et f à valeurs positives.

1. Pour n≥1,la suite (f_n)_n∈N converge simplement sur R⁺ vers la fonction nulle pour tout α >0.

Avec sup

x∈R

|f_n| = f_n µ1

n

¶

= n^α−1

e pour n ≥ 1, on déduit que la convergence est uniforme sur R⁺ si et seulement si α∈]0,1[.

2. Pour touta >0,il existe un entiern_a tel que 1

n < apour toutn ≥n_a et sup

x∈[a,+∞[

|f_n(x)|= f_n(a). On en déduit que la suite (f_n)_n∈N converge uniformément sur tout intervalle [a,+∞[ avec a >0.

Exercice 16.5 Soit f une fonction continue de [0,1] dans R telle que f(1) = 0. Montrer que la suite de fonctions (f_n)_n∈N définie sur I = [0,1] par f_n(x) =xⁿf(x) converge uniformément vers 0 sur I.

Solution 16.5 Laissée au lecteur.

Exercice 16.6 On désigne par (fn)_n∈N la suite de fonctions définies sur R⁺ par :

∀n ∈N, ∀x∈R⁺, f_n(x) =nxsin (x)e^−nx.

1. Montrer que cette suite converge simplement sur R⁺ vers la fonction nulle.

2. Montrer que la fonction ϕ:t 7→ϕ(t) = te^−t est décroissante sur [1,+∞[. 3. Montrer que la convergence de la suite(fn)_n∈Nvers0est uniforme sur l’intervalle

hπ 2,+∞

h . 4. On se propose maintenant de montrer que la convergence de la suite (fn)_n∈N vers 0 est

encore uniforme sur l’intervalle h

0,π 2 i

.

(a) Calculer, pour tout n ≥1, la dérivée de la fonction f_n. (b) Montrer que :

∀x∈

¸ 0,1

n

¸

, f_n⁰ (x)>0.

(c) Montrer que, sur l’intervalle

¸1 n,π

2

¸

, f_n⁰ s’annule en un unique point x_n ∈

¸1 n,π

2

· . (d) En déduire les variations de fn sur l’intervalle

h 0,π

2 i

.

(e) Montrer que la suite (fn)_n∈N converge uniformément vers 0 sur h

0,π 2 i

et sur R⁺. Solution 16.6

1. Pour x= 0, on a f_n(0) = 0 pour tout n∈N et lim

n→+∞f_n(0) =f(0) = 0.

Pour x >0, on a |f_n(x)| ≤x n

e^nx avec lim

n→+∞

n

e^nx = 0 et donc lim

n→+∞f_n(x) =f(x) = 0.

2. La fonction ϕ est indéfiniment dérivable sur R et pour tout t≥1, on a : ϕ⁰(t) =e^−t(1−t)≤0.

Cette fonction est donc décroissante sur [1,+∞[. 3. Pour tout n ≥1 et x≥ π

2, on a :

|f_n(x)| ≤nxe^−nx=ϕ(nx)≤ϕ(n) = n eⁿ puisque nx ≥ n ≥ 1 et ϕ est décroissante sur [1,+∞[. Comme lim

n→+∞

n

eⁿ = 0, on déduit que (f_n)_n∈N converge uniformément vers 0 sur hπ

2,+∞h . 4.

(a) On a :

f_n⁰ (x) =ne^−nx(−nxsin (x) + sin (x) +xcos (x))

=ne^−nx((1−nx) sin (x) +xcos (x)).

(b) Pourx∈

¸ 0,1

n

¸

,les quantités(1−nx),sin (x), x,cos (x)etne^−nxsont strictement positives, donc f_n⁰ (x)>0.

