2014-2015 Notesdecoursd’Analyse Universit´edeStrasbourg L1S1

(1)

Universit´e de Strasbourg L1S1

Notes de cours d’Analyse

2014-2015

(2)

2

(3)

Table des mati` eres

1 Introduction 5

1.1 Informations . . . 5

1.2 Objectifs . . . 5

1.2.1 Objectif en termes de connaissances . . . 5

1.2.2 Objectifs en termes de comp´etences . . . 5

1.3 Syllabus . . . 5

1.3.1 Nombres complexes . . . 6

1.3.2 Suites de nombres r´eels et limites . . . 6

1.3.3 Fonctions r´eelles . . . 6

1.3.4 Fonctions continues et TVI . . . 6

1.3.5 D´erivation . . . 6

1.3.6 Int´egration . . . 7

1.3.7 Equations diff´erentielles . . . 7

1.4 Informations pratiques . . . 7

2 Nombres complexes 9 2.1 Introduction aux nombres et nombres complexes . . . 9

2.2 Op´eration sur les nombres complexes . . . 11

2.3 Forme trigonom´etrique et exponentielle d’un nombre complexe . . . 11

2.4 Racine carr´ee d’un nombre complexe . . . 12

2.5 Polynˆomes . . . 12

2.6 Fractions rationnelles . . . 13

3 Suite de nombres r´eels et limites 15 3.1 D´efinitions . . . 15

3.2 Op´erations sur les limites . . . 16

3.3 Parties deR. . . 17

4 Fonctions r´eelles 19 4.1 Notion de fonction, image, domaine. . . 19

4.2 Fonctions injectives, surjectives, bijectives . . . 19

4.3 Fonctions polynˆomiales et trigonom´etriques . . . 21

5 Fonctions continues et TVI 23 5.1 Limite en un point et continuit´e . . . 23

5.2 Op´eration sur les limites . . . 23

5.3 Théorème des valeurs intermédiaires et de Weierstrass . . . 24 3

(4)

4 TABLE DES MATI `ERES

6 D´erivation 25

6.1 D´efinition et op´erations . . . 25

6.2 Th´eor`eme de Rolle est des accroissements finis . . . 26

6.3 Formules de Taylor . . . 26

6.4 D´eveloppements limit´es . . . 27

6.5 Convexit´e . . . 27

7 Intégration 29 7.1 Définition de l’intégrale. . . 29

7.1.1 Exemple de recherche de primitives : fonctions polynˆomiales et trigonom´etriques, exponentielle . . . 30

7.1.2 Int´egration par parties et par changement de variable . . . 30

7.1.3 Intégration de fractions rationnelles : primitive des éléments simples. . 31

8 Equations diff´erentielles 33

(5)

Chapitre 1

Introduction

1.1 Informations

Ces notes de cours sont destinées à la préparation du cours de L1S1, groupe CH-03, année 2014-2015. Elles sont basées sur :

— le cours de L1 de Pierre Guillot

http://coursmathematiquesl1.wordpress.com/

— le cours ”Techniques Math´ematiques de Base” de Francis Filbet http://math.univ-lyon1.fr/~filbet/TMB/.

La stratégie de rédaction de ces notes est la suivante : respecter le syllabus ci après et re- grouper le cours sous forme de définitions/propositions/remarques. A noter que les définitions sont parfois aussi des propositions, au sens où des justifications sont nécessaires pour pouvoir

énoncer la définition en question. Les remarques sont là justement pour avertir le lecteur.

1.2 Objectifs

1.2.1 Objectif en termes de connaissances

Fonctions d’une variable réelle et leurs graphes. Continuité d’une fonction réelle et théorème des valeurs intermédiaires. Dérivabilité d’une fonction réelle et théorème des accroissements finis. Formules de Taylor et développements limités. Intégration d’une fonction réelle : intégration par parties, par changement de variable et intégration d’une fonction rationnelle. Equations différentielles ordinaires : variables séparables, équations linéaires.

1.2.2 Objectifs en termes de comp´etences

Tracer et étudier le graphe d’une fonction d’une variable réelle. Savoir dériver et intégrer fonctions d’une variable réelle. Savoir résoudre équations différentielles du premier ordre et à variables séparables. Savoir modéliser des simples phénomènes de nature chimique ou physique

`

a l’aide d’´equations diff´erentielles du premier ordre.

1.3 Syllabus

Ceci correspond à la liste des points qui doivent être traités dans le cours de Mathématiques L1.

5

(6)

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.3.1 Nombres complexes

1. Ensemble des nombres (N,Z,Q,R,C) ; repr´esentation graphique des nombres complexes, leur forme alg´ebrique

2. Op´erations sur les nombres complexes : somme, produit et inverse d’un nombre complexe.

3. Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe, exponentielle.

4. Racine carr´ee d’un nombre complexe

5. Polynômes : définition, équation algébriques de degré 1 et 2 et leur solution, théorème fondamental de l’algèbre, décomposition en facteurs irréductibles.

6. Fractions rationnelles : division de polynômes, décomposition en éléments simples.

1.3.2 Suites de nombres r´eels et limites

1. Définition d’une suite réelle, d’une suite convergente et de la limite d’une suite convergente ; définition d’une suite qui tend vers +∞ (ou−∞).

2. Limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de suites convergentes et critères de convergence : suites monotones et bornées, théorèmes des gendarmes, suites adjacentes.

Sous-suites et crit`eres de divergence par extraction de sous-suites.

3. Parties deR: maximum, supremum, minimum, infimum, adh´erence. Intervalles, demi- droites et leur notation.

1.3.3 Fonctions r´eelles

1. Notion de fonction, image, domaine. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonc- tion identit´e. Graphe de fonctions r´eelles.

2. Fonctions polynômiales. Fonctions composées. Fonctions trigonométriques.

3. Fonction réciproque. Fonctions monotones. Une fonction monotone est injective. Réciproques des fonctions trigonométriques.

1.3.4 Fonctions continues et TVI

1. Limite en un point d’une fonction d’une variable réelle à valeurs dans R : limite à gauche, limite à droite, limite. Notion de fonction continue en un point et de fonction continue sur une partie de R.

2. Continuit´e d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions continues.

3. Prolongement par continuit´e.

4. Théorème des valeurs intermédiaires, théorème de Weierstrass.

1.3.5 D´erivation

1. Dérivabilité en un point et sur une partie de Rd’une fonction d’une variable réelle à valeurs dans R.

2. La fonction dérivée. Dérivée de la somme, du produit, du quotient et de la composée de deux fonctions dérivables. Dérivée de la réciproque d’une fonction.

