CM-C3-Suites-v2302

(1)

L

ICENCE

1 - C

ALCUL

& L

OGIQUE

2 C

HAPITRE

3. S

UITES NUMÉRIQUES

Julie Scholler - Bureau B246

Février-mars 2021

I. Généralités sur les suites réelles

Définition

Une suite réelle u = (u_n)_n∈_N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn₀,+∞J avec n₀ ∈ N)

u : N −→ R, n 7−→ u_n u_n est appelé le terme général de la suite.

Son indice ou rang est n.

Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite : pour tout entier positif n, on a u_n = f(n)

• de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a u_n+1 = f (u_n) ou u_n+k = f(u_n+k₋₁,u_n+k−2, . . . ,u_n)

(2)

Questions

• Sens de variations

• Comportement asymptotique

• Expression du terme général

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (u_n)_n∈_N est

• croissante si

∀n ∈ N, u_n+1 > u_n

• strictement croissante si

∀n ∈ N, u_n+1 > u_n

• décroissante si

∀n ∈ N, u_n+1 6 u_n

• strictement décroissante si

∀n ∈ N, u_n+1 < u_n

(3)

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (u_n)_n∈_N est

• monotone si elle est soit croissante soit décroissante

• strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.

Exemples : étude de (a_n)_n∈_N, (b_n)_n∈_N, (c_n)_n∈_N telles que, pour tout n ∈ N : an = −n + 2, bn = e⁻ⁿ, cn = n!

Wooclap Q1, Q2 et Q3

Suites majorées, minorées, bornées

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est majorée si

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, u_n 6 M.

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est minorée si

∃m ∈ R, ∀n ∈ N, u_n > m.

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est bornée si elle est minorée et majorée :

∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 u_n 6 M. ou de manière équivalente ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |u_n| 6 M.

Exemples : étude de (a_n)_n∈_N, (b_n)_n∈_N, (c_n)_n∈_N telles que, pour tout n ∈ N : a_n = −n + 2, b_n = e⁻ⁿ, c_n = n!

Wooclap Q4 et Q5

(4)

II. Nature d’une suite

Suite convergente

Une suite (u_n)_n∈_N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour n assez grand), u_n va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

`

` + ε

` − ε

n₀ +

+ + + + + +

+

+ + + + + +

+

Notations on note lim

n→+∞u_n = ` ou u_n −→

n→+∞ `

Propriétés

• Toute suite convergente est bornée.

• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

(5)

Suite divergente

Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.

Différents types de suites divergentes

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite −∞;

• celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou −∞.

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N

• a pour limite +∞, et on note lim

n→+∞u_n = +∞ ou u_n −−−−→

n→+∞ +∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n₀ ∈ N, ∀n > n₀, u_n > A.

• a pour limite −∞, et on note lim

n→+∞u_n = −∞ ou u_n −−−−→

n→+∞ −∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n₀ ∈ N, ∀n > n₀, u_n < A.

(6)

Nature d’une suite

On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.

Wooclap Q6 et Q7

III. Étude de la nature

Limite d’une suite image par une fonction

Soient (u_n)_n∈_N une suite et f une fonction continue. Si on a

• lim

n→+∞u_n = ` ∈ R∪ {−∞,+∞}

• lim

x→`f (x) = λ ∈ R ∪ {−∞,+∞}

Alors la suite (f(u_n))_n∈_N converge et lim

n→+∞f (u_n) = λ.

En particulier, si f est une fonction continue au point `, alors

n→+∞lim f(u_n) = f(`).

(7)

Limite de la somme de deux suites

Soient (u_n)_n∈_N et (v_n)_n∈_N deux suites qui admettent une limite.

Alors la limite de la suite (u_n +v_n)_n∈_N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim u_n

n→+∞lim v_n

−∞ ` ∈ R +∞

−∞ −∞ −∞ F.I.