(c) Pour x∈

¸1 n,π

2

·

, on a :

f_n⁰ (x) =ne^−nxcos (x) (1−nx) µ

tan (x)− x nx−1

¶

avec ne^−nxcos (x) (1−nx)<0. Le signe de f_n⁰ (x) sur

¸1 n,π

2

·

dépend donc de celui de g_n(x) = tan (x)− x

nx−1. Avec g⁰_n(x) = 1

cos²(x) + 1

(nx−1)² > 0, on déduit que g_n est strictement croissante et avec lim

x→_n¹⁺

g_n(x) =−∞, lim

x→^π₂⁻g_n(x) = +∞, on déduit que, sur

¸1 n,π

2

·

, gn s’annule en un unique point xn et on a gn(x)< 0 pour x∈

¸1 n, x_n

·

, g_n(x)>0 pour x∈ i

x_n,π 2 h

. Tenant compte de : f_n⁰

³π 2

´

=ne^−nπ2

³

1−nπ 2

´

<0,

on déduit que sur

¸1 n,π

2

¸

, f_n⁰ s’annule uniquement en x_n avec f_n⁰ (x) > 0 pour x∈

¸1 n, x_n

·

et f_n⁰ (x)<0 pour x∈i x_n,π

2 i

.

Le critère de Cauchy uniforme 371 (d) De l’étude précédente, on déduit quef_n est strictement croissante sur[0, x_n]et stric-

tement décroissante sur h

x_n,π 2 i

avec f_n(0) = 0 et f_n

³π 2

´

= nπ

2e^−nπ2 > 0. On a donc :

sup

x∈[^0,π2]

|fn(x)|=fn(xn).

(e) Avec f_n⁰ µ1

n

¶

>0 et : f_n⁰

µ2 n

¶

=−ne⁻²cos µ2

n

¶ µ tan

µ2 n

¶

− 1 n

¶

<0 (on a tan (x)> x pour tout x∈

i 0,π

2 h

), on déduit que x_n∈

¸1 n,2

n

· et 0< f_n(x_n)≤2 sin

µ2 n

¶

n→+∞→ 0.

D’où la convergence uniforme de (f_n)_n∈N sur h

0,π 2 i

. Avec sup

R⁺

|f_n|= max



sup [^0,π2]

|f_n|, sup [^π2,+∞[

|f_n|



, on en déduit la convergence uniforme de (f_n)_n∈N sur R⁺.

16.2 Le critère de Cauchy uniforme

On rappelle qu’une suite réelle ou complexe est convergente si, et seulement si, elle vérifie le critère de Cauchy. Pour ce qui est de la convergence uniforme, on donne la définition suivante.

Définition 16.3 On dit que la suite de fonctions (f_n)_n∈Nvérifie le critère de Cauchy uniforme sur I si :

(∀ε >0, ∃n_ε ∈N)| ∀n≥n_ε, ∀m≥n_ε, ∀x∈I, |f_n(x)−f_m(x)|< ε

Dire que (f_n)_n∈N vérifie le critère de Cauchy uniforme sur I revient encore à dire que : (∀ε >0, ∃n_ε∈N)| ∀n≥n_ε, ∀m≥n_ε, sup

x∈I

|f_n(x)−f_m(x)|< ε

Théorème 16.3 La suite de fonctions(fn)_n∈N est uniformément convergente surI si, et seule- ment si, elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur I.

Démonstration. La condition nécessaire se déduit de : sup

x∈I|fn(x)−fm(x)| ≤sup

x∈I|fn(x)−f(x)|+ sup

x∈I|f(x)−fm(x)|

où f est la limite uniforme de (f_n)_n∈N.

Réciproquement, supposons que (f_n)_n∈N soit uniformément de Cauchy sur I.Pour tout réel ε >0, il existe un entiern_ε tel que :

∀n ≥n_ε,∀m ≥n_ε,∀x∈I, |f_n(x)−f_m(x)|< ε. (16.1) Pour x fixé dans I, la suite (f_n(x))_n∈N est alors de Cauchy dans R ou C, elle converge donc vers un scalaire f(x). En faisant tendre m vers l’infini dans (16.1), on déduit que :

∀x∈I, ∀n≥n_ε, |f_n(x)−f(x)|< ε, c’est-à-dire que la suite (f_n)_n∈N converge uniformément vers f sur I.

16.3 Propriétés des fonctions stables par convergence uni- forme

La notion de convergence uniforme est intéressante relativement à la continuité et l’intégra- tion de Riemann, pour ce qui est de la dérivation il faut être un peu plus prudent.

Théorème 16.4 Si (f_n)_n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalle I, alors la limite f est continue sur cet intervalle.

