Question de cours.

Question de cours.

Citer la proposition sur la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque.

Exercice.

Un joueur dispose de N d´es ´equilibr´es `a 6 faces. Il lance une premi`ere fois ceux-ci et on note X1 le nombre de 6 obtenus. Il met de cˆot´e les d´es correspondants et relance les autres d´es (s’il en reste). On note X2 le nombre de 6 obtenus et on r´ep`ete l’exp´erience d´efinissant ainsi une suite de variables al´eatoiresX1;X2;· · ·. S’il ne reste plus de d´es au m-`eme lancer, on a alors, pour toutk>m, Xk = 0. Pour tout entier naturel non nuln, on d´efinit la variable S_n=X₁+X₂+· · ·+X_n qui correspond alors au nombre de 6 obtenus apr`esnlancers.

1. ´Ecrire une fonction PythonX(N)qui prend en argument le nombre de d´esN et renvoie la valeur deX1. 2. En d´eduire une fonction PythonS(N,n)qui prend en arguments les nombre de d´esN etnle nombre de lancers

effectu´es et renvoie la valeur deSn.

3. On se propose de montrer par r´ecurrence sur n que Sn suit une loi binomiale de param`etres N et pn et on cherchera `a d´eterminerpn.

(a) Question pr´eliminaire: Soient N,M et k∈NavecM 6k6N. Montrer que : N

M

N−M k−M

= N

k k

M

(b) Montrer que la proposition est v´erifi´ee pourn= 1 et d´eterminerp1.

(c) Soit n∈N^?, on suppose queSn suit une loi binomiale de param`etreN etpn.

i. Soient M et k deux entiers naturels tels que M 6 k 6 N. D´eterminer la quantit´e P_(Sn=M)(X_n+1 = k−M).

ii. En d´eduire queSn+1 suit une loi binomiale de param`etresN et pn+1 o`upn+1= 1 + 5pn

6 .

(d) D´eterminer une expression explicite depn.

4. On admet qu’il est presque-sˆur qu’on obtienne tous les 6 au bout d’un nombre fini de lancers, c’est-`a-dire qu’il existe presque sˆurement un rangn∈N<sup>?</sup>pour lequelSn=N. On noteT le nombre de lancers n´ecessaires pour n’avoir que des 6 (et on pose par conventionT = +∞si on n’obtient jamais tous les 6, ce qui a une probabilit´e nulle d’arriver), c’est-`a-dire :

T = min({n>1 tel queS_n=N} ∪ {+∞ }).

D´eterminer la fonction de r´epartition deT.

5. V´erifier que la variableT admet une esp´erance et donner une formule exprimant celle-ci. On admettra le r´esultat suivant :T admet une esp´erance si la s´erieX

P(T > n) est convergente et dans ce cas E(T) =

+∞

X

n=0

P(T > n).

Question de cours :

Quand dit-on qu’une fonction est une densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoire r´eelle ?

Exercice :

ketnd´esigneront des entiers naturels dans ce sujet. Un agent biologique pathog`ene se d´eplace et multiplie dans l’air par division de chaque cellule en deux cellules identiques. Les cellules sont initialement immortelles, puis neutralis´ees par un agent d´esinfectant pulv´eris´e pour combattre l’infection. On discr´etise le temps en instants successifs s´epar´es d’une dur´eeδt, et on note pour tout entier natureln:

• U_n le nombre de cellules pathog`enes actives en suspension `a l’instantnδt. On admet l’existence deE(U_n).

• X_n et Y_n le nombre de cellules actives respectivement divis´ees / neutralis´ees entrenδtet (n+ 1)δt.

1. Dans un premier temps, les cellules pathog`enes ´evoluent sans d´esinfectant. On noteαla probabilit´e pour une cellule de se diviser `a un intervalle de temps quelconqueδtet on suppose que les cellules n’interagissent pas.

(a) D´eterminer la loi conditionnelle de la variableX_n sachant l’´ev´enement [U_n=k].(On reconnaˆıtra le sch´ema d’une loi usuelle). En d´eduire en fonction dekla valeur de la somme :

+∞

X

i=0

iP_[Un=k]([X_n =i]).

(b) En d´eduire queE(Xn) =αE(Un).

(c) ExprimerE(U_n+1) en fonction deE(U_n), puis montrer queE(U_n) = (1 +α)ⁿN, o`uN est le nombre initial de cellules.

(d) Lors d’une exp´erience, on observe l’´evolution du nombre de bact´eries dans dix boites de P´etri. Chacune d’elle contient au d´epart 10 cellules pathog`enes.

