Chapitre 5 : Interpolation

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Chapitre 5 : Interpolation

Maarten Jansen

Table de mati `eres

• Introduction au calcul num ´erique.

• Analyse des erreurs.

• R ésolution des syst èmes lin éaires.

• R ésolution num érique des équations diff érentielles ordinaires

• Interpolation.

• Curve fitting.

• R ésolution des équations non lin éaires.

M. Jansen, G. Bontempi INFO-F-205 Calcul Num ´erique — Chap. 5: Interpolation p.1

Un exemple pratique

• Consid érons une fonctionf(·), connue en forme analytique mais difficile à évaluer, diff érentier ou int égrer par ordinateur.

• Exemple :f(x) = sin

e^sign(x)√

|x|/2

• Pour des raisons num ériques, il est envisageable de remplacer cette fonction avec une approximation qui soit la plus fid èle possible mais avec une expression alg ébrique plus abordable.

• Nous ´evaluons la fonctions dans un petit nombre denoeudset nous interpolonsentre les valeurs obtenues.

• Une interpolation tr ès populaire est la polyligne, qui est une succession de segments (tronçons lin éaires)

Polyn ˆomes interpolants d’ordre 1 `a 6

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Polyn ˆomes interpolants d’ordre 7 `a 12

Un exemple pratique

Une étude d émographique collectionne des donn ées sur les prix des maisons en diff érents quartiers d’une ville en fonction des caract éristiques du quartier (taux de criminalit é, pollution, distance du centre ville, accessibilit é de transport en commun,...) (Boston house-price data (1978)).

PRICE CRIM ZN NOX DIS RAD

296.0 0.00632 18.00 0.5380 4.0900 1 242.0 0.02731 0.00 0.4690 4.9671 2 242.0 0.02729 0.00 0.4690 4.9671 2 222.0 0.03237 0.00 0.4580 6.0622 3

Probl ème: étant donn é un vecteur [CRIM,ZN,NOX,DIS,RAD], pour un nouveau établissement, comment calculer/estimer le prix ?

Interpolation et fitting

Soitf(·)une fonction dont on ne connaˆıt les valeurs qu’en certains points.

Deux cas :

• d éterministe: les valeurs sont exactes. Le probl ème de la pr édiction est abord é par les m éthodes d’interpolation.

• stochastique: les valeurs sont entach ées d’erreur. Le probl ème de la pr édiction est abord é par les m éthodes delissage(fitting) des donn ées.

Le probl `eme de l’interpolation

L’interpolation traite de l’approximation d’une fonction dont on ne connaˆıt les valeursexactesqu’en certains points.

Probl ème: étant donn én+ 1couples(x_i, y_i), trouver une fonctionφ(·)telle queφ(x_i) =y_ipouri= 0, . . . , n.

Quelques exemples d’interpolation :

Interpolation polynomiale :φ(·)est un polyn ˆome.

Approximation trigonométrique :φ(·)est un polyn ôme trigonom étrique.

Interpolation polynomiale par morceaux :φ(·)est polynomiale par morceaux (splines).

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Interpolation polynomiale

Consid éronsn+ 1couples(xi, yi). Le probl ème est de trouver un polyn ôme π_n ∈Pⁿd’ordren

π_n(x) =a_nxⁿ+· · ·+a₁x+a₀ tel queπ_n(x_i) =y_i, pouri= 0, . . . , n

Th éor ème[Existence et unicit é]

étant donn ésn+ 1points distinctsx₀, . . . , x_n etn+ 1valeurs corres- pondantesy₀, . . . , y_n, il existe un unique polyn ômeπ_ntel que

π_n(x_i) =y_i pouri= 0, . . . , n.

Comment trouver ce polyn ˆome ?

Comment calculer le polyn ˆome interpolant ?

• M éthode g én érale : Remplacer les coordonn ées des points dans l’expression du polyn ôme et r ésoudre le syst ème lin éaire.