Démonstration. Soit ε un réel strictement positif. On peut trouver un entier n tel que :

∀x∈I, |f_n(x)−f(x)|< ε.

Avec la continuité de f_n en x₀ ∈I, on peut trouver un réel η_n >0 tel que :

∀x∈]x₀−η_n, x₀+η_n[∩I, |f_n(x)−f_n(x₀)|< ε et en conséquence, pour x∈]x0−ηn, x0+ηn[∩I, on a :

|f(x)−f(x0)| ≤ |f(x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(x0)|+|fn(x0)−f(x0)|

<3ε

ce qui prouve la continuité de f en x0, le point x0 étant quelconque dans I. La fonction f est donc continue sur I.

Remarque 16.3 On a en fait montré que si(fn)_n∈N est suite de fonctions continues en x0 ∈I qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalleI, alors f est continue en x₀. Remarque 16.4 Ce résultat peut être utilisé pour justifier une non convergence uniforme. Si (f_n)_n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f non continue sur I, alors la convergence ne peut être uniforme.

Exemple 16.3 La suite (f_n)_n∈N définie sur I = [0,1] par f_n(x) =xⁿ qui converge simplement vers f définie par f(x) = 0 pour 0≤ x <1 et f(1) = 1 ne peut converger uniformément vers cette fonction sur I.

L’uniforme continuité est aussi conservée par convergence uniforme.

Théorème 16.5 Si (f_n)_n∈N est suite de fonctions uniformément continues qui converge uni- formément vers une fonction f sur l’intervalle I, alors la limite f est uniformément continue sur cet intervalle.

Démonstration. Soit ε un réel strictement positif. On peut trouver un entier n tel que :

∀x∈I, |fn(x)−f(x)|< ε.

Avec l’uniforme continuité de fn sur I, on peut trouver un réelηn >0 tel que :

¡(x, y)∈I² et |x−y|< η_n¢

⇒ |f_n(x)−f_n(y)|< ε et en conséquence, pour (x, y)∈I² tel que |x−y|< η_n, on a :

|f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)−f_n(y)|+|f_n(y)−f(y)|

<3ε ce qui prouve l’uniforme continuité de f sur I.

Le théorème qui suit nous donne un exemple de situation où la convergence simple d’une suite de fonctions continues vers une fonction continue entraîne la convergence uniforme.

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme 373 Théorème 16.6 (Dini) Si (f_n)_n∈N est une suite croissante de fonctions continues du segment I = [a, b] (ou plus généralement d’un compact I de R) dans R qui converge simplement vers une fonction f continue sur I, alors la convergence est uniforme.

Démonstration. Pour toutx∈I,la suite (fn(x))_n∈N converge en croissant vers f(x). On a donc f(x)−f_n(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I et tout n ∈ N. De la continuité des f_n, on déduit que :

∀n ∈N, ∃xn ∈I |sup

x∈I |fn(x)−f(x)|=f(xn)−fn(xn) et pour tout n ∈N:

sup

x∈I

|f_n+1(x)−f(x)|=f(x_n+1)−f_n+1(x_n+1)

≤f(x_n+1)−f_n(x_n+1)≤sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|,

c’est-à-dire que la suite µ

sup

x∈I

|f_n(x)−f(x)|

¶

n∈N

est décroissante et minorée. Elle converge donc vers un réel λ≥0. Il s’agit alors de montrer queλ = 0.

Dans le compact I, on peut extraire de la suite (x_n)_n∈N une sous suite ¡ x_ϕ(n)¢

n∈N qui converge vers x∈I. Soit pun entier positif. La fonction ϕétant strictement croissante de Ndans N, on peut trouver un entier np tel que ϕ(n)≥ppour tout n≥np. On a alors pour toutn ≥np :

0≤λ≤sup

x∈I

¯¯f_ϕ(n)(x)−f(x)¯

¯=f¡ x_ϕ(n)¢

−f_ϕ(n)¡ x_ϕ(n)¢

≤f¡ xϕ(n)

¢−fp

¡xϕ(n)

¢.