Les r´esultats de cette exp´erience sont repr´esent´es sur le graphique suivant :

Evaluer `´ a l’aide de ces courbes la valeur du coefficientα.

2. On introduit l’agent d´esinfectant de sorte que, `a chaque instant, chaque cellule pathog`ene peut-ˆetre neutralis´ee avec la probabilit´eβ, et sinon elle peut se diviser avec la probabilit´eαpr´ec´edente.

(a) ExprimerE(Un+1) en fonction deE(Un), puisE(Un) en fonction den.

(b) D´eterminer une condition sur αet β pour que l’infection soit enray´ee.

3. Simuler informatiquement l’´evolution d’une population de cellules pathog`enes comptant initialementN cellules lorsqu’on pulv´erise l’agent infectant.

On choisira des valeurs deαetβ permettant de d´ecrire les diff´erents cas de figure possibles.

Question de cours :

^D´efinition d’une base orthonorm´ee dansRⁿ avecn>1.

Exercice :

Un scientifique ´etudie une population de souris femelles uniquement. Il note les propri´et´es suivantes :

• Chacune des souris donne naissance en moyenne `a une femelle pendant sa premi`ere ann´ee de vie et `a 8 femelles pendant sa deuxi`eme ann´ee.

• La probabilit´e pour qu’une souris femelle survive une deuxi`eme ann´ee est de 0,25 et il n’y a aucune chance qu’elle survive au-del`a de la deuxi`eme ann´ee.

On distingue donc deux cat´egories de souris femelles : les jeunes, ˆag´ees de moins d’un an, et les adultes dont l’ˆage est compris entre un et deux ans. Notons pour tout entier naturel n, apr`esn ann´ees, jn le nombre de jeunes souris femelles eta<sub>n</sub> le nombre de souris adultes femelles.nd´esignera dans tout ce probl`eme un entier naturel.

1. (a) Montrer que les hypoth`eses ci-dessus peuvent se traduire par le syst`eme suivant :

( jn+1 =jn+ 8an

an+1 = 0,25jn

(b) On repr´esente la population des souris femelles `a l’aide du vecteur Sn = jn

an

. Expliciter alors une matriceLtelle que, pour tout entier natureln, on ait :Sn+1=LSn.

2. En d´eduire une expression deS_n en fonction deL, S₀et n.

3. (a) Montrer queLest diagonalisable.

(b) D´eterminer (U1;U2) une base deM2,1(R) constitu´ee de vecteurs propres deL.

(c) Soientλetµles coordonn´ees deS₀dans la base (U₁;U₂). Exprimer S_n en fonction deλ,µet n.

4. On consid`ere que la population initiale est compos´ee de 20 jeunes souris femelles et d’aucune souris adulte femelle.

(a) ´Ecrire un programme informatique qui permet de retourner les listes [j0;j1;· · ·;j10] et [a0;a1;· · ·;a10].

(b) Exprimerj_n eta_n en fonction den.

(c) On d´esigne partn le nombre total de souris femelles apr`esnann´ees. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :tn= 15×2ⁿ+ 5×(−1)ⁿ.

(d) D´eterminer la limite de tn+1

tn

n∈N

et interpr´eter ce r´esultat.

(e) Vers quelle r´epartition jeunes/adultes semble tendre la population ? Proposer un programme pour le v´erifier.

Question de cours.

D´ efinition de l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e.

Exercice.

On d´ efinit la fonction num´ erique f sur R

^?+

par la relation : ∀x ∈ R

^?+

, f (x) = Z

1

0

cos(t) x + t dt.

1.(a) Proposer une fonction Python prenant en argument un r´ eel x strictement positif et retour- nant une approximation de f (x).

(b) Proposer une approximation du graphe de la fonction f ` a l’aide de l’outil informatique.

Conjecturer un r´ esultat sur la monotonie de la fonction f et sur les limites au bord de son domaine de d´ efinition.

2. Soient x et x

⁰

deux r´ eels strictement positifs tels que x < x

⁰

. D´ eterminer le signe de f (x)−f(x

⁰

).

En d´ eduire que f est monotone sur R

^?+

.

3. Justifier que f admet une limite finie en +∞. On ne demande pas de d´ eterminer la valeur de cette limite ` a ce stade de l’exercice.

4. Dans cette question, on cherche ` a justifier que f est continue sur R

^?+

. Soit x

0

un r´ eel strictement positif quelconque.

(a) Montrer que : ∀x ∈ h x

₀

2 ; +∞ h

, |f (x) − f (x

₀

)| 6 2|x − x

₀

| x

²₀

.