3. Exemples : dérivées des foncitons polynômiales et trigonométriques, dérivée de la fonction exponentielle, dérivée du logarithme.

4. Th´eor`eme de Rolle et des accroissements finis.

(7)

1.4. INFORMATIONS PRATIQUES 7 5. Dérivées d’ordre supérieur, recherche des maxima, minima, étude du graphe d’une

fonction, concavit´e et convexit´e du graphe.

6. Les formules de Taylor : Taylor-Young et Taylor-Lagrange.

7. Développements limités, leur unicité. Développement limité de la somme, du produit, du quotient et de la composée de deux fonctions.

8. Application des d´eveloppements limit´es : recherche de limites, recherche d’asymptotes.

1.3.6 Int´egration

1. Définition de l’intégrale. Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle deR est intégrable.

2. Intégrale de la somme, inégalité entre valeur absolue de l’intégrale et intégrale de la valeur absolue, relation de Chasles.

3. Notion de primitive d’une fonction. Th´eor`eme fondamental de l’analyse.

4. Exemple de recherche de primitives : fonctions polynˆomiales et trigonom´etriques, exponentielle.

5. Int´egration par parties et par changement de variable

6. Intégration de fractions rationnelles : primitive des éléments simples.

1.3.7 Equations diff´erentielles

1. Définition d’une équation différentielle. Champs de vecteurs associés à une équation différentielle, étude qualitative d’une équation différentielle par son champs de vecteurs.

2. Equations diff´erentielles homog`enes du premier ordre.

3. Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre.

4. Equations différentielles à variables séparables.

5. Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.

6. Solutions maximales, dépendance des solutions à un paramètre.

1.4 Informations pratiques

Il y aura 3 contrˆoles continus : CC1, 7 octobre 2014.

CC2, mardi 18 octobre 2014.

CC3, 8 ou 9 janvier 2015.

Rattrapage : mi-juin 2015.

Les examens sont communs `a tous les groupes.

Le groupe est CH-03.

Les cours se d´eroulent (voir ENT) Lundi 10h-12h, Physique 116.

Jeudi 8h-10h, C6Math.

Vendredi 13h-15h, 353H, ILB (Institut Le Bel).

Il y a 12 séances. Première séance, le 8 septembre 2014. Pas de cours la semaine du 20 octobre, du 27 octobre (vacances) et du 10 novembre.

Informations, cours, feuilles de TD et corrections sur moodle.

(8)

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

(9)

Chapitre 2

Nombres complexes

2.1 Introduction aux nombres et nombres complexes

Avant de d´efinir l’ensemble des nombres complexes, on d´efinit des sous-ensembles de cet ensemble.

D´efinition 1. L’ensemble des nombres naturels est not´eN.

N={0,1,2, . . .}

D´efinition 2. L’ensemble des nombres relatifs est not´eZ.

Z={0,±1,±2, . . .}

Remarque 1. 1. On aN⊂Z.

2. On aZ=N∪ −N, avec

−N={0,−1,−2. . .}={−n, n∈N} 3. On aZ=N^∗∪ −N^∗∪ {0}, avec

N^∗={1,2. . .}=N\ {0}.

Cette fois l’union est faite d’ensembles disjoints.

Remarque 2.

1. Les nombres entiers permettent de faire des additions ; les nombres relatifs permettent de faire aussi des soustractions.

2. On peut trouver une bijection entre les nombres entiers et les nombres relatifs.

D´efinition 3. L’ensemble des nombres rationnels est not´eQ.

Q={p

q, p∈Z, q ∈N^∗}.

Remarque 3.

1. Les nombres rationnels permettent de faire des additions, soustractions, multiplications et divisions.

9

(10)

10 CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES 2. L’´ecriture ^p_q n’est pas unique. Pour etre unique, on peut imposer que p etq soient premiers

entre eux et toute autre ´ecriture ^p_q⁰0 = ^p_q v´erifierap⁰=kp, q⁰ =kq, k∈N^∗. Proposition 1. Il n’existe aucun nombre rationnel `∈Q tel que `² = 2.

Définition 4. L’ensemble des nombres réels est noté R.

R={a₀+

∞

X

i=1

a_i10⁻ⁱ, a₀ ∈Z, a_i∈ {0,1, . . . ,9}, i∈N^∗}

On note n.a₁a₂a₃. . . (ou n, a₁a₂a₃. . .).

Remarque 4.

0. La construction ab initio de R est complexe ; ici on part sur la notion de suite/s´erie qui sera red´efini par la suite. . .

1. L’écriture n’est pas unique : 0.999· · ·= 1 (où les9 sont répétés à l’infini :a_i= 9, i∈N^∗).

2. On peut se ramener à une écriture unique si on enlève les écritures avec des9qui se répètent

`a l’infini (il existe i0 ≥1 tel que ai= 9 pouri≥i0).

3. Il existe `∈R^+∗ (nombre r´eel strictement positif ) tel que `²= 2. On note `=√ 2.

4. On a choisi la base10ici ; on aurait pu choisir une autre base (entier strictement plus grand que1).

Définition 5. On définit i l’unité imaginaire tel que i² = −1. L’ensemble des nombres complexes est noté C.

C={a+ib, a∈R, b∈R}.

Remarque 5.

0. On suppose que i existe. Il peut être construit/identifié comme élément (0,1) ∈ R², où l’espace R² est muni d’une opération d’addition et de multiplication.

1. On peut faire des additions, soustractions, multiplications, divisions.

2. On peut trouver des solutions aux ´equations du second degr´e.

Définition 6. (Forme algébrique d’un nombre complexe et représentation graphique) Siz=a+ibest un nombre complexe,a=Re(z)est la partie réelle dezetb=Im(z) est la partie imaginaire. On peut représenter le nombrez comme le pointM = (a, b) dans un repère orthonormé. On écrit M(z) pour ce point. Le conjugué de z estz¯=a−ib.

Remarque 6. 1. On a au final N ⊂Z⊂ Q⊂R ⊂C. Par exemple z = 1 = 1 + 0i est un entier naturel, mais aussi un nombre complexe.

2. Grâce a la représentation graphique, on a une interprétation géométrique des nombres complexes. Par exemple, la symétrie par rapport à l’axe horizontal se traduit par l’application z→z.¯

(11)

2.2. OP ´ERATION SUR LES NOMBRES COMPLEXES 11

2.2 Op´ eration sur les nombres complexes

D´efinition 7. On d´efinit la somme de 2 nombres complexes z₁ =a₁+ib₁ et z₂ =a₂+ib₂, par

z1+z2= (a1+b1) +i(a2+b2) De mˆeme pour la soustraction.