En faisant tendre n vers l’infini (à pfixé) et en utilisant la continuité de f, on déduit que :

∀p∈N, 0≤λ≤f(x)−f_p(x).

Enfin, en faisant tendre pvers l’infini, en utilisant la convergence de (f_n(x))_n∈N vers f(x), on déduit que λ= 0.

Remarque 16.5 Le résultat précédent n’est pas vrai si on ne suppose plus I compact. Par exemple, la suite (f_n)_n∈N définie sur ]0,1[ par f_n(x) = −1

1 +nx converge en croissant vers la fonction nulle et la convergence n’est pas uniforme sur ]0,1[ puisque f_n

µ1 n

¶

= −1 2 .

Pour ce qui est de l’intégration des fonctions continues, on déduit du théorème précédent le résultat suivant.

Théorème 16.7 Si (f_n)_n∈N est suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l’intervalle I, on a alors pour tout segment [a, b]⊂I :

Z _b

a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z _b

a

fn(x)dx.

Démonstration.Le théorème précédent nous dit quef est continue, elle est donc intégrable sur [a, b] et avec :

¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x)dx− Z _b

a

f_n(x)dx

¯¯

¯¯=

¯¯

¯¯ Z _b

a

(f(x)−f_n(x))dx

¯¯

¯¯

≤ Z _b

a

(f(x)−f_n(x))dx

≤(b−a) sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f(x)|

on a le résultat annoncé.

Exercice 16.7 Montrer que la suite de fonctions définie sur R par f_n(x) = cos (nx) n’admet aucune sous suite uniformément convergente sur R.

Solution 16.7 Supposons que l’on puisse extraire une sous suite ¡ f_ϕ(n)¢

n∈N qui converge uni- formément sur Rvers une fonction f. La fonction f est alors continue et pour tous réels a < b, on a :

Z _b

a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z _b

a

fϕ(n)(x)dx = lim

n→+∞

1

ϕ(n)[sin (ϕ(n)b)−sin (ϕ(n)a)] = 0 et f est nécessairement la fonction nulle, ce qui est en contradiction avec sup

x∈R

¯¯f_ϕ(n)¯

¯ = 1 (ou avec f(0) = lim

n→+∞fϕ(n)(0) = 1).

En fait le théorème précédent est encore valable dans le cadre de l’intégrale de Riemann. Le point délicat dans la démonstration est la preuve de l’intégrabilité au sens de Riemann de la fonction f.

On rappelle qu’une fonction f est Riemann intégrable sur [a, b] si, et seulement si, elle est bornée et pour tout réel ε > 0 on peut trouver deux fonctions en escaliers g, h telles que g ≤f ≤h et

Z _b

a

(h(x)−g(x))dx < ε.

Théorème 16.8 Si(f_n)_n∈N est suite de fonctions Riemann-intégrables qui converge uniformé- ment vers f sur I = [a, b], alors la fonction f est Riemann intégrable sur I et on a :

Z _b

a

f(x)dx= lim

n→+∞

Z _b

a

f_n(x)dx.

Démonstration. Soit ε un réel strictement positif. On peut trouver un entier n tel que :

∀x∈I, |f(x)−f_n(x)|< ε.

Commef_nest Riemann intégrable sur[a, b],elle est bornée et il existe deux fonctions en escaliers g_n, h_ntelles queg_n≤f_n≤h_net

Z _b

a

(h_n(x)−g_n(x))dx < ε.Avecf_n(x)−ε < f (x)< ε+f_n(x), on déduit que f est bornée sur I et en désignant parg, h les fonctions en escaliers définies par g =g_n−ε, h=h_n+ε,on a g ≤f ≤h avec :

Z _b

a

(h(x)−g(x))dx= Z _b

a

(h_n(x)−g_n(x))dx+ 2ε(b−a)<(1 + 2 (b−a))ε

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme 375 ce qui prouve que f est Riemann intégrable sur I.

Puis avec :

¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x)dx− Z _b

a

f_n(x)dx

¯¯

¯¯=

¯¯

¯¯ Z _b

a

(f(x)−f_n(x))dx

¯¯

¯¯

≤ Z _b

a

(f(x)−f_n(x))dx

≤(b−a) sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f(x)|

on a le résultat annoncé.