`⁰ ∈ R −∞ `+`⁰ +∞

+∞ F.I. +∞ +∞

Limite du produit de deux suites

Soient (u_n)_n∈_N et (v_n)_n∈_N deux suites admettant une limite.

Alors la limite de la suite (u_nv_n)_n∈_N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim u_n

n→+∞lim v_n

−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞

−∞ +∞ +∞ F.I. −∞ −∞

`⁰ < 0 +∞ −∞

0 F.I. ``⁰ F.I.

`⁰ > 0 −∞ +∞

+∞ −∞ −∞ F.I. +∞ +∞

(8)

Limite de l’inverse d’une suite

Soit (u_n)_n∈_N une suite qui ne s’annule pas et qui admet une limite.

Alors la limite de la suite inverse, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim u_n −∞ ` < 0 0⁻ 0 0⁺ ` > 0 +∞

n→+∞lim 1

u_n 0⁻ 1

` −∞ F.I. +∞ 1

` 0⁺

Limite du quotient de deux suites

Soient (u_n)_n∈_N et (v_n)_n∈_N deux suites admettant une limite, la suite (v_n)_n∈_N ne s’annulant pas. Alors la limite de la suite

u_n v_n

n∈N

, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

lim

n→+∞vn

lim

n→+∞un

−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞

−∞ F.I. 0⁺ 0 0⁻ F.I.

`⁰ <0 +∞ `

`⁰ 0 `

`⁰ −∞

0⁻ F.I. +∞ F.I. −∞ F.I.

0 F.I. F.I. F.I. F.I. F.I.

0⁺ F.I. −∞ F.I. +∞ F.I.

`⁰ >0 −∞ `

`⁰ 0 `

`⁰ +∞

+∞ F.I. 0⁻ 0 0⁺ F.I.

(9)

Wooclap Q8, Q9 et Q10

Encadrement

Pour la convergence

Si les suites (u_n)_n∈_N et (w_n)_n∈_N admettent la même limite réelle ` et si

∀n ∈ N, u_n 6 v_n 6 w_n

alors la suite (v_n)_n∈_N converge et admet pour limite `.

(10)

Inégalité simple

Pour montrer l’existence d’une limite infinie

• Si lim

n→+∞u_n = +∞ et si ∀n ∈ N, u_n 6 v_n, alors la suite (v_n)_n∈_N diverge et

n→+∞lim v_n = +∞

• Si l lim

n→+∞v_n = −∞ et si ∀n ∈ N, u_n 6 v_n, alors la suite (un)_n∈_N diverge vers −∞.et

n→+∞lim u_n = −∞

Exemple : étude de (c_n)_n∈_N telle que, pour tout n ∈ N : c_n = n(cos(n) + 2)

Propriétés et résultats

Croissances comparées

Soient a et b deux réels tel que a > 0 et b > 1. Alors

n→+∞lim n^a

bⁿ = 0, lim

n→+∞

n^a

n! = 0, lim

n→+∞

bⁿ n! = 0

Wooclap Q11 et Q12

(11)

IV. Suites usuelles

Thomas Malthus - 1798

"An Essay on the principle of population"

• Croissance de la population : double tous les 25 ans

• Augmentation de la production de ressources alimentaires : au mieux arithmétique

Angleterre en 1800

• 8 millions d’habitants

• l’agriculture peut nourrir 10 millions de personnes

• les progrès permettraient de nourrir 0.4 million de personnes de plus chaque année

Étude de l’augmentation des ressources alimentaires

On note a_n le nombre de millions d’individus pouvant être nourris l’année 1800 +n selon l’évolution prédite par Malthus.