— Proc ´edure co ˆuteuseO(n³).

— Syst `emes mal conditionn ´es.

• M ´ethodes ad hoc : co ˆutO(n²)

— M ´ethode de Lagrange.

— M ´ethode de Newton.

— Il trouve lem ême polyn ômeque la m éthode de Lagrange.

— Co ût de la mise à jour moins élev é que pour Lagrange.

Polyn ˆome de Lagrange

Il a la forme π_n(x) =

n

X

i=0

y_il_i(x)

o `u les polyn ˆomes li(x) =

n

Y

j=0,j6=i

x−xj

x_i−x_j i= 0, . . . , n sont lespolyn ˆomes caract ´eristiques de Lagrange.

Propri ´et ´es :

• Ils sont de degr ´en.

• Ils d ´ependent seulement des abscissesxi.

• l_i(x_i) = 1,i= 0, . . . , n

• l_i(x_j) = 0,∀j6=i

Polyn ˆome de Lagrange : exemple

´etant donn ´es lesn+ 1 = 4couples

x x₀ x₁ x₂ x₃ y y0 y1 y2 y3

le polyn ˆome interpolant de Lagrange est π3(x) =

= (x−x₁)(x−x₂)(x−x₃)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y₀+ (x−x₀)(x−x₂)(x−x₃) (x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)y₁+ + (x−x₀)(x−x₁)(x−x₃)

(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y₂+ (x−x₀)(x−x₁)(x−x₂) (x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)y₃

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Polyn ˆomes caract ´eristiques de Lagrange

Exemple :n= 6etX = [−3,−2,−1,0,1,2,3].

X = [−3,−2,−1,0,1,2,3] X = [−3,−2,−1.2,1.1,1.6,2.7,3]

Scripts pol lag.m

Interpolation de Lagrange Exemple :n= 6,X= [−3,−2,−1,0,1,2,3]etY =X³.

y(x) = x³ interp. points interpolation

Scripts lag.m

Polyn ˆomes nodals

Le polyn ôme interpolant peut être écrit sous la forme π_n(x) =

n

X

i=0

ω_n+1(x) (x−xi)ω_n+1^′ (xi)y_i

o ùω_n+1(x)est lepolyn ôme nodalde degr én+ 1d éfini par ωn+1(x) =

n

Y

i=0

(x−xi) = (x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn)

et, par cons ´equent, ω^′_n+1(xi) =

n

Y

j=0,j6=i

(xi−xj)

Polyn ˆomes nodals

Par exemple, sin= 2

ω₃(x) = (x−x₀)(x−x₁)(x−x₂) et puisque

ω^′₃(x) = (x−x₁)(x−x₂) + (x−x₀)(x−x₂) + (x−x₀)(x−x₁) ω₃^′(x₀) = (x₀−x₁)(x₀−x₂)

ω₃^′(x₁) = (x₁−x₀)(x₁−x₂) ω₃^′(x2) = (x2−x0)(x2−x1)

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Polyn ˆome nodal

Trac ´e d’un polyn ˆome nodalω₇(x)pour les noeuds[−3,−2,−1,0,1,2,3].

-3 -2 -1 0 1 2 3

-100 -50 0 50 100

Voir le script Matlabs nodal.

Erreur d’interpolation

Th ´eor `eme

Soient {x0, x1, . . . , xn}, n + 1 noeuds distincts et soit x un point ap- partenant au domaine de d éfinition de f(·). On suppose que f ∈ Cⁿ⁺¹(I_x) o ù I_x est le plus petit intervalle contenant les noeuds x0, x1, . . . , xn et x. L’erreur d’interpolation au point x est donn ée par

E_n(x) ^def= f(x)−π_n(x) = ^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(ξ)ω_n+1(x)

= ^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(ξ)(x−x0)(x−x1). . .(x−xn)

o ùξ∈I_xetω_n+1(·)est le polyn ôme nodal de degr én+ 1.