Remarque 16.6 Le théorème précédent n’est pas vrai dans le cadre des intégrales généralisées.

Par exemple la suite (f_n)_n∈N∗ définie sur R⁺ par f_n(x) = 1

n sur [0, n] et f_n(x) = 0 pour x > n converge uniformément sur R⁺ vers f = 0 et la suite

µZ _+∞

0

f_n(x)dx

¶

n∈N^∗

qui est constante égale à 1 ne converge pas vers 0.

Au chapitre suivant nous montrerons un théorème de convergence dominé pour les suites de fonctions continues par morceaux sur un intervalle. Avec ce théorème on dispose de conditions suffisantes permettant de justifier l’égalité :

n→+∞lim Z _+∞

0

f_n(x)dx= Z _+∞

0

µ

n→+∞lim f_n(x)

¶ dx

On déduit du théorème précédent le résultat suivant relatif aux primitives des fonctions continues.

Théorème 16.9 Si(f_n)_n∈N est suite de fonctions Riemann-intégrables sur I qui converge uni- formément vers une fonction f sur I, alors la suite de fonctions (F_n)_n∈N définie sur I par F_n(x) =

Z _x

x0

f_n(t)dt, où x₀ est donné dans I, converge simplement sur I vers la fonction F définie sur I par F (x) =

Z _x

x0

f(t)dt et la convergence est uniforme sur tout segment [a, b]⊂I.

Démonstration. Pour la convergence simple de (Fn)_n∈N, on utilise le théorème précédent et la convergence uniforme sur [a, b]se déduit de :

∀x∈[a, b], |F_n(x)−F (x)| ≤(β−α) sup

t∈[α,β]

|f_n(t)−f(t)|

où [α, β]contient x₀, a, b.

La dérivabilité n’est pas stable par convergence uniforme. Nous verrons plus loin qu’une fonction continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de polynômes qui sont des fonctions indéfiniment dérivables et il existe des fonctions continues non dérivables. Il existe même des fonctions continues nulle part dérivables.

Exercice 16.8 Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions définie par f_n(x) =

r

x²+ 1

n² et g_n(x) =f_n⁰ (x). Solution 16.8

1. Pour tout réel x, on a :

n→+∞lim f_n(x) = lim

n→+∞

r

x²+ 1 n² =√

x² =|x|

La suite (f_n)_n∈N converge donc simplement sur R vers la fonction f :x7→ |x|. 2. Pour tout entier n ≥1 et tout réel x, on a :

|f_n(x)−f(x)|= r

x²+ 1 n² −√

x²

= 1 n²

q 1

x²+ _n¹2 +√ x²

et avec : r

x²+ 1 n² +√

x² ≥ r

x²+ 1 n² ≥ 1

n, on déduit que :

|f_n(x)−f(x)| ≤ 1 n et (f_n)_n∈N converge uniformément vers f sur R.

3. Pour tout entier n ≥1 et tout réel x, on a : gn(x) = x

r

x²+ 1 n² et :

n→+∞lim g_n(x) = g(x) =

( 0 si x= 0 x

|x| = sgn (x) si x6= 0.

Les fonctionsgn étant continues surR,la convergence n’est pas uniforme puisque la limite g n’est pas continue en 0.

On peut aussi vérifier ce résultat en évaluant sup

x∈R

|g_n(x)−g(x)|. Pour x6= 0 et n≥1, on a :

|g_n(x)−g(x)|=

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ r x

x²+ 1 n²

− x

|x|

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=|x|

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ r 1

x²+ 1 n²

− 1

√x²

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=|x|

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

√x² − r

x²+ 1 n²

√x² r

x²+ 1 n²

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

= 1 n²

r 1

x²+ 1 n²

Ã√ x²+

r

x²+ 1 n²

!

Avec : r

x²+ 1 n²

Ã√ x²+

r

x²+ 1 n²

!

≥ 1 n²

Propriétés des fonctions stables par convergence uniforme 377 on déduit que |g_n(x)−g(x)| ≤1. Puis avec |g_n(0)−g(0)|= 0 et :

x→0lim|g_n(x)−g(x)|= 1 on déduit que sup

x∈R

|g_n(x)−g(x)|= 1 et (g_n)_n∈N ne converge pas uniformément vers g sur R.