(b) En d´ eduire que f est continue en x

0

.

5. Montrer qu’il existe un r´ eel A tel que, pour tout r´ eel x strictement positif, on ait : A

x + 1 6 f (x) 6 A x .

Ce r´ esultat est-il coh´ erent avec le graphe de f ? En d´ eduire un ´ equivalent simple de f en +∞.

6. Le but de cette question est de d´ eterminer un ´ equivalent simple de f en 0.

(a) Soit g la fonction num´ erique d´ efinie sur R

^?+

par la relation :∀x ∈ R

^?+

; g(x) = Z

1

0

cos(t) − 1 x + t dt.

En admettant l’in´ egalit´ e suivante : ∀t ∈ [0; 1], |cos(t) − 1| 6 t

²

2 , ´ etablir que g est une fonction born´ ee.

(b) En d´ eduire un ´ equivalent simple de f en 0.

Question de cours.

Condition(s) pour qu’une application lin´ eaire de R

ⁿ

soit diagonalisable.

Exercice.

On rappelle que si X

₁

et X

₂

sont deux variables ` a densit´ e ind´ ependantes de densit´ es respectivesf

_X1

et f

_X2

alors la variable X

₁

+ X

₂

est une variable ` a densit´ e et l’une de ses densit´ es est :

f : x 7→

Z

+∞

−∞

f

X1

(t)f

X2

(x − t)dt.

1. Soient x et y deux r´ eels. On consid` ere la matrice A d´ efinie par : A =

0 −1 y 2x

.

Montrer que la matrice A est R -diagonalisable si, et seulement si, x

²

− y > 0.

Indication : on pourra commencer par ´ etudier le nombre de valeurs propres de la matrice A dans le cas o` u elle est diagonalisable.

2. Soient X et Y deux variables al´ eatoires d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, T , P ), ind´ ependantes et suivant la loi uniforme sur [0, 1]. On note F

_X

et F

_Y

les fonctions de r´ epartition respectives des variables al´ eatoires X et Y .

(a) ´ Ecrire une fonction informatique qui calcule une valeur approch´ ee de P (X

²

− Y > 0).

On rappelle qu’en Python la fonction random() de la biblioth` eque random renvoie un nombre pseudo-al´ eatoire que l’on peut supposer uniform´ ement distribu´ e entre 0 et 1.

(b) Montrer que les variables al´ eatoires X

²

et −Y admettent une densit´ e. D´ eterminer une densit´ e de chacune de ces variables.

(c) En d´ eduire que la variable al´ eatoire Z d´ efinie par Z = X

²

−Y admet pour densit´ e la fonction h d´ efinie par :

h : z 7→



 

 

√ z + 1 si −1 6 z 6 0 1 − √

z si 0 6 z 6 1

0 sinon

(d) ´ Evaluer P

|Z| 6 1 2

.

3. Quelle est la probabilit´ e que la matrice al´ eatoire M d´ efinie par M =

0 −1 Y 2X

soit R -

diagonalisable ?

Question de cours.

Donner le d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 4 de x 7→ 1

1 + x et en 0 ` a l’ordre 5 de x 7→ ln(1 + x).

Exercice.

Soit x ∈ [−1; 1]. Pour tout entier naturel n, on note : I

_n

(x) =

Z

x 0

t

²ⁿ

dt; J

_n

(x) = Z

x

0

1 − (−1)

ⁿ⁺¹

t

²ⁿ⁺²

1 + t

²

dt; J (x) = Z

x

0

1 1 + t

²

dt.

1. D´ eterminer J(x).

2. Soit k un entier naturel. Calculer I

k

(x).

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, J

n

(x) est bien d´ efinie puis que : J n(x) =

n

X

k=0

(−1)

^k

x

^2k+1

2k + 1 .

4. ´ Ecrire une fonction en Python nomm´ ee Jn qui prend en argument un r´ eel x de [−1; 1] et un entier naturel n et retourne la valeur de J

_n

(x).

5. Montrer que :

∀n ∈ N ; ∀x ∈ [−1; 1]; |J(x) − J

_n

(x)| 6 1 2n + 3 . 6. En d´ eduire lim

n→+∞

(J

_n

(x)).

7. A l’aide de Python, proposer une fonction nomm´ ee J qui prend comme argument un r´ eel x ∈ [−1; 1] et retourne la valeur de J(x) ` a 10

⁻⁴

pr` es, sans utiliser de fonction atan pr´ ed´ efinie dans une biblioth` eque.