D´efinition 8. On d´efinit le produit

z1z2= (a1a2−b1b2) +i(a1b2+b1a2)

Définition 9. On définit l’inverse, pour z=a+ib6= 0 (c’est-à dire a6= 0 et b6= 0) 1

z = a

a²+b² − b a²+b²i

Remarque 7. 1. On fait les op´erations habituelles que l’on ferait sur R, en rempla¸cant i² par −1.

2. On a ¹_z = _z¯^z^¯_z.

2.3 Forme trigonom´ etrique et exponentielle d’un nombre com- plexe

D´efinition 10. Le module (ou valeur absolue ou norme) d’un nombre complexe z est d´efini par

|z|=√ z¯z.

Remarque 8. 1. z¯z est un réel positif. On dit quez¯z∈R⁺. Le fait qu’il soit réel se voit puisque ce nombre est égal à son conjugué.

2. Si z=a+ib, on azz¯=a²+b².

D´efinition 11. La forme trigonom´etrique d’un nombre complexe z6= 0 est z=|z|(cos(θ) +isin(θ)).

θ=arg(z) est l’argument de z.

D´efinition 12. La forme exponentielle d’un nombre complexe z6= 0 est z=|z|exp(iθ).

Remarque 9. Pour z ∈ C^∗, on peut écrire z = |z|_|z|^z et le nombre _|z|^z est de module 1 et décrit le cercle unité, i.e. le cercle de centre 0 est de rayon 1. L’angle θ défini modulo 2π est l’angle entre l’horizontale et le point M(z).

Proposition 2. Pour θ1, θ2 ∈R, on a

exp(i(θ₁+θ₂)) = exp(iθ₁) exp(iθ₂).

Remarque 10. 1. Cette ´egalit´e reste vraie pour θ₁, θ₂ ∈C, en posant exp(z) = exp(Re(z)) exp(iIm(z)), z∈C.

2. Cette égalité s’interprète géométriquement en terme de rotation.

3. On en d´eduit la formule de Moivre

cos(nθ) +isin(nθ) = (cos(θ) +isin(theta))ⁿ, n∈Z.

(12)

12 CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

2.4 Racine carr´ ee d’un nombre complexe

Proposition 3. Soit Z un nombre complexe non nul. L’´equation z² = Z admet deux solutions. En notantZ =|Z|exp(iθ), les solutions sont

z=±p

|Z|exp(iθ/2)

Remarque 11. 1. A partir de exp((2arg(z)−θ)i) = 1, on obtientarg(z) =θ mod π et on utilise exp(iπ) =−1.

2. En particulier les solutions de z²=−1 sont z=±i.

3. On dit que z est une racine carrée de Z. Notons que dans le cas réel, on sélectionne que le nombre positif.

4. Cette formule n’est pas toujours la plus pratique pour calculer la racine carr´ee.

Proposition 4. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même module, même partie réelle et leurs parties imaginaires ont le même signe.

Remarque 12. Cette proposition permet de trouver plus facilement la racine carréez=a+ib d’un nombre complexe Z. On se ramène à résoudre le système







a²+b² =|Z|, a²−b² = Re(Z), abIm(Z)≥0.

2.5 Polynˆ omes

Définition 13. Un polynôme P ∈Cd[X]de degré ds’écrit sous la forme P =

d

X

j=0

ajX^j, aj ∈C, a_d6= 0.

Remarque 13. 1. On peut définir la somme, le produit de polynômes. Si on a 2 po- lynômes de degré≤d (éléments de C≤d[X]), alors la somme est aussi dansC≤d[X].

2. Le polynˆome nul est de degr´e −∞.

3. On noteC[X]pour tous les polynˆomes sur C C[X] ={

d

X

j=0

ajX^j, aj ∈C, d∈N}.

4. On d´efinit de mˆeme Rd[X], R≤d[X], R[X].

5. On écrit parfois P(X) par abus de notation, en référant à la fonction polynômiale.

Proposition 5. Soit une équation algébrique de degré 2 : az²+bz+c= 0, aveca6= 0. Soit δ une racine carrée de b²−4ac. les solutions sont alors

z= −b±δ 2a .

Remarque 14. 1. Il y a exactement 2 solutions si δ 6= 0 et une solution ”double” si δ = 0.

(13)

2.6. FRACTIONS RATIONNELLES 13 2. On a la factorisation

az²+bz+c=a

z− −b−δ

2a z−−b+δ 2a

.

Théorème 1. (Théorème fondamental de l’algèbre) Soit d∈N^∗. Tout polynôme P ∈ Cd[X]s’écrit sous la forme

P =a

d

Y

j=1

(X−r_j), a∈C^∗, r_j ∈C, j= 1, . . . , d.

Remarque 15. 1. Les racines (ou z´eros) rj ne sont pas forc´ement distinctes.

2. Il suffit de montrer que P admet au moins une racine dans C. 3. Ce r´esultat n’est pas valable dans R (ni Q, ni Z).

4. Les racines ne sont pas toujours faciles à trouver. En plus des formules pour le degré 1 et 2, il existe des méthodes pour le degré 3 et 4. Pour les degrés supérieurs, on a recours à des méthodes numériques pour trouver une approximation des zéros.

Proposition 6. Soit d∈N^∗ etP ∈Rd[X]. Alors il existe d1, d2 ∈N tels que d1+ 2d2 =det P =a

d1

Y

j=1

(X−r_j)

d2

Y

k=1

Q_k, a∈R^∗, r_j ∈R, j= 1, . . . , d₁

et Qk, k = 1, . . . , d2 un polynôme unitaire (le coefficient dominant vaut 1) de degré 2 qui n’admet pas de racine réelle :

Qk=X²+akX+bk, ak, bk∈R, a²_k−4bk<0.

Remarque 16. 1. La décomposition est unique, si on ne tient pas compte de l’ordre. Il s’agit de la décomposition en facteurs irréductibles pour un polynôme réel.

2. Pour la preuve, on décompose d’abord dansC; on remarque que le conjugué d’un racine est aussi racine ; on regroupe alors chaque racine non réelle avec sa racine conjuguée.

2.6 Fractions rationnelles

D´efinition 14. Une fraction rationnelleF est un quotient de2polynˆomes. Par exemple dans C, on note F ∈C(X)

F = P

Q, P, Q∈C[X], Q6= 0.

Remarque 17. 1. L’´ecriture n’est pas unique

2. On peut définir le degré d’un fraction rationnelle, comme la différence des degrés des deux polynômes :

deg(F) =deg(P)−deg(Q)

Cette définition (pour être valable) ne doit pas dépendre des représentants P et Q, et c’est bien le cas.