On dispose quand même du résultat suivant conséquence du critère de Cauchy uniforme et du théorème des accroissements finis.

Théorème 16.10 Soit(f_n)_n∈Nune suite de fonctions dérivables surI telle que la suite(f_n⁰)_n∈N converge uniformément sur I vers une fonction g. S’il existe un point x₀ ∈ I tel que la suite (f_n(x₀))_n∈N soit convergente alors la suite (f_n)_n∈N converge simplement vers une fonction dé- rivable f telle f⁰ =g et la convergence est uniforme sur tout segment [a, b]⊂I.

Démonstration.Avec le théorème des accroissements finis, on peut écrire pourn, mentiers naturels et x∈I :

|f_n(x)−f_m(x)| ≤ |(f_n−f_m) (x)−(f_n−f_m) (x₀)|+|f_n(x₀)−f_m(x₀)|

≤sup

t∈I

|f_n⁰ (t)−f_m⁰ (t)| |x−x₀|+|f_n(x₀)−f_m(x₀)|, Il en résulte que pour [a, b]⊂I et[α, β] contenant [a, b] etx₀ on a :

sup

x∈[α,β]

|f_n(x)−f_m(x)| ≤(β−α) sup

t∈I |f_n⁰ (t)−f_m⁰ (t)|+|f_n(x₀)−f_m(x₀)|,

ce qui permet de conclure que la suite (f_n)_n∈N vérifie le critère de Cauchy uniforme sur [α, β]

et donc qu’elle converge uniformément vers une fonction f sur cet intervalle et sur [a, b]. On définit ainsi une fonction f sur I limite simple de(f_n)_n∈N.

Pour x6=y dans [a, b] etn ∈Non peut écrire :

¯¯

¯¯f(x)−f(y)

x−y −g(x)

¯¯

¯¯≤

¯¯

¯¯f(x)−f(y)

x−y − fn(x)−fn(y) x−y

¯¯

¯¯

+

¯¯

¯¯fn(x)−fn(y)

x−y −f_n⁰ (x)

¯¯

¯¯

+|f_n⁰ (x)−g(x)|. avec :

|f(x)−f(y)−(f_n(x)−f_n(y))|= lim

m→+∞|(f_m−f_n) (x)−(f_m−f_n) (y)|

≤ lim

m→+∞ sup

t∈[a,b]

|f_m⁰ (t)−f_n⁰ (t)| |x−y|

≤ sup

t∈[a,b]

|g(t)−f_n⁰ (t)| |x−y|

et :

|f_n⁰ (x)−g(x)| ≤ sup

t∈[a,b]

|g(t)−f_n⁰ (t)|, ce qui donne :

¯¯

¯¯f(x)−f(y)

x−y −g(x)

¯¯

¯¯≤2 sup

t∈[a,b]

|g(t)−f_n⁰ (t)|+

¯¯

¯¯f_n(x)−f_n(y)

x−y −f_n⁰ (x)

¯¯

¯¯.

Pourε >0donné, on peut trouver un entierntel que sup

t∈[a,b]

|g(t)−f_n⁰ (t)|< εet pour cet entier, par définition du nombre dérivé, on peut trouver un réel η > 0 tel que pour x 6= y dans [a, b]

vérifiant|x−y|< ηon ait

¯¯

¯¯f_n(x)−f_n(y)

x−y −f_n⁰ (x)

¯¯

¯¯< ε.On a donc

¯¯

¯¯f(x)−f(y)

x−y −g(x)

¯¯

¯¯≤3ε pour x 6= y dans [a, b] tels que |x−y| < η, ce qui signifie que f est dérivable en x avec f⁰(x) =g(x).

16.4 Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment

Le fait qu’une fonction continue sur un segment y est en fait uniformément continue nous donne la possibilité de construire des suites de fonctions élémentaires (en escaliers, affines par morceaux ou polynomiales) qui convergent uniformément vers cette fonction.

16.4.1 Approximation uniforme par des fonctions en escaliers

Théorème 16.11 Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers.