Questions

• Nombre de personnes pouvant être nourries une certaine année

• Évolution globale du nombre de personnes pouvant être nourries

• Production totale en équivalent « personnes nourries » sur une certaine période

(12)

Valeurs des termes généraux de la suite (a_n)_n∈

N

• a₀ = 10, a₁ = 10 + 0.4

• a_n+1 = a_n + 0.4, pour tout entier naturel n Suite arithmétique de raison r ∈ R

une suite (u_n)_n∈_N telle que

∀n ∈ N, u_n+1 = u_n + r

Terme général d’une suite arithmétique de raison r u_n = u₀ + nr

Expression du terme général de la suite (a_n)_n∈

N

La suite (a_n)_n∈

N est une suite arithmétique de raison 0.4.

a_n = 10 + 0.4n, ∀n ∈ N

Étude de l’augmentation des ressources alimentaires

Questions

• Nombre de personnes pouvant être nourries en 1810 ? 1830 ? a₁₀ = 10 + 0.4× 10 = 14

a₃₀ = 10 + 0.4× 30 = 22 a_n = 10 + 0.4n, ∀n ∈ N

• Évolution globale du nombre de personnes pouvant être nourries

∀n ∈ N, a_n+1 − a_n = 0.4 > 0

(13)

Évolution d’une suite arithmétique

Soit (u_n)_n∈_N une suite arithmétique de raison r. Variations d’une suite arithmétique

• Si r > 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement croissante.

• Si r < 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement décroissante.

• Si r = 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.

r > 0 r < 0 r = 0

× × × × × × ×

× ×

×

× × × × × ×

u₀u₁u₂u₃u₄u₅ u₅u₄u₃u₂u₁u₀

u₀ u₁,u₂, . . .

Étude du comportement asymptotique

Soit (u_n)_n∈_N une suite arithmétique de raison r. Nature d’une suite arithmétique

Toute suite arithmétique (u_n)_n∈_N admet une limite, qui dépend du signe de sa raison r.

• Si r > 0, alors la limite de la suite (u_n)_n∈_N existe et vaut +∞.

• Si r < 0, alors la limite de la suite (u_n)_n∈_N existe et vaut −∞.

• Si r = 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.

Évolution globale du nombre de personnes pouvant être nourries

La suite (a_n)_n∈

N est une suite arithmétique de raison 0.4 > 0.

• La suite est strictement croissante donc le nombre de personnes pouvant être nourries chaque année augmente strictement.

• Ce nombre tend vers +∞.

(14)

Somme de termes en progression arithmétique

Soit (u_n)_n∈_N une suite arithmétique de raison r ∈ R. Alors pour tout entier naturel n,

n

X

k=0

u_k = (n + 1)u₀ + u_n 2

et pour tous entiers naturels p et n tels que n > p, on a

n

X

k=p

u_k = (n −p + 1)

| {z }

nombre de termes

premier terme

z}|{u_p +

dernier terme

z}|{u_n 2

Thomas Malthus - 1798

"An Essay on the principle of population"

• Croissance de la population : double tous les 25 ans

• Augmentation de la production de ressources alimentaires : au mieux arithmétique

Angleterre en 1800

• 8 millions d’habitants

• l’agriculture peut nourrir 10 millions de personnes

• les progrès permettraient de nourrir 0.4 million de personnes de plus chaque année

(15)

Étude de l’évolution de la population

On note p_n le nombre de millions d’individus à nourrir l’année 1800 + n selon l’évolution prédite par Malthus.

• b₀ = 8

• b₂₅ = 2× 8 = 16 La suite (b_n)_n∈

N est une suite géométrique de raison 1.028.

Suites géométriques

Soit q ∈ R.

Suite géométrique de raison q une suite (u_n)_n∈_N telle que

∀n ∈ N, u_n+1 = q u_n

Terme général d’une suite arithmétique de raison r u_n = qⁿu₀

Remarque

L’étude des variations et du comportement asymptotique d’une suite géométrique est plus délicate que celle d’une suite arithmétique.

(16)

Évolution de la population en Angleterre

La suite (b_n)_n∈

N est géométrique de raison 1.028.