(14)

14 CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES Proposition 7. SoientAetB 6= 0 deux polynˆomes. On peut effectuer la division euclidienne deA par B : il existe des polynˆomes Q (quotient) et R (reste) uniques, tels que

A=BQ+R, avec deg(R)< deg(B).

Remarque 18. On effectue la division, en posant la division, comme pour les entiers.

Proposition 8. (décomposition en éléments simples dans C) Soit F = ^P_Q avec 0 ≤ deg(P)< deg(Q) une fraction rationnelle sur C. On peut alors écrire

F =

m

X

j=1 mj

X

k=1

α_j,k

(X−r_j)^k, α_j,k ∈C pour Q = Q_m

j=1(X −r_j)^m^j o`u les r_j ∈ C sont tous distincts et m_j ∈ N^∗. De plus la d´ecomposition est unique.

Remarque 19.

1. Si deg(P)≥deg(Q), on commence `a faire une division euclidienne 2. Cette d´ecomposition va permettre de faire des calculs de primitives

3. On peut toujours écrire un polynôme Q unitaire de degré≥1 sous cette forme.

4. Pour trouver la décomposition, il existe plusieurs techniques. L’une consiste à faire le change ment de variabley=x−α_j, pour unjfixé, puis de faire la division par puissances croissantes.

5. Pour un racine simple rj (αj = 1), on multiplie l’égalité par X−rj et on évalue en rj. On obtientαj,1 = _Q^P0^(r(r^jj⁾). A noter que Q⁰(rj) n’est pas nul, puisque rj est racine simple.

Proposition 9. (décomposition en éléments simples dans R) Soit F = ^P_Q ∈R(X)^∗, avec deg(P)< deg(Q) On écrit

Q=

s1

Y

j=1

(X−r_j)^m^j

s2

Y

k=1

Qⁿ_k^k,

avec lesr_j distincts, ainsi que lesQ_k qui sont des polynômes de degré2unitaires sans racines réelles, et mj, nk∈N^∗ (multiplicités). On a la décomposition

F =

s1

X

j=1 mj

X

k=1

α_j,k (X−rj)^k +

s2

X

j=1 nj

X

k=1

β_j,kX+γ_j,k

(Qj)^k , αj,k, βj,k, γj,k ∈R.

Remarque 20. On peut retrouver cette forme en passant par la décomposition dansC et en mettant ensemble les racines de Q (on dit aussi pôles deF) conjuguées.

(15)

Chapitre 3

Suite de nombres r´ eels et limites

3.1 D´ efinitions

Définition 15. Une suite réelle est une fonction u :N→R. On écrit u_n au lieu deu(n) et la suite s’écrit (u_n)n∈N.

Remarque 21. 1. On change parfois d’ensemble de départ pour raison de commodité : N^∗, Z, les entiers supérieurs à un entier fixén₀.

2. Parfois on a une expression explicite, par exemple, la suite définie parun= ¹_n, n∈N^∗. On écrit alors parfois directement(¹_n)n≥1, pour désigner cette suite.

3. Parfois, on omet l’ensemble de définition et on écrit (u_n) pour désigner la suite.

Définition 16. Soit(u_n) une suite réelle et `∈R. On dit que (u_n) converge versòu admet

` pour limite, si la condition suivante est satisfaite. Pour tout r´eel ε >0, il existe un entier N tel que

|u_n−`|< ε, n≥N_ε. On noteu_n→_n→∞ `ou limn→∞u_n=`.

Remarque 22. 1. Définition classique et universelle (avec la notation ε qui est censée signifier quelque chose de très petit ; on dit epsilonesque, pour dire que c’est très petit ; il y a aussi le epsilon machine, le nombre le plus petit tel que1+et1ne se distinguent plus sur l’ordinateur ; de l’ordre de 10⁻¹⁵ en précision double).

2. Il suffit que la condition soit vraie pour ε assez petit. En effet, si la propriété est vrai pour ε=ε₀ >0 fixé, elle va rester vraie pour ε > ε₀ en prenantN_ε=N_ε₀.

3. Si on obtient |u_n − `| < M ε, avec une constante M indépendante de ε (ou plus généralement une fonction deεqui tend vers0), cela fonctionne aussi, quitte à redéfinir ε (typiquement remplacerε par _M^ε ).

D´efinition 17. On dit que(u_n)converge vers+∞, lorsque la condition suivante est remplie.

Pour toutM >0, il existe un entier N_M tel que un> M, n≥NM.

Remarque 23. On a une d´efinition analogue pour une suite tendant vers−∞. On peut aussi consid´erer la suite(−u_n) qui elle tend vers +∞.

15

(16)

16 CHAPITRE 3. SUITE DE NOMBRES R ´EELS ET LIMITES

3.2 Op´ erations sur les limites

Proposition 10. Soient (u_n) et (v_n) deux suites. On suppose u_n →_n→∞ ` et v_n →_n→∞ `⁰. Alors on a :

1. (somme) un+vn→_n→∞ `+`⁰ 2. (produit)u_nv_n→_n→∞ ``⁰ 3. (somme) _u¹

n →n→∞ 1

`, lorsque `6= 0.

D´efinition 18. On dit qu’une suite (u_n) est croissante lorsque u_n≤u_n+1, pour tout n; on dit qu’une suite(un) est d´ecroissante lorsqueun≥un+1, pour tout n.

Remarque 24. (un) est décroissante ssi (−u_n) est croissante. On dit qu’une suite est monotone, si elle est croissante ou si elle est décroissante. On dit qu’une suite est bornée, si elle est minorée et majorée.

Définition 19. On dit que(u_n)est majorée lorsqu’il existe M ∈Rtel que u_n≤M pour tout n; on dit que (un) est minorée lorsqu’il existe m∈R tel quem≤un pour tout n;

Remarque 25. (u_n) est minor´ee ssi (−u_n) est major´ee.

Théorème 2. Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Remarque 26. Si (un) est croissante et majorée, alors (−u_n) est décroissante et minorée.

Théorème 3 (Théorème des gendarmes). Soient (un),(vn) et(wn) 3suites. On suppose que(vn) et (wn) convergent vers`∈R∪ {∞} et

vn≤un≤wn, pour tout n. Alors(un) converge vers`

Remarque 27. On peut remplacer ”pour tout n” par ”pour nassez grand”.

Définition 20. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, si l’une des suites est croissante, l’autre suite décroissante et si la différence des deux converge vers 0.