8. Le r´ esultat reste-t-il vrai lorsque x 6∈ [−1; 1] ?

Question de cours.

D´ efinition et convergence des sommes de Riemann.

Exercice.

Soit E un R -espace vectoriel, rapport´ e ` a une base B = (e

1

; e

2

; e

3

). Pour tout r´ eel a, on consid` ere l’endomorphisme f

a

de E associ´ e, d´ efini par :

f

_a

(e

₂

) = 0 et f

_a

(e

₁

) = f

_a

(e

₃

) = ae

₁

+ e

₂

− ae

₃

1. ´ Ecrire en Python une fonction f a(x, y, z, a) qui renvoie les coordonn´ ees dans la base B de f

_a

(u), le vecteur u ´ etant de coordonn´ ees (x; y; z) dans la base B .

2.(a) D´ eterminer une base de Im (f

_a

).

(b) Montrer que (e

₂

; e

₁

− e

₃

) est une base de Ker(f

_a

).

3. ´ Ecrire la matrice A de f

a

relativement ` a la base B et calculer A

²

. En d´ eduire f

a

◦ f

a

. 4. On pose e

⁰₁

= f

_a

(e

₁

) ; e

⁰₂

= e

₁

− e

₃

et e

⁰₃

= e

₃

.

(a) Montrer que (e

⁰₁

; e

⁰₂

; e

⁰₃

) est une base de E.

(b) D´ eterminer la matrice A

⁰

de f

_a

dans cette base.

(c) En d´ eduire que 0 est la seule valeur propre de A. La matrice A est-elle inversible ? diagona- lisable ?

5. Pour tout r´ eel x non nul, on pose B(x) = A − xI

₃

, o` u I

₃

d´ esigne la matrice identit´ e de M

₃

( R ).

(a) Justifier que la matrice B (x) est inversible pour tout x non nul.

(b) Exprimer (A − xI

₃

)(A + xI

₃

) puis (B (x))

⁻¹

en fonction de x ; I

₃

et A.

(c) Pour tout entier naturel n, exprimer (B(x))

ⁿ

en fonction de x ; n ; I

₃

et A.

Question de cours.

Tracer le graphe de la fonction arctan et pr´ eciser les ´ equations des droites asymptotes ` a sa courbe repr´ esentative.

Exercice.

Soit n ∈ N

^∗

. On note R

ⁿ

[X] l’ensemble des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels de degr´ e inf´ erieur ou

´ egal ` a n.

1. On d´ efinit l’application : ϕ :

R

n

[X] → R [X]

P 7→ (X − X

²

) P

⁰⁰

+ (1 − 2X) P

⁰

(a) Justifier rapidement que ϕ est un endomorphisme de R

ⁿ

[X].

D´ eterminer la matrice de M de ϕ dans la base canonique B = (1, X, · · · , X

ⁿ

) de R

n

[X].

(b) Pr´ eciser les valeurs propres de ϕ. L’application ϕ est-elle diagonalisable ? (c) ϕ est-elle bijective ?

2. Pour tout entier p ∈ J 0, n K , on consid` ere les polynˆ omes : T

_p

= X

^p

(1 − X)

^p

et L

_p

= 1

p! (T

_p

)

^(p)

o` u (T

_p

)

^(p)

d´ esigne la d´ eriv´ ee d’ordre p de T

_p

. Fixons un entier p ∈ N . (a) D´ eterminer le degr´ e et le coefficient dominant de L

_p

.

(b) Notons L

_p

sous la forme L

_p

=

p

X

k=0

a

_k,p

X

^k

. ´ Etablir que :

∀k ∈ J 0, p K , a

_k,p

= (−1)

^k

p

k

p + k k

(c) D´ eterminer une relation entre a

_k+1,p

et a

_k,p

pour k ∈ J 0, p − 1 K . Pr´ eciser la valeur de a

_0,p

. (d) En vous appuyant sur la question 2.c), ´ ecrire une fonction informatique qui prend en argu-

ment un entier naturel p et renvoie les coefficients a

_0,p

, a

_1,p

, · · · , a

_p,p

de L

_p

. Tester cette fonction dans le cas o` u p ∈ { 0, 1, 2 }.

3. Dans cette question, n = 2 et ϕ est donc l’application suivante : ϕ :

R

²

[X] → R

²

[X]

P 7→ (X − X

²

) P

⁰⁰

+ (1 − 2X) P

⁰

V´ erifier que (L

₀

, L

₁

, L

₂

) est une base de vecteurs propres de ϕ.