Pour tout entier naturel n, on a b_n = 8×(1.028)ⁿ.

• La suite est strictement croissante donc le nombre de personnes vivant en Angleterre augmente strictement chaque année.

• Comme lim

n→+∞(1.028)ⁿ = +∞, ce nombre tend vers +∞.

Question

Qu’en est-il des inquiétudes de Thomas Malthus ?

• Existe-t-il un entier n tel que a_n < b_n?

Propriétés et résultats

Croissances comparées

Soient a et b deux réels tel que a > 0 et b > 1. Alors

n→+∞lim n^a

bⁿ = 0, lim

n→+∞

n^a

n! = 0, lim

n→+∞

bⁿ n! = 0

Donc si q > 1, on a lim

n→+∞

n

qⁿ = 0.

(17)

25 50 75 100 125

1800 1825 1850 1875 1900

Temps

Individus

Type

population production

selon les prédictions de Thomas Malthus en 1797

Évolution de la population et des ressources alimentaires

Exemple avec des probabilités

Soit n un entier naturel.

• On lance n + 1 fois un dé.

• Les lancers sont supposés indépendants.

• Le dé est supposé équilibré.

(18)

Exemple avec des probabilités

On pose

• S_n : « on obtient un 6 pour la première fois lors du n+ 1^e lancer »

• p_n = P(S_n) : la probabilité d’obtenir un 6 pour la première fois au (n + 1)^e lancer

On a

• p₀ = 1 6

• p₁ = 5 6 × 1

6

• p₂ = 5 6 × 5

6 × 1 6

Exemple avec des probabilités

• Quelle est la probabilité d’obtenir 6 pour la première fois au (n+ 1)^e lancer ?

pn = 5

6 n 1

6 La suite (p_n)_n∈

N est une suite géométrique de raison 5

6 est de premier terme 1

6.

(19)

Somme de termes en progression géométrique

Soit (u_n)_n∈_N une suite en progression géométrique de raison q 6= 1.

Pour tous entiers naturels p 6 n,

u₀+· · ·+u_n =

n

X

k=0

u_k = u₀1− qⁿ⁺¹

1− q = u₀

|{z}

premier terme

1 −q

nombre de termes

z }| { n + 1 1− q et pour tous entiers naturels p et n tels que n > p, on a

u_p + · · ·+ u_n =

n

X

k=p

u_k = u_p

|{z}

premier terme

1− q

nombre de termes

z }| { n −p + 1 1− q

Exemple avec des probabilités

• Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au moins une fois en 10 lancers ?

9

X

k=0

p_k = 1− 5

6 10

' 0.84

• Que pouvez-vous dire de la probabilité d’obtenir 6 un jour ?

N

X

k=0

p_k = 1− 5

6 N

−−−−−→

N→+∞ 1

(20)

Modèle de Cobweb

Demande : Q_t^d = α −βP_t (α, β > 0) Offre : Q_t^s = −γ + δP_t−1 (γ, δ > 0) Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

Cas particulier : α = β = γ = 1 et P₀ > 2 1 + δ Pn+1 = −δP_n + 2

On pose

u_n = P_n −P^∗ avec P^∗ = 2 1 + δ On a u_n+1 = −δu_n, ainsi u_n = (−δ)ⁿ u₀

Modèle de Cobweb

La suite (u_n)_n∈

N des écarts au prix d’équilibre est une suite

• géométrique de raison −δ, strictement négative

• de premier terme u₀ = P₀ −P^∗ > 0

• de terme général u_n = (−δ)ⁿu₀

Sous-suites extraites d’indices pairs et impairs

• u_2n = (−δ)²ⁿ u₀ = δ²ⁿu₀

• u_2n+1 = (−δ)²ⁿ⁺¹ u₀ = −(δ)²ⁿ⁺¹u₀ Variations des écarts au prix d’équilibre On a, pour tout entier naturel n

u_2n > 0 et u_2n+1 < 0 La suite (u_n)_n∈

N n’est pas monotone.