Remarque 28. On supposera implicitement que la première suite (un) est croissante et la deuxième (v_n) est décroissante.

Proposition 11.Soient(u_n)et(v_n)deux suites adjacentes. Alors ces deux suites sont convergentes et ont mˆeme limite `. De plus, on a pour toutn

u_n≤`≤v_n.

D´efinition 21. Soit(u_n) une suite. Une sous-suite de(u_n) est une suite de la forme(u_σ(n)), o`uσ :N→N est une fonction strictement croissante.

Proposition 12. Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la mˆeme limite.

D´efinition 22. On dit qu’une suite diverge (ou est divergente) si elle ne converge pas, i.e. il n’existe pas de limite`∈R telle que (un) converge vers `.

Remarque 29. Cela fournit des crit`eres de divergence :

1. Si on peut extraire de(un) une suite divergente, alors(un) diverge.

2. Si on peut extraire de (u_n) deux suites convergeant vers des limites diff´erentes, alors (un) diverge.

(17)

3.3. PARTIES DER 17

3.3 Parties de R

Proposition 13. (Inégalité triangulaire)Si aet b sont des réels, on a l’inégalité

|a+b| ≤ |a|+|b|.

Proposition 14. (Deuxième inégalité triangulaire)Siaetbsont des réels, on a l’inégalité

||a| − |b|| ≤ |a−b|

Remarque 30. Les in´egalit´es triangulaires restent valables dans C.

D´efinition 23. Soit A une partie non vide de R : A ⊂ R, A 6= ∅ (∅ est le symbole pour l’ensemble vide). SoitM ∈R. On dit que M est un majorant de A, si

∀a∈A, a≤M.

On dit queM est le plus grand ´el´ement de A, si c’est un majorant de A et si M ∈A.

Remarque 31. On obtient de même la définition de minorant et de plus petit élément (on remplace≤ par ≥).

D´efinition 24. Soit A⊂R, A6=∅. Soit

B ={M ∈R |M est un majorant de A}.

Si B possède un plus petit élément b, on dit que c’est la borne supérieure de A (supremum).

On note

b= supA.

Remarque 32. De même, si l’ensemble des minorant de A possède un plus grand élément, celui-ci est appelé la borne inférieure de A (infimum), notée infA.

Théorème 4. Soit A ⊂ R une partie non vide et majorée. Alors A possède une borne supérieure dans R.

Remarque 33. 1. De même une partie non vide minorée possède une borne inférieure.

2. Le r´esultat ne reste pas vrai si l’on remplace Rpar Q. D´efinition 25. On dit que A⊂R admet un maximumM, si

x≤M, pour tout x∈A,et M ∈A.

Remarque 34. 1. De mˆeme, on dit que A⊂R admet un minimumm, x≥m, pour tout x∈A,etm∈A.

2. Si A admet un maximumM, A admet une borne sup´erieure et supA=M. De mˆeme pour le minimum.

Définition 26. Soit A ⊂ R non vide. L’adhérence de A est notée A. C’est l’ensemble des limites de suites convergentes à valeurs dans A.

Définition 27. On définit les intervalles deR : Soienta < b 2 nombres réels.

(18)

18 CHAPITRE 3. SUITE DE NOMBRES R ´EELS ET LIMITES 1. [a, b] ={x, a≤x≤b}

2. [a, b[={x, a≤x < b}

3. ]a, b] ={x, a < x≤b}

4. ]a, b[={x, a < x < b}

5. ]− ∞, a[={x, x < a}

6. ]− ∞, a] ={x, x≤a}

7. ]a,∞[={x, x > a}

8. [a,∞[={x, x≥a}

9. ]− ∞,∞[=R

Remarque 35. 1. On rajoute l’ensemble vide et {a}= [a, a].

2. La définition générale est la suivante : un intervalle deR es tune partie convexe deR, i.e. un ensemble I de réels vérifiant

∀(x, y)∈I², x≤y⇒[x, y]⊂I.

(19)

Chapitre 4

Fonctions r´ eelles

4.1 Notion de fonction, image, domaine.

Définition 28. Une fonction, ou application, est un objetf déterminé par trois ensembles : 1. un emsemble A, appelé le domaine de définition de f, ou parfois la source de f; 2. un ensemble B, appelé le but de f;

3. un ensemble Γ, qui est une partie de A×B et que l’on appelle le graphe de f, ayant la propri´et´e suivante : pour chaque x∈A, il existe un unique y∈B tel que (x, y)∈Γ.

Ce y est not´ef(x).

Remarque 36. 1. On utilise la notation

f A→B,

pour indiquer que f est une fonction dont le domaine de d´efinition estA et dont le but est B.

2. On repr´esente souvent le concept de fonctions `a l’aide de deux tas de croix chaque tas

´

etant entouré et avec une flèche qui va de chaque croix du premier tas vers une croix du deuxième tas.

D´efinition 29. Soit f A→B une fonction. On note f(A), ou encore Im(f), l’ensemble {b∈B | ∃x∈A tel que b=f(x)}.

ou de mani`ere plus concise

{f(x), x∈A}.

On dit quef(A) est l’image de f parA.

4.2 Fonctions injectives, surjectives, bijectives

Définition 30. Soit f A → B une fonction. f est injective, si la condition suivante est vérifiée. Pour tout c Pour tout x₁ 6=x₂, on a f(x₁)6=f(x₂).

Remarque 37. 1. On dit aussi que f est une injection.

2. f est injective ssi l’´egalit´ef(x1) =f(x2) entraˆıne x1 =x2. 19

(20)

20 CHAPITRE 4. FONCTIONS R ÉELLES 3. f est injective ssi pour tout b ∈ B, l’équation f(x) = b, possède au maximum une

solution x.

4. On peut de nouveau repr´esenter/sch´ematiser la fonction avec des tas.

D´efinition 31. Soit f A→B une fonction. Lorsque f(A) =B, on dit que f est surjective, ou encore quef est une surjection.

D´efinition 32. Lorsqu’une fonction est `a la fois injective et surjective, on dit qu’elle est bijective, ou enocre que c’est une bijection.

Remarque 38. 1. Lorsque f A → B est bijective, l’équation f(x) = b possède une solution et une seule. Cette solution est notée f⁻¹(b). On obtient ainsi une fonction f⁻¹ : B→A, que l’on appelle la réciproque de f.

2. Lorsque f est bijective, f⁻¹ est aussi bijective et (f⁻¹)⁻¹=f.

D´efinition 33. On appelle fonction identit´e, la fonctionf : A→A telle quef(x) =xpour toutx∈A. On note cette fonction IdA ou Id.

