DIFFÉRENTES FORME D UN POLYNÔME DU SECOND DEGRE.

DIFFÉRENTES FORME D UN POLYNÔME DU SECOND DEGRE.

PARTIE 1 : AL KHWARIZMI ET LES EQUATIONS DU SECOND DEGRE.

Dans son ouvrage Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, « Le livre du rajout et de l'équilibre », le mathématicien arabe Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad - Perse 780 ; 850) présente sa méthode de résolution des équations (muadala).

Il donne la résolution d’équations du type : les carrés et les racines égalent les nombres. Avec nos notations actuelles, nous noterions ces équations sous la forme : x² + ax = b où a et b sont des réels fixés.

Al-Khwarizmi présente sa méthode sur l exemple particulier x² 10x 39. Sa résolution s applique sur le schéma ci-dessous :

1. En exprimant de deux façons l aire de la partie grisée, retrouver la méthode d Al-Khwarizmi pour résoudre l équation.

2. Résoudre de même les équations : x² 2x 24, x² 5x 84.

Du nom « Al-Khwarizmi » au mot « algorithme »

La démarche méthodique pratiquée, comme ci-dessus, par Al-Khwarizmi et le rôle qu’il a joué dans la diffusion des chiffres indo-arabes lui a valu de voir son nom utilisé dès le 12ème siècle en Occident : algorismo en espagnol ou algorisme en français, mot formé sur son nom et sur le mot grec arithmos qui signifie nombre et qui a donné arithmétique. A cette époque-là, les algorithmistes ou algoristes, calculant avec des chiffres arabes s’opposaient aux abacistes, ceux qui utilisaient des abaques, c'est-à-dire des bouliers.

PARTIE 2 : UNE FONCTION DU SECOND DEGRE.

On cherche dans cette partie à étudier la fonction f définie sur par f( x) 2 x² 20x‒22.

1. Quelle est la nature de cette fonction. Comment s appelle sa courbe ? En utilisant les résultats obtenus au début de la partie 1, écrire f (x) sous la forme a (x ‒ )² où a, et sont des réels à déterminer.

2. En déduire le minimum de f sur puis dresser le tableau de variations de f sur . 3. Factoriser f (x ) En déduire les solutions de l équation f (x) 0 et le signe de f(x ) sur .

PARTIE 3 : RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS En vous inspirant des exemples précédents, résoudre :

1. x² 6x 10 0 2. 3x ² 12 x 3 6 0 3. x² 4x 3 0

Schéma "moderne"