(21)

Évolution d’une suite géométrique

Soit (u_n)_n∈_N une suite géométrique de raison q.

Variations d’une suite géométrique 1. Si q > 1,

• si u₀ > 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement croissante.

• si u₀ < 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement décroissante.

2. Si q = 1, alors la suite (u_n)_n∈_N est constante égale à son premier terme.

3. Si 0 < q < 1,

• si u₀ > 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement décroissante.

• si u₀ < 0, alors la suite (u_n)_n∈_N est strictement croissante.

4. Si q = 0, alors la suite (u_n)_n∈_N nulle et donc constante à partir du rang 1 (ou 0 si u₀ = 0).

5. Si q < 0, alors la suite (u_n)_n∈_N n’est pas monotone.

q > 1 et u₀ > 0 q > 1 et u₀ < 0 q = 1

× × × × ×

× × × ×

× ×

×

× × × × × ×

0 < q < 1 et u0 > 0 0 < q < 1 et u0 < 0 q = 0

×

× × × × × ×

× × × × ×

×

× × × × ×

−1 < q < 0 q = −1 q < −1

× ×

×

× × ×

× ×

×

(22)

Modèle de Cobweb et nature de la suite

Sous-suites extraites d’indices pairs et impairs

• u_2n = (−δ)²ⁿ u₀ = δ²ⁿu₀

• u_2n+1 = (−δ)²ⁿ⁺¹ u₀ = −(δ)²ⁿ⁺¹u₀

Limites des sous-suites extraites d’indices pairs et impairs

• Si 0 < δ < 1, lim

n→+∞u_2n = 0 et lim

n→+∞u_2n+1 = 0

• Si δ = 1, lim

n→+∞u_2n = u₀ et lim

n→+∞u_2n+1 = −u₀

• Si δ > 1, lim

n→+∞u_2n = +∞ et lim

n→+∞u_2n+1 = −∞

Suites extraites

Soit (u_n)_n∈_N une suite.

• On appelle suite extraite des termes d’indices pairs la suite (u_2n)_n∈_N.

• On appelle suite extraite des termes d’indices impairs la suite (u_2n+1)_n∈_N.

Théorème des suites extraites

Soit (u_n)_n∈_N une suite. Soit ` un réel ou +∞ ou −∞.

La suite (u_n)_n∈_N admet pour limite ` si et seulement si les suites (u_2n)_n∈_N et (u_2n+1)_n∈_N admettent pour limite `.

(23)

Modèle de Cobweb et nature de la suite

Limites des sous-suites extraites d’indices pairs et impairs

• Si 0 < δ < 1, lim

n→+∞u_2n = 0 et lim

n→+∞u_2n+1 = 0

• Si δ = 1, lim

n→+∞u_2n = u₀ et lim

n→+∞u_2n+1 = −u₀

• Si δ > 1, lim

n→+∞u_2n = +∞ et lim

n→+∞u_2n+1 = −∞

Limite de la suite (u_n)_n∈

N

• Si 0 < δ < 1, lim

n→+∞u_n = 0

• Si δ = 1,

• si u₀ = 0, lim

n→+∞u_n = 0

• si u₀ 6= 0, la suite n’admet pas de limite.

• Si δ > 1, la suite n’admet pas de limite.

Étude du comportement asymptotique

Soit (u_n)_n∈_N une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q.

Nature d’une suite géométrique

• Si |q| < 1, alors la suite (u_n)_n∈_N admet une limite, égale à 0.

• Si q = 1, alors la suite (u_n)_n∈_N est constante égale à son premier terme.

• Si q > 1, alors la suite (u_n)_n∈_N admet une limite, égale à +∞

ou −∞, selon le signe de u₀.

• Si q 6 −1, alors la suite (u_n)_n∈_N n’admet pas de limite.