Définition 34. Soient f : A→B et g : B →C deux fonctions. La composée de f et g, notéeg◦f est la fonction A→C définie par

g◦f(x) =g(f(x)), ∀x∈A.

Remarque 39. Pour une fonction f : A→B bijective, on a f◦f⁻¹ = Id_B, f⁻¹◦f = Id_A.

Proposition 15. Soit Γ le graphe d’une fonction r´eelle f. L’image de ce graphe par la sym´etrie

(x, y)→(y, x)

est une ensemble Γ⁰. Lorsque f est injective, Γ⁰ ne rencontre les droites verticales qu’en un point au plus. Γ⁰ est le le graphe d’une fonction.

Remarque 40. — Une fonction réelle est une fonction dont les ensembles de départ et d’arrivée sont contenus dansR.

— Il s’agit de la fonction f⁻¹, en définissant correctement les ensembles de départ et d’arrivée.

D´efinition 35. Une fonction f est dite croissantelorsque pour toutx ety dans son domaine de d´efinition

x≤y⇒f(x)≤f(y).

Définition 36. Une fonction f est dite décroissante lorsque pour tout x et y dans son domaine de définition

x≤y⇒f(x)≥f(y).

Remarque 41. 1. On dit que f est monotone si elle est ou bien croissante, ou bien d´ecroissante.

2. On parle de fonction strictement croissante, si x < y⇒f(x)< f(y).

Et de mˆeme pour strictement d´ecroissante et strictement monotone.

3. Une fonction strictement monotone est injective.

(21)

4.3. FONCTIONS POLYN ˆOMIALES ET TRIGONOM ´ETRIQUES 21

4.3 Fonctions polynˆ omiales et trigonom´ etriques

D´efinition 37. Une fonction polynˆomiale est une fonction de la forme

f(x) =

d

X

i=0

aixⁱ.

Remarque 42. Voir section sur les polynˆomes.

D´efinition 38. Les3 fonctions trigonom´etriques les plus connues sont sin,cos,tan = sin

cos

Remarque 43. 1. on peut donner la repr´esentation graphique

2. on peut les définir à partir de l’exponentielle complexe qui a sa définition propre

exp(z) =

∞

X

k=0

z^k k!

Proposition 16. La fonction sinus (sin) ´etablit une bijection de

[−π 2,π

2]→[−1,1].

La fonction r´eciproque est appel´ee arcsinus (Arcsin).

Proposition 17. La fonction cosinus (cos) ´etablit une bijection de [0, π]→[−1,1].

La fonction r´eciproque est appel´ee arccosinus (Arccos).

Proposition 18. La fonction tangentetan ´etablit une bijection de ]−π

2,π

2[→]− ∞,∞[.

La fonction r´eciproque est appel´ee arctangente (Arctan).

Remarque 44. La trac´e des fonctions inverses s’obtient par la sym´etrie avec l’axe y=x.

(22)

22 CHAPITRE 4. FONCTIONS R ´EELLES

(23)

Chapitre 5

Fonctions continues et TVI

5.1 Limite en un point et continuit´ e

D´efinition 39. Soit I ⊂ R et soit f :I → R une fonction. On dit que f est continue au point x₀ ∈ I lorsque, pour toute suite (u_n) qui converge vers x₀, la suite (f(u_n)) converge versf(x0). Lorsque f est continue en tout pointx0 ∈I, on dit que f est continue sur I.

Remarque 45. La lettreI est pour intervalle ; mais pour cette def., I peut être plus général.

D´efinition 40. Soient f : I → R une fonction et x₀ ∈ R∪ {±∞}. On dit que f admet ` pour limite en x0 lorsque pour toute suite (un) qui converge vers x0, avec un ∈ I, la suite (f(un))converge vers `. On note

x→xlim0

f(x) =`.

Remarque 46. 1. Limite `a gauche : u_n∈I et u_n≤x₀ 2. Limite `a droite : u_n∈I et u_n≥x₀

3. Si f admet une limite à gauche et à droite et si les limites sont les mêmes, alors f admet une limite en x₀

4. f admet une limite finie en x₀, ssi f est continue en x₀ et dans ce cas la limte est f(x0)

5. Sif est définie sur{x∈I, x6= 0x₀}et f admet une limite finie ènx₀ alors on peut prolonger la fonction f en une fonction f˜continue en x₀ : on définit f˜(x) = f(x), pour x6=x0 ∈I et f(x˜ 0) =`.

5.2 Op´ eration sur les limites

Proposition 19. La somme, le produit de deux fonctions continues en un point est continue.

Proposition 20. Soient f et g deux fonctions d´efinies sur I et continues en x₀ ∈ I. Le quotient f /g de 2 fonctions continuesf et gest continu en x0, sig(x)6= 0 pour toputx∈I.

Remarque 47. On a aussi la continuit´e pour les compos´ees de focntions.

Proposition 21. Soitf :I →Rune fonction continue enx₀∈I. On suppose quef(x₀)>0.

Alors il existe un intervalle ouvertJ =]a, b[avecx0 ∈J tel quef(x)>0 pour toutx∈J∩I.

23

(24)

24 CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES ET TVI

5.3 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires et de Weierstrass

Théorème 5. SoitI un intervalle et f :I →Rune fonction continue (surI). Soient a < b deux éléments deI. Alors siyest un nombre quelconque entref(a)etf(b), il existe au moins un nombrex tel que a≤x≤b vérifiant f(x) =y.

Remarque 48. En d’autres termes, l’image d’un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.

Proposition 22. Soit f une fonction continue d´efinie sur un intervalle compact. Alors f atteint son maximum et son minimum

Remarque 49.On utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite de réels bornée, on peut extraire uen sous-suite convergente.

(25)

Chapitre 6

D´ erivation

6.1 D´ efinition et op´ erations

Définition 41. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable au point x₀ ∈I lorsque la fonction définie par

T_x₀(x) = f(x)−f(x₀) x−x0

,

pourx6=x0 possède une limite finie enx0. Cette limite est notéef⁰(x0), le nombre dérivéen x0. La fonctionx→f⁰(x) lorsqu’elle est définie en tout point de I est appelée dérivée def. Remarque 50. 1. Tx0 est le taux d’accroissement ; interprétation graphique.

2. Si f est d´erivable en x₀, f est conitnue en x₀. 3. Exemple de fonction continue pas d´erivable.

Proposition 23. Soient f et g deux fonctions définies sur I et dérivables en x₀ ∈I. Alors la somme et le produit sont dérivables :

(f+g)⁰(x₀) =f⁰(x₀) +g⁰(x₀), (f g)⁰(x₀) =f⁰(x₀)g(x₀) +f(x₀)g⁰(x₀).

