Feuille d’exercices n°11 : Étude globale des fonctions

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ECE1-B 2015-2016

Feuille d’exercices n°11 : Étude globale des fonctions

Fonction paires et impaires Exercice 1. (☆)

Soitf, g :R→Rdeux fonctions.

a) Sif etg sont paires, que peut-on dire de :f +g,f −g,f×g? b) Même question si f etg sont impaires.

c) Même question si f est paire etg impaire.

Exercice 2. (☀☀)

Soitf :R→Rune fonction impaire réalisant une bijection de R dansR. On notef⁻¹ :R→Rsa bijection réciproque.

a) Montrer que f⁻¹ est impaire.

b) Que peut-on dire lorsque f est paire ? (commenter la pertinence de l’énoncé)

Exercice 3. (☀)

SoitI un intervalle symétrique. Soientf etgdeux fonctions I →R. a) g paire ⇒ f ◦gpaire.

b) f etg impaires ⇒ f◦g impaire.

c) f paire et g impaire ⇒ f ◦gpaire.

Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 4. (☀)

Montrer qu’un polynôme de degré impair a au moins une racine dans R.

Exercice 5. (☀)

Montrer que les équations suivantes ont une solution dans l’intervalleI : a) lnx= x²−5

x+ 2 surI = [1,10].

b) x²⁰¹⁵−x²⁰¹⁶ =−1surI = [−1,1].

c) xⁿ+ 9x²−4 = 0, surI =R^∗+ (n est un entier positif).

d) x lnx= 2 surI = [2,3].

Soitf :I →Rune fonction continue sur un intervalle I.

On suppose que :∀x∈I, |f(x)|= 1.

Montrer quef est constante surI.

Soitf :I →Rune fonction continue sur un intervalle I.

On suppose que :∀x∈I, f²(x) = 1.

Montrer quef est constante surI.

Exercice 8. (☀)

Soitf une fonction continue définie sur[a, b]et à valeurs dans [a, b].

Montrer quef admet un point fixe :∃x₀ ∈[a, b], f(x0) =x0. (on pourra considérer la fonction g:x7→f(x)−x)

(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

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Exercice 9. (☀)

Soitf, g : [0,1]→Rdeux fonctions continues telles que : f(0) =g(1) = 0 et f(1) =g(0) = 1 Montrer que : ∀λ>0, ∃x₀ ∈[0,1], f(x₀) =λ g(x₀).

(on pourra considérer la fonction h:x7→f(x)−λ g(x))

Continuité sur un segment Exercice 10. (☀☀)

Soitf :R→Rune fonction continue sur R.

On suppose que f admet une limite finie en+∞ et une limite finie en −∞.

Montrer que f est bornée dansR.

Exercice 11. (☀☀☀)

Soitf :R→Rune fonction continue sur R. On suppose que : f(0) = 1 et lim

x→−∞ f(x) = 0 = lim

x→+∞f(x).

Montrer que f est bornée et atteint sa borne supérieure. Qu’en est-il de sa borne inférieure ?

Soitf : [−1,1]→Rune fonction continue telle que :∀x∈[−1,1], f(x)>0.

Montrer qu’il existe m >0tel que pour tout x∈[−1,1], on a :f(x)>m.

Théorème de la bijection Exercice 13. (☀☀)

Pour toutn∈N^∗ et toutx∈R⁺, on note : fn(x) =xⁿ+xⁿ⁻¹+. . .+x−1.

a) Dresser le tableau de variation de fnsur R⁺.

b) Montrer qu’il existe un uniqueun positif tel que fn(un) = 0.

c) Calculeru₁.

d) Montrer que : ∀n∈N,∀x∈R⁺, f_n+1(x)> f_n(x).

e) En déduire le signe deu_net montrer que : ∀n∈N, u_n+1 < u_n. f ) Montrer que la suite (u_n) est convergente.

g) Montrer que : ∀x∈R⁺\ {1}, f_n(x) = 2x−xⁿ⁺¹−1 1−x . h) En déduire que : 2un−1 =uⁿ⁺¹_n .

i) Démontrer que (uⁿ⁺¹_n ) converge vers0 et en déduire la limite de(un).

Exercice 14. (☀)

On considère la fonction f :x7→ (x+ 1) ln(x+ 1)

x .

a) Déterminer l’ensemble de définitionD_f de f.

b) Calculerf⁰(x) pourx∈ D_f puis déterminer son signe.

Pour ce faire, on pourra étudier la fonction auxiliaireg:x7→x−ln(x+ 1) définie pourx >−1.

c) Montrer que f peut être prolongée par continuité à [−1,+∞[et dresser son tableau de variation.

d) Démontrer qu’il existe un uniqueα∈[−1,+∞[tel que f(α) = 2.

e) Montrer que : 3< α <4.

On pourra utiliser le fait que : ln 2≈0,69 et ln 5≈1,61.

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Exercice 15. (☀)

Pour toutn∈N^∗, on définit la fonctionfnpar :∀x∈R, fn(x) = 1

1 +e^x+nx a) Déterminer, pour tout réel x,f_n⁰(x) etf_n⁰⁰(x).

b) En déduire que la fonction fn est strictement croissante sur R. c) Calculer les limites defn quandx→+∞ etx→ −∞.

d) Montrer que l’équationfn(x) = 0 possède une seule solution sur R. On notera u_n cette solution.

e) Montrer qu’on a : ∀n∈N^∗, −1

n < u_n<0.

f ) En déduire la limite de la suite (un).

g) En revenant à la définition de un, montrer que :n un→ −1 2. Théorème de la limite monotone

Soitf :R→Rune fonction continue et décroissante sur R.

On souhaite démontrer que la fonction f admet un unique point fixe autre- ment dit qu’il existe un unique réelctel que f(c) =c.

Pour ce faire, on considère la fonction g:x7→f(x)−x.

a) Démontrer que : lim

x→−∞ g(x) = +∞ et lim

x→+∞ g(x) =−∞.

b) En déduire que f admet un point fixe.

c) En procédant par l’absurde, démontrer que ce point fixe est unique.

d) Ce résultat est-il valable si la fonctionf est croissante ?

Exercice 17. (☀☀☀)

Soitf :I →Rune fonction croissante sur un intervalleI. On suppose quef(I) est un intervalle.

On souhaite démontrer que la fonction f est continue.

1. a) Soita∈

◦

I. Démontrer quef admet une limite finie`à droite enaqui vérifie : f(a)6`.

b) Démontrer que : ∀x∈I, x6a ⇒ f(x)6f(a).

c) Démontrer que : ∀x∈I, x > a ⇒ f(x)>`.

Ceci permet de démontrer que f n’atteint aucune valeur entref(a) et`.

On suppose maintenant par l’absurde quef(a)< `.

2. a) Sib∈I est tel que b > a, démontrer que :f(a)6`6f(b).

(question supplémentaire : pourquoi existe-t-il un tel élément b?) b) En déduire que `est une valeur atteinte par f.

c) En déduire une contradiction.

d) En conclure quef est continue surI. 3. Le résultat est-il valable si f est décroissante ?

(ce résultat est la brique manquante de la démonstration du théorème de la bijection présentée dans le cours)