155 Systèmes linéaires. Système de Cramer. Grifone, Tauvel, Gourdon.
K=ℝ ou ℂ.
I. Définition, différentes interprétations.
Def 1 Def 1Def 1
Def 1: (Tauvel + les notatos de Grifone: inv° n/p; mat. A) Soient n, p∊ℕ*. On appelle système linéairesystème linéairesystème linéairesystème linéaire de p équation en n inconnues un système du type:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
( )
n n
n n
p p pn n p
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
L
+ + + =
+ + + =
+ + + =
où les aij et les bi sont des éléments de K donnés.
On dit que A=
[ ]
aij ∈Mn p, est la matrice du sytèmematrice du sytèmematrice du sytèmematrice du sytème, que rg(A) est son rangrangrangrang, et que(
b1, ...bp)
en est le second second second second membremembremembre membre.
Def 2 Def 2Def 2
Def 2: (Tau) On note S(L)S(L)S(L) l'ensemble des S(L)
(
x1, ...xn)
∈Kn vérifiant les p équations précédentes.Un élément de S(L) est appelé une solutionsolutionsolutionsolution de (L).
Le système (L) est dit compatiblecompatiblecompatiblecompatible si S(L)≠∅, incompatible
incompatibleincompatible incompatible sinon.
Deux systèmes (L) et (L') sont équivalts ssi S(L)=S(L').
Def 3 Def 3Def 3
Def 3: (Tau) Le système est dit homogènehomogènehomogènehomogène si
(
b1, ...bp)
=(
0, ..., 0)
. Plus généralement, le système (H)(H)(H)(H) obtenu en remplaçant chaque bi par 0 dans (L) est appelé le système homogène associésystème homogène associésystème homogène associésystème homogène associé à (L).A. Interprétation matricielle (Grif).
En posant A=
[ ]
aij ∈Mp n,( )
K ,( )
1
p,1
p
b
B M K
b
= ∈
,
et
( )
1
n,1
n
x
X M K
x
= ∈
, le syst. (L) s'écrit: AX =B.
Prop 1:
Prop 1:
Prop 1:
Prop 1: (Tau) Notant u l'application linéaire de E=Kn dans F=Kp dont la matrice est A, (L) est compatible ssi le vecteur B appartient à l'image de u. S'il en est ainsi, S(L) est un sous-espace affine de E de direction S(H).
B. Interprétation vectorielle (Grif).
Notons c1, ....,cn
les vecteurs colonnes de la matrice A,
et
1
p
b b
b
=
. Alors le système s'écrit: x c1 1+...+x cn n =b
Prop 2 Prop 2 Prop 2
Prop 2: Résoudre le système revient à déterminer les coefficients de la décomposition du vecteur b
sur les vecteurs
{
c1, ...,c
n
}
de Kp. Donc le système est compatible ssi b∊ Vect
{
c1, ...,c
n
}
.II. Systèmes de Cramer (Grifone).
Def 4 Def 4 Def 4
Def 4: On appelle système de Cramersystème de Cramersystème de Cramersystème de Cramer un système linéaire dont la matrice A est carrée et inversible.
Th 1Th 1
Th 1Th 1: Théorème de CramerThéorème de CramerThéorème de Cramer. Un système de Cramer: Théorème de Cramer
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
p p nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
( avec A=
( )
aij =Mat(c
1, .. )cn, det A ≠ 0 )
admet toujours une et une seule solution, quel que soit le vecteur b
. Cette solution est donnée par les formule de Cramer: det
(
1, ..., 1, , 1, ...,)
det
i i n
i
c c b c c
x
A
− +
=
Exemple Exemple Exemple Exemple:
2 5 2 7
2 4 3
3 4 6 5
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
− − =
Grifone p.146
III. Cas général.
A. Th. de Rouché-Fontené (Gourdon/Grifone) . Def 5
Def 5 Def 5
Def 5 (Gou): Notant r=rg(A), il existe un ddddéééétttteeeerrrrmmmiiiinmnnnaaaannnntttt
( )
ij i I j Ja
∈∈
∆ =
d'ordre rd'ordre rd'ordre rd'ordre r non nul extrait de A. On l'appelle déterminant principaldéterminant principal déterminant principal
déterminant principal du système (il n'est en général pas unique).
Les équations d'indices correspondant aux lignes de Δ sont dites équations principaleséquations principaleséquations principales, et les inconnues équations principales d'indices correspondant aux colonnes de Δ sont dites inconnues principales
inconnues principales inconnues principales inconnues principales.
On appelle déterminant déterminant déterminant déterminant caractéristiquescaractéristiquescaractéristiquescaractéristiques les déterminants d'ordre r+1 de la forme:
Ces déterminants n'existent que si r<p, et il y en a alors p-r.
Th 2 Th 2 Th 2
Th 2 (Grifone): RouchéRouchéRouché----FontenéRouchéFontenéFontené. Le système (L) est Fontené compatible ssi tous les déterminants caractéristiques associés à Δ sont nuls.
Dans ce cas, (L) est équivalent au système des équations principales.
Il admet alors une infinité de solutions dépendantes de n-r paramètres. Les solutions se calculent en résolvant le système de Cramer obtenu en donnant au inconnues non principales des valeus arbitraires.
Exemple: Discuter selon les valeurs de k, α,β,γ∊ℝ la système:
2 3
2 2
x y z y z x ky z
α β γ + − =
+ =
+ + =
Grifone p.149
B. Méthode du pivot de Gauss (Tauvel p.290).
Δ (bi)i∊I
(akj)j∊J bk
155 Systèmes linéaires. Système de Cramer. Grifone, Tauvel, Gourdon.
Prop 3 Prop 3Prop 3
Prop 3: Le système AX=B peut être transformé, par opérations élémentaires, en un système équivalent TX=B1, avec T triangulaire supérieure.
Lorsque ce système est compatible, on le résout alors de proche en proche.
Exemple:
1 2 3 1 2 2
2 3 6 5 3 1
3 4 9 6 4 5
1 3 3 1 3 2
x y z t u
− −
− =
− − − −
−
(Tauvel p.291).
IV. Notes.
Rapport de jury Rapport Rapport de de juryjury
Rapport de jury : Cette leçon repose, fondamentalement, sur la notion de rang qui doit donc être évoquée sans tarder. On doit aussi mettre en valeur l’interprétation des systèmes d’équations linéaires en termes d’images réciproques par une application linéaire. La comparaison de différentes méthodes de résolution (y compris les méthodes du pivot) est également attendue.
Les considérations sur la structure de l'ensemble des structure de l'ensemble des structure de l'ensemble des structure de l'ensemble des solutions
solutionssolutions
solutions sont dans Tauvel p.280.
Dans le cas général de p équations en n inconnues, S(H) est un sev de dim n-r, et S(L) est un sea de direction S(L).
Monier MonierMonier
Monier appelle ces systèmes des "systèmes affines".