Remarque 51. Exemple :x², xⁿ.

Proposition 24. f est d´erivable en x₀ ssi il existe 2 nombres r´eels a₀ et a₁ tels que f(x0+h) =a0+a1h+hε(h),

o`u ε(h) → 0, lorsque h → 0. De plus lorsque ces nombres existent, on a a₀ = f(x₀) et a1 =f⁰(x0).

Proposition 25. Soitg :I →J une fonction dérivable enx0∈I etf :J →Rune fonction dérivable en g(x0)∈J. ALors f ◦g est dérivable en x0 et

(f◦g)⁰(x0) =f⁰(g(x0))g⁰(x0).

Remarque 52. 1. Si g : I → R est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, la fonction x→ _g(x)¹ est dérivable de dérivéex→ −_g(x)^g⁰^(x)₂.

2. La dérivée de la fonction réciproque s’obtient en écrivantf⁻¹◦f(x) =x.

25

(26)

26 CHAPITRE 6. D ÉRIVATION Proposition 26. On a les dérivées usuelles suivantes.

1. exp(x) donne exp(x) sur R. 2. sin(x) donne cos(x) sur R. 3. cos(x) donne −sin(x) sur R.

4. tan(x) donne 1 + tan²(x) sur R\ {^π₂ +kπ, k∈Z}.

5. ln(x) donne _x¹ sur ]0,∞[.

6. arcsin(x) donne ^√ ¹

1+x² sur ]−1,1[.

7. arccos(x) donne −^√ ¹

1+x² sur ]−1,1[.

8. arctan(x) donne _1+x¹ 2 sur R.

9. x^α donneαx^α−1 sur ]0,∞[, pour α∈R

6.2 Th´ eor` eme de Rolle est des accroissements finis

Proposition 27. Soit f : [a, b]→ R une fonction. On suppose qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f est d´erivable en c et tel que f atteint un extermum (maximum ou minimum) en c. Alors f⁰(c) = 0.

Théorème 6(Théorème des accroissements finis). Soitf : [a, b]→Rune fonction continue.

On suppose que f est d´erivable sur ]a, b[. Alors il existe un nombre c avec a < c < b tel que f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a .

Remarque 53. 1. Si f(a) =f(b), on parle de th´eor`eme de Rolle.

2. Si f⁰(x)≥0 pour tout x∈I,f est croissante

3. Si f⁰(x)>0 pour tout x∈I,f est strictement croissante 4. Si f⁰(x) = 0 pour tout x∈I,f est constante

5. Consid´erer −f pour le cas de fonctions d´ecroissantes.

6.3 Formules de Taylor

Théorème 7 (Taylor-Lagrange). Soit f une fonction dérivable n fois sur un intervalle I contenant 0. Alors ∀x∈I, il existe θ∈]0,1[tel que

f(x) =f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2 x²+· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

(n−1)! xⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(θx) n! xⁿ. Remarque 54. Attention, θ d´epend de x et de n.

Théorème 8(Taylor-Young). Soit f une fonction dérivablen fois sur un intervalleI contenant 0. Alors∀x∈I, on a

f(x) =f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2 x²+· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

(n−1)! xⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+xⁿ(x), o`u(x)→0 quand x→0.

Remarque 55. n−1 fois derivable sur I et nfois d´erivable en 0 est suffisant.

(27)

6.4. D ´EVELOPPEMENTS LIMIT ´ES 27

6.4 D´ eveloppements limit´ es

D´efinition 42. o(1) veut dire fonction (anonyme) qui tend vers 0.o(φ(x)) =φ(x)o(1).

Remarque 56. 1. La formule de Taylor-Young se r´e´ecrit

f(x) =f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2 x²+· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

(n−1)! xⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+o(xⁿ).

2. On ne pr´ecise pas (toujours) vers quoi x tend.

Définition 43. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe a0, . . . , an∈R tels que

f(x) =a₀+a₁x+a₂x²+. . . a_nxⁿ+o(xⁿ)

Remarque 57. Le théorème de Taylor-Young affirme que si f est dérivable n fois, alors f possède un DL à l’ordre n et ak= ^f^(k)_k!⁽⁰⁾, k= 0, . . . , n.

Proposition 28. 1. Lorsqu’un DL existe, il est unique.

2. On peut faire la somme, le produit, le quotient et la compos´ee de DL avec les restrictions habituelles.

3. Les DL permettent de calculer des limites, des asymptotes.

Proposition 29. D´eveloppements limit´es usuels.

1. exp(x) = 1 +x+^x₂² +· · ·+^x_n!ⁿ +o(xⁿ).

2. cos(x) = 1−^x₂² +^x_4!⁴ +· · ·+ (−1)^{n x}_(2n)!²ⁿ +o(x²ⁿ⁺¹) (termes pairs de l’exponentielle et on change de signe une fois sur deux)

3. sin(x) =x− ^x_3!³ + ^x_5!⁵ + (−1)ⁿ⁻¹_(2n−1)!^x²ⁿ⁻¹ +o(x²ⁿ). (pareil avec les termes impairs).

4. (1 +x)^α= 1 +αx+^α(α−1)₂ x²+· · ·+ ^α_n

xⁿ+o(xⁿ) (formule du binˆome).

5. _1−x¹ = 1 =x+x²+· · ·+xⁿ+^x_1−xⁿ⁺¹

6. ln(1 +x) = x− ^x₊²^x₃³ +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹^x_nⁿ +o(xⁿ) (en d´erivant, on doit retrouver la formule de (1 +x)⁻¹).

7. Pourarctan, arcsin, arccos, on dérive et on fait un DL de la dérivée, avec la formule (1 +x)^α.

6.5 Convexit´ e

D´efinition 44. Une fonction d’un intervalle I dans R est dite convexe lorsque pour tout x1, x2∈I et t∈[0,1]on a

f((1−t)x₁+tx₂)≤(1−t)f(x₁) +tf(x₂).

Remarque 58. 1. Segment au dessus de la courbe repr´esentative de f.

2. f concave si −f convexe.

3. D´efinition de fonction strictement convexe.

Proposition 30. Soit f une fonction d´erivable sur I.

— f est convexe ssi la courbe repr´esentative def est au-dessus de chacune de ses tangentes

(28)

28 CHAPITRE 6. D ´ERIVATION

— f est convexe ssi sa d´eriv´ee est croissante sur I.

Remarque 59. 1. Sif est deux fois dérivables, f est convexe ssi sa dérivée seconde est

`

a valeurs positives ou nulles.

