Feuille d’exercices n°3 :

ECE1-B 2015-2016

Feuille d’exercices n°3 :

Fonctions usuelles, règles de dérivation

Étude de fonctions Exercice 1. (☀)

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :

a. f :x7→√

x²−x+ 2 b. f :x7→e^xln(2x+ 3)

c. f :x7→

px(x+ 1)

x²+ 1 d. f :x7→ln(x⁵+ 1)

Exercice 2. (☀) Entraînement au calcul Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

a. f :x7→1 + ln(1 +x)

b. f :x7→ 1 +x 1 +e^x −x c. f :x7→x^1/x

d. f :x7→ln

2x− 3 x

e. f :x7→ e^2x x²−1

Exercice 3 (☀☀)

Soitf :R→Rl’application définie par : f :x7→ 2x 1 +x². a. Faire l’étude de la fonction f.

b. Soit y∈R. Déterminer le nombre d’antécédents dey parf.

Exercice 4. (☀)Étude de fonctions . . .

a. f :x7→x³−3x+ 1 b. f :x7→ 1

x²+ 1 c. f :x7→ x

x²−1

d. f :x7→3x⁴−4x³+ 6x²−72x+ 1 e. f :x7→ x

1 +e^x

f. f :x7→e^1/lnx g. f :x7→ln(e^x+e^−x) h. f :x7→x√

x

i. f :x7→ bxc+ (x− bxc)² j. f :x7→

1 +1

x x

Logarithme Exercice 5. (☀☀)

Montrer (dans cet ordre !) les propriétés suivantes.

1) ∀x∈R^+∗,ln (x)6x 2) ∀x∈R^+∗,ln (x)62√

x

Exercice 6 (☀)

a. Soit α∈R. Montrer que : ∀x∈R^+∗,ln (x^α) =αln (x).

b. Faire l’étude graphique de la fonction suivante.

f : R^∗ → R x 7→ ln (x²)

Puissances

Exercice 7. (☀☀)

Proposer deux méthodes différentes pour définir la fonction racine cinquième.

Que pouvez-vous dire des ensembles de définition des deux fonctions que vous venez de définir ?

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

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Exercice 8. (☀) Où l’on démontre que −1 = 1 . . . Commenter la démonstration suivante.

−1 = (−1)¹= (−1)²² = ((−1)²)¹² = (1)¹² = 1

Inégalité triangulaire Exercice 9. (☀☀☀)

a. Montrer que : ∀x∈R,∀y∈R,|x−y|² 6x²+ 2|xy|+y². b. À l’aide de ce résultat, démontrez l’inégalité triangulaire.

Exercice 10. (☀☀☀)

On suppose que : ∀x∈R,∀y∈R,|x−y|6|x|+|y|(inégalité triangulaire).

Montrer, dans cet ordre :

1) ∀x∈R,∀y∈R,|x+y|6|x|+|y|

2) ∀x∈R,∀y∈R,||x| − |y||6|x−y|

Partie entière Exercice 11. (☀)

a. Montrer que : ∀x∈R, dxe=−b−xc.

b. En déduire la valeur de b−xc+bxc.

Exercice 12. (☀)

Tracer la courbe représentative de la fonctionx7→x− bxc.

Quelle est cette fonction ?

Valeur absolue

Exercice 13. (☀) (valeur absolue)

Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes.

a. |x+ 1|+|x+ 2|

b. |x²−1| − |x²+ 1|+|2x²−x+ 1|

c. |2x+ 7|+ 3 7− |3x+ 2|

Exercice 14. (☀☀)

Résoudre les équations et inéquations suivantes.

a. |x+ 1|+|x+ 2|= 1

b. |x+ 1|+|2x+ 3|+|4x+ 5|= 7 c. |x²+x−7|+|x|<5

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2