[b Calcul littéral c\ Table des Matières

[bCalcul littéral c\

Table des Matières

I. Les identités remarquables 1

I. A. Caractérisations . . . . 1

I. B. Applications des identités remarquables . . . . 3

I. B. 1. Calcul mental . . . . 3

I. B. 2. Résolution d’équations . . . . 3

I. C. Démontrer des identités . . . . 3

I. C. 1. Identité de Sophie Germain . . . . 4

I. C. 2. Identité d’Argan . . . . 4

I. C. 3. Identité de Gauss . . . . 4

I. C. 4. Identité de Legendre . . . . 4

I. C. 5. Identité de Lagrange . . . . 4

I. C. 6. Identité d’Euler . . . . 4

II. Règles de calculs 6 II. A. Écriture fractionnaire. . . . 6

II. B. Puissances . . . . 7

II. C. Racine carrée . . . . 7 III.Démonstration algébrique de l’irrationalité dep

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I. Les identités remarquables

I. A. Caractérisations

tActivité 1

Proposition : pour tous nombres réelsaetb, (a+b)²=a²+b². Est-ce que cette proposition est vraie ?

tActivité 2

Les identités remarquables selon al Khwarizmi.

Dans son ouvrage Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, " Le livre du rajout et de l’équilibre ", l’astronome et math- ématicien perse al Khwarizmi présente sa méthode de résolution des équations (muadala).

Il formule ce qui sera appelé les identités remarquables ainsi que la règle des signes sans justifications.

Voici un extrait p27-30 qui présente sur des exemples les trois identités remarquables avec un partie des traductions algébriques.

Compléter les traductions manquantes.

Le texte traduction algébrique

Et si on dit : dix et une chose par elle-même. (10+x)(10+x)

Tu dis : dix par dix : cent, 10×10=100

et dix par une chose : dix choses, 10x

et dix par une chose : dix choses également, 10x et une chose par une chose : un bien ajouté. x²

Cela sera cent dirhams et vingt choses et un bien ajouté. 100+20x+x² Et si on dit : dix moins une chose par dix moins une chose. (10−x)(10−x) Tu dis : dix par dix : cent,

et moins une chose par dix : dix choses retranchées, et moins une chose par dix : dix choses retranchées, et moins une chose par moins une chose : un bien ajouté.

Cela sera cent dirhams et un bien moins vingt choses.

Et si on dit : dix moins une chose par dix et une chose. (10+x)(10−x)

Tu dis : dix par dix : cent, 10×10=100

et moins une chose par dix : dix Choses retranchées, −10x et une chose par dix : dix choses ajoutées, 10x et moins une chose par une chose : un bien retranché. −x² Tu auras : cent dirhams moins un bien. 100−x²

tActivité 3

1. Soient deux carrés de côtéaetboùaetbsont deux nombres réels strictement positifs : (a) Exprimer l’aire du carré ABCD en

fonction deaetb.

(b) Développer (a+b)². Que représente l’expression 2absur la figure ?

2. Soient deux carrés de côtéaetboùaetbsont deux nombres réels strictement positifs (icia>b):

(a) Exprimer l’aire du carré ABCD en fonction deaetb.

(b) Développer (a−b)². Que représente l’expression 2absur la figure ?

3. Soient deux carrés de côtéaetboùaetbsont deux nombres réels strictement positifs (icia>b):

(a) Exprimer l’aire du rectangle ABCD en fonction deaetb.

(b) Développer (a −b)(a +b). Dans le carré de côté a, hachurer l’aire d’expressiona²−b².

On appelle identités remarquables les résultats suivants, pour tous les réelsaetb:

• (a+b)²=a²+2ab+b²

• (a−b)²=a²−2ab+b²

• (a−b)(a+b)=a²−b² gDéfinition

tExercice 1

1. Développer et simplifier les expressions suiv- antes :

(a) (5x−1)² (b) (7x+9)(7x−9)

(c) (0,5x+1)²−(0,5x−3)²

2. Factoriser les expressions suivantes : (a) 121x²−33x+9

(b) 0,12x²−75

(c) (0,5x+1)²−(0,5x−3)²

tExercice 2

Soienta,betctrois nombres réels.

Développer : (a+b+c)²et (a+b)³.

I. B. Applications des identités remarquables I. B. 1. Calcul mental

tExercice 3

1. Avec l’identité remarquable appropriée développer (30−2)². En déduire la valeur de 28². 2. Calculer mentalement : 99²; 31²; 25×35 ; 75²−25.

I. B. 2. Résolution d’équations

Le produit de deux nombres réelsaetbest nul si et seulement sia=0 oub=0.

ab=0⇐⇒a=0 oub=0 gPropriété

tExercice 4

1. Résoudre dansRl’équation 36x²−12x+1=0.

2. Résoudre dansRl’équation 4x²−9=0.

3. Résoudre dansRl’équation 0,25x²+x= −4 I. C. Démontrer des identités

I. C. 1. Identité de Sophie Germain Pour tous nombres réelsxety, on a :

x⁴+4y⁴=(x²+2y²)²−4x²y²=(x²+2y²−2x y)(x²+2y²+2x y)=((x+y)²+y²)((x−y)²+y²).

I. C. 2. Identité d’Argan xest un nombre réel,

(x²+x+1)(x²−x+1)=x⁴+x²+1 .

I. C. 3. Identité de Gauss

aetbsont des nombres réels,

a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−ac−bc)=1

2(a+b+c)[(a−b)²+(b−c)²+(a−c)²].

