1
Suites et séries de fonctions
0.1. Convergence uniforme des fonction continues (*)
Soit I un intervalle ouvert de R (avec éventuellement I =R). On sup- pose qu’il existe une suite de fonctions continues (fn)n∈N définies sur I, convergeant uniformément versf surI.
(1) Montrer quef est continue surI.
(2) Soit aune extrémité de I. On suppose que limx→afn(x) =ln existe pour toutn∈N. Montrer que
x→alim lim
n→∞fn(x) = lim
n→∞lim
x→afn(x)
0.2. Etude de suites de fonctions (**)
Etudier les différents modes de convergence des suites de fonctions sui- vantes, et caractériser leur limite :
(1) fn(x) = x
n(1 +xn), sur [0,+∞[
(2) fn(x) =x2sin( 1
nx), sur R(on étudiera d’abord le prolongement des fn en 0)
(3) fn(x) =
( (1−x
n)n, six∈[0, n]
0, sinon , sur [0, a] (pour un certaina >0), puis surR+
0.3. Etude de séries de fonctions (**)
Etudier les différents modes de convergence des séries de fonctions sui- vantes, et caractériser leur limite :
(1) fn(x) = 1
x2+n2, surR (2) fn(x) = (−1)n
n+x2, surR (3) fn(x) = xne−x
n! , sur [0,+∞[ (on étudiera d’abord la convergence de la suite de fonctions, puis de la série)
(4) fn(x) =nx2e−x
√n, sur [0,+∞[
2
0.4. Etude asymptotique (***)
On pose pourx >0 :
S(x) =
∞
X
n=1
1 n+n2x
(1) Montrer queS est définie et continue sur ]0,+∞[.
(2) Donner un équivalent deS en +∞.
(3) Donner un équivalent deS en 0.
0.5. Etude asymptotique (***)
On définit pourx∈R:
S(x) =
∞
X
n=1
(−1)n x+n
(1) Etudier le domaine de définition deS, ainsi que sa continuité.
(2) Donner un développement asymptoqique deS en +∞.