Démonstration. Pour tout entier n≥1 on définit une subdivision de[a, b] en notant : x_k =a+kb−a

n (0≤k ≤n)

et à cette subdivision on associe la fonction en escaliers f_n définie par f_n(a) =f(a)et pour k compris entre 0 etn−1:

∀x∈]x_k, x_k+1], f_n(x) =f(x_k)

La fonction f qui est continue sur le compact [a, b] y est uniformément continue, donc pour ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 tel que si x, y dans [a, b] sont tels que |x−y| ≤ η alors |f(x)−f(y)| < ε. Pour tout entier n ≥ b−a

η et tout entier k compris entre 0 et n−1 on a alors xk+1−xk = b−a

n ≤ η. Sachant qu’un réel x ∈ [a, b] est dans l’un des intervalles [x_k, x_k+1], on obtient pour n≥ b−a

η :

|f(x)−f_n(x)|=|f(x)−f(x_k)| ≤ε ce qui prouve la convergence uniforme sur [a, b] de(fn)_n≥1 vers f.

Ce théorème peut être utilisé pour montrer qu’une fonction continue sur un segment y est Riemann intégrable.

Théorème 16.12 Toute fonction f continue sur un segment [a, b] est Riemann intégrable.

Démonstration. On sait déjà qu’une fonction continue sur[a, b] est bornée.

En reprenant la démonstration précédente, on peut trouver pour ε > 0 une fonction en escaliers f_n telle que g = f_n −ε < f < f_n+ε = h, les fonctions g, h étant en escaliers avec Z _b

a

(h(x)−g(x))dx= 2ε. Il en résulte que f est Riemann intégrable sur [a, b].

De ce résultat, on déduit que toute fonction continue par morceaux sur un segment [a, b] est Riemann intégrable.

Approximation uniforme des fonctions continues sur un segment 379 Exercice 16.9 Montrer que pour toute fonctionf continue par morceaux sur un segment[a, b], on a :

n→+∞lim Z _b

a

f(x) sin (nx)dx= 0 (lemme de Riemann-Lebesgue).

Démonstration. Il suffit de considérer le cas où f est continue sur [a, b].

Si(f_n)_n∈N est une suite de fonctions en escaliers sur[a, b]qui converge uniformément vers f, pour tout réel ε >0, on peut trouver un entier n tel que sup

x∈[a,b]

|fn(x)−f(x)|< εet pour tout entier m ≥1,on a :

¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯≤

¯¯

¯¯ Z _b

a

(f(x)−f_n(x)) sin (mx)dx

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯ Z _b

a

f_n(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯

≤(b−a) sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f(x)|+

¯¯

¯¯ Z _b

a

f_n(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯

≤(b−a)ε+

¯¯

¯¯ Z _b

a

f_n(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯.

En désignant par x₀ = a < x₁ < · · · < x_p+1 =b une subdivision de [a, b] telle que sur chaque intervalle [x_k, x_k+1]f_n soit constante égale à y_k, on a :

Z _b

a

f_n(x) sin (mx)dx= Xp

k=0

y_k Z _xk+1

xk

sin (mx)dx

= Xp

k=0

y_k

µcos (mx_k)

m −cos (mx_k+1) m

¶

et : ¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯≤(b−a)ε+ C m oùC = 2

m Pp k=0

|y_k|.On en déduit que

¯¯

¯¯ Z _b

a

f(x) sin (mx)dx

¯¯

¯¯≤(b−a+ 1)εpourmassez grand.

De manière analogue, on a lim

n→+∞

Z _b

a

f(x) cos (nx)dx = 0 pourf continue par morceaux.

Exercice 16.10 Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a, b]. Calculer la limite suivante :

n→+∞lim Z _b

a

f(x) sin²(nx)dx

Solution 16.9 En écrivant que sin²(nx) = 1−cos (2nx)

2 , on a :

n→+∞lim Z _b

a

f(x) sin²(nx)dx= 1 2

Z _b

a

f(x)dx− lim

n→+∞

Z _b

a

f(x) cos (2nx)dx

= 1 2

Z _b

a

f(x)dx.