2. La d´eriv´ee seconde permet souvent de trouver les minima/maxima

(29)

Chapitre 7

Int´ egration

7.1 D´ efinition de l’int´ egrale.

Définition 45. Une fonction φ sur [a, b] est dite en escalier lorsqu’il existe des nombres a₀ = a < a₁ < a₂ < · · · < a_n = b tels que φ est constante sur chaque intervalle ouvert ]a_i, a_i+1[. La famillea= (a₀, a₁, . . . , a_n) est appelée subdivision adaptée à φ.

D´efinition 46. Soit φ en escaliers eta= (a0, a1, . . . , an) une subdivision adapt´ee. Soitαi la valeur deφ sur ]a_i, a_i+1[. On pose

I(φ, a) =

n−1

X

i=0

(ai+1−ai)αi. Remarque 60.

1. Ce nombre est l’aire des rectangles d´efinis par φ.

2. Ce nombre ne d´epend que deφ et pas du choix de la subdivision a

Définition 47. Soit f une fonction quelconque, bornée sur [a, b]. On définit I⁺(f) = inf{I(ψ) ψ en escalier telle queψ≥f}, I⁻(f) = sup{I(φ) ψ en escalier telle que φ≤f}.

Lorsque I⁻(f) =I⁺(f), on dit que f est int´egrable au sens de Riemann et on note Z b

a

f

la valeur I^±(f) que l’on appelle int´egrale de f sur [a, b]. On note parfois Z b

a

f(t)dt Remarque 61.

1. La variable t est muette et peut ˆetre remplac´ee par n’importe quelle lettre.

2. SI φ≤ψ en escaliers, alorsI(φ)≤I(ψ) et donc I⁻(f)≤I⁺(f).

29

(30)

30 CHAPITRE 7. INT ´EGRATION 3. Si f est en escaleirs,Rb

af =I(f).

Proposition 31. Soit f une fonction monotone sur [a, b]. Alorsf est int´egrable.

Proposition 32. (relation de Chasles). Soit f une fonction sur [a, b]et soit x∈[a, b]. Alors f est int´egrable sur [a, b] ssi f est int´egrable sur [a, x] et sur [x, b]. De plus, on a la relation de Chasles

Z b a

f = Z x

a

f+ Z b

x

f Proposition 33. Propriétés de l’intégrale :

1. Si f et g sont int´egrables et si λ, µ∈Ralors λf+µg est int´egrable et Z

λf+µg=λ Z

f +µ Z

g 2. Si f et g sont int´egrables et f ≤g, alors

Z f ≤

Z g.

Proposition 34. Si f est int´egrable sur[a, b]alors |f|est int´egrable et

Z b a

f

≤ Z b

a

|f|.

Proposition 35. Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors f est intégrable Définition 48. Soit f intégrable sur [a, b]. On note

F(x) = Z x

a

f(t)dt.

Proposition 36. Pour toute fonctionf int´egrable sur[a, b], la fonctionF est bien d´efinie et continue.

Proposition 37. Si f est continue, F est d´erivable. De plus, on aF⁰ =f.

Théorème 9 (Théorème fondamental de l’analyse). Si f est une fonction continûment dérivable sur [a, b], alors

Z b a

f⁰ =f(b)−f(a).

Remarque 62. F est appel´ee primitive def. Un primitive def est une fonction F telle que F⁰ =f.

7.1.1 Exemple de recherche de primitives : fonctions polynˆomiales et trigonom´etriques, exponentielle

7.1.2 Int´egration par parties et par changement de variable

Proposition 38. Soituune fonction continument d´erivable sur[a, b]et supposons que l’image de [a, b]paru soit l’intervalle[u(a), u(b)]. Soitf une fonction continue sur[u(a), u(b)]. Alors

Z b a

f(u(t))u⁰(t)dt= Z u(b)

u(a)

f(x)dx

(31)

7.1. D ÉFINITION DE L’INT ÉGRALE. 31 Proposition 39. Intégration par parties :

Z b a

f⁰g= [f g]^b_a− Z

a^bf g⁰

7.1.3 Intégration de fractions rationnelles : primitive des éléments simples.

(32)

32 CHAPITRE 7. INT ´EGRATION

(33)

Chapitre 8

Equations diff´ erentielles

Définition 49. Une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre est de la forme y⁰(x) =a(x)y(x).

Proposition 40. Supposons quea est continue sur un intervalleI et quey est une solution d´efinie surI de l’´equation

y⁰(x) =a(x)y(x), x∈I.

Alors il existe une constantec telle que

y(x) =cexp(α(x)),

o`uα est une primitive de a, i. e. α⁰ =a. R´eciproquement, pour tout c cette expression donne une solution.

Définition 50. Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme y⁰(x) =a(x)y(x) +b(x).

Remarque 63. Pour résoudre cette équation différentielle, on utilise la méthode de la varia- tion des constantes. On cherche une solution sous la forme

y(x) =C(x) exp(α(x)).

Définition 51. Pour une équation différentielle du premier ordre y⁰ =f(x, y), le champ de vecteurs est formé de vecteurs dont le quotient ordonnée/abscisse est égal à f(x, y), où x et y sont les coordonnées de l’origine du vecteur.

Remarque 64. Le champs de vecteurs permet de faire une étude qualitative d’une équation différentielle.

Définition 52. Une équation diff. à variables séparées est une équation de la forme f(y(x))y⁰(x) =g(x).

Remarque 65. On ´ecrit f(y)dy=g(x)dx. En int´egrant, on obtient F(y(x)) =G(x) +C.

33

(34)

34 CHAPITRE 8. EQUATIONS DIFF ÉRENTIELLES Théorème 10(Théorème de Cauchy-Lipschitz). Sif est continue sur [a, b]et sif vérifie la condition de Lipschitz

∀x∈[a, b], ∀y, z∈C([a, b]), ∃L >0 ||f(x, y(x))−f(x, z(x))| ≤L|y(x)−z(x)|, alors le probl`eme de Cauchy

y⁰(x) =f(x, y(x)), y(a) =y₀

admet une solution et une seule sur [a, b] (et ceci pour touty₀ ∈R).

D´efinition 53. On dit qu’une solution est maximale, si elle n’admet pas de prolongement (sur un intervalle plus grand).

Proposition 41. Si la fonctionf d´epend en plus d’un param`etreλ. Si la fonction est continue et localement lipschitizienne en (y, λ). Alors l’application

(x, x₀, y₀, λ)→y(x, x₀, y₀, λ)

est continue. C’est la d´ependance de la solution par rapport aux conditions initiales et aux param`etres.