I. C. 4. Identité de Legendre aetbsont des nombres réels,

(a+b)²+(a−b)²=2(a²+b²),(a+b)²−(a−b)²=4ab,(a+b)⁴−(a−b)⁴=8ab(a²+b²).

I. C. 5. Identité de Lagrange

a,b,c,x,yetzsont des nombres réels,

(a²+b²)(x²+y²)=(ax+b y)²+(a y−bx)². Puis l’identité suivante :

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax+b y+c z)²+(a y−bx)²+(az−c x)²+(bz−c y)². I. C. 6. Identité d’Euler

Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s’énonce de la façon suivante :

Tout entier positif peut s’exprimer comme la somme de quatre carrés.

Plus formellement, pour tout entier positifn, il existe des entiersa,b,c,dtels que : n=a²+b²+c²+d²

La démonstration du théorème repose (en partie) sur l’identité des quatre carrés d’Euler : (x²₁+y²₁+z²₁+t₁²)(x²₂+y²₂+z²₂+t₂²) = (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂+t₁t₂)²

+(x₁y₂−y₁x₂+t₁z₂−z₁t₂)² +(x1z2−z1x2+y1t2−t1y2)²

+(x₁t₂−t₁x₂+z₁y₂−y₁z₂)². .

Une approche algorithmique du théorème dans le cas oùa,b,cetdne sont pas nuls :

1 #approche algorithmique du théorème des quatre carr és de Lagrange

2 #avec i c i a b c et d non nuls

3

9 f o r d in range( 1 ,n) :

10 i f pow( a , 2 ) +pow(b , 2 ) +pow( c , 2 ) +pow(d , 2 ) ==n :

11 return [ a , b , c , d]

12

13 f o r n in range( 4 ,51) : #donne une l i s t e de nombres qui conviennent s i e l l e exi s t e

14 print("n=",n ," l i s t e [ a , b , c , d ] ", quatre_carre (n) )

quatrecarrelagrange.py

II. Règles de calculs

II. A. Écriture fractionnaire

Soienta,b,c,detkcinq nombres réels tels quebetdne sont pas nuls.

• a d+c

d =a+c d

• a b+c

d =ad+bc bd

• k×a b =k a

b

• a b×c

d = ac bd

• 1 c d

=d

c (cn’est pas nul)

• a bc d

=ad

bc (cn’est pas nul) gPropriétés

Soienta,b,cetdquatre nombres réels tels quebetdne sont pas nuls.

a b = c

d ⇐⇒ad=bc gPropriété

tExercice 6

Montrer que les identités suivantes sont vraies : 1. Pour tout réelxnon nul, x²−5x+1

x =x−5+1 x, 2. Pour tout réelx,x6=1,x=x²−x

x−1 3. Pour toutn∈N,n6=1,n×n+1

n−1−n= 2n n−1,

4. Pour tout réelxnon nul, 1+1

x 1−1 x

=x+1 x−1

5. Pour toutn∈N,n6=1, 1− 1 n+1−

µ 1−1

n

¶

= 1 n(n+1)

II. B. Puissances

Soientaetbdeux nombres réels,netmdeux entiers relatifs.

• a⁰=1

• 1

a^m =a^−m(aest non nul)

• aⁿ×bⁿ=(ab)ⁿ

• aⁿ bⁿ =³a

b

´n

(best non nul)

• aⁿ×a^m=a^n+m

• (aⁿ)^m=a^nm

• aⁿ

a^m =a^n−m(aest non nul) gPropriété

tExercice 7

Montrer que les identités suivantes sont vraies : 1. Pour tout réelx,x²(1−x)−x²= −x³

2. Pour tout nombre réelxnon nul et pour tout entier naturelnnon nul, nx² (nx)² =1

n

3. Pour tout nombre réelxnon nul, 1+ 1

x² x ס

x³−1¢

=x²−1

x+1− 1

x³=x⁵+x³−x²−1 x³ II. C. Racine carrée

Soitaetbdeux réels positifs.nest un entier relatif.

• p a²= |a|

• p ap

b=p ab

• ra

b = pa

pb (bnon nul)

• p

aⁿ=¡p a¢n

• a>0 etb>0,p

a+b<p a+p

b gPropriété

tDémonstration 1

Démontrons la propriété :a>0 etb>0,p ap

b=p ab

tDémonstration 2

Démontrons la propriété :a>0 etb>0,p

a+b<p a+p

b.

1. Comparer les carrés des nombrespa+p betp

a+b.

2. Conclure.

tExercice 8

Montrer que les identités suivantes sont vraies : 1. Pour tout réelx,x∈[1 ; + ∞[,p

x³−x²=xp x−1 2. Pour tout réelx,x∈]0 ; + ∞[,p

x+ 1 px=

s(x+1)² x

III. Démonstration algébrique de l’irrationalité dep 2

tDémonstration 3

Cette démonstration a été proposée par Euclide.

raisonnons par l’absurde.

PropositionP :p

2 est rationnel.

SoitP est vraie soitP est vraie.

SiP est vraie, il existe deux entiers naturels non nulspetqtels quep 2=p

q etqle plus petit possible. On a p6=q.

1. En comparantp

2 à 1, comparerpetq. 2. Écrirep²en fonction deq².

3. Montrer quep(p−q)=q(2q−p). En déduirep

q en fonction de 2q−petp−q. 4. Sachant quep

2>0 c’est à dire p

q >0, montrer que le signe dep−2q<0 c’est à direp−q<q. 5. Écrire la contradiction.

6. Conclure sur le raisonnement.