Erreur d’interpolation (II)

D ´efinitionLa norme de maximum d’une fonctionf ∈C⁰([a, b])est kfk∞= max

x∈[a,b]|f(x)| Soitkf⁽ⁿ⁺¹⁾k∞= max

x∈[a,b]|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|, alors on peut montrer que

|f(x)−π_n(x)| ≤ ^kf_(n+1)!⁽ⁿ⁺¹⁾^k^∞|ω_n+1(x)|

≤ ^kf_(n+1)!⁽ⁿ⁺¹⁾^k^∞kωn+1k∞

≤ ^kf⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^k^∞^(b−a)ⁿ⁺¹

(La premi ère borne d épend dex, la seconde d épend du polyn ôme nodal, donc des positions des noeuds, la troisi ème ne d épend que des noeuds extr èmesaetb)

Exercice TP

Consid ´erons la fonctionf(x) = sinxet supposons que la valeur de la fonction est connue pour les5noeuds[0.0,0.2,0.4,0.6,0.8].

• Calculer la borne sup ´erieure de la valeur absolue de l’erreur d’approximation du polyn ˆome interpolantπ₄

|E₄(x)|=|f(x)−π₄(x)| enx= 0.28

• Comparer la borne avec l’erreur r ´eelle en sachant que sin(0.28) = 0.2763556.

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Consid ´erations

• Le calcul de l’erreur d’interpolation demande la connaissance de la fonctionf(·).

• L’erreur est petite pr `es d’un noeud.

• L’erreur est autant plus petite que la fonction est lisse (smooth).

• On peut montrer que le maximum de|ω_n+1(x)|en[x₀, x_n]est atteint toujours dans un des deux intervalles extr ˆemes[x0, x1]ou[xn−1, xn].

• L’erreur d’extrapolation est typiquement sup ´erieure `a celle d’interpolation.

• Par d éfinition, sif(·)est un polyn ôme de degr én, l’erreur est nulle.

Polyn ˆome nodal et extrapolation

Trac ´e d’un polyn ˆome nodalω₇(x)pour les noeuds[−3,−2,−1,0,1,2,3].

-3 -2 -1 0 1 2 3

-300 -200 -100 0 100 200 300

La valeur absolue du polyn ˆome en dehors de l’intervalle d’interpolation[−3,3]

est beaucoup plus grande que la valeur `a l’int ´erieur de l’intervalle.

Voir le script Matlabs nodal.

Forme d’interpolation de Newton

Id ée: étant donn én+ 1paires(x_i, y_i), i= 0, . . . , n, repr ésenterπ_n(·) (polyn ôme interpolant pouri= 0, . . . , n) comme la somme deπ_n−1(·) (polyn ôme interpolant pouri= 0, . . . , n−1) et d’un polyn ôme de degr énqui d épend d’un seul coefficient inconnu : π_n(x) =π_n−1(x) +q_n(x)

Puisqueq_n(·)est un polyn ôme d’ordrentel que q_n(x_i) =π_n(x_i)−π_n−1(x_i) = 0pouri= 0, . . . , n−1, on a qn(x) =an(x−x0). . .(x−xn−1) =anωn(x) o ùω_n(x)est un polyn ôme nodal et d’o ù on d éduit que

π_n(x_n) =π_n−1(x_n) +q_n(x_n)⇔f(x_n) =π_n−1(x_n) +a_nω_n(x_n) a_n =^f^(xⁿ^)−π_ω ⁿ⁻¹^(xⁿ⁾

n(xn)

Diff ´erences divis ´ees de Newton

Le coefficienta_nest appel én-i èmediff érence divis ée de Newton an=f[x0, x1, . . . , xn] = f(xn)−πn−1(xn)

Qn−1

i=0(xn−xi)

Par cons ´equent on obtient la formulation r ´ecursive π_n(x) =π_n−1(x) +ω_n(x)f[x₀, x₁, . . . , x_n]

Puisqueωn+1(x) =Qn

i=0(x−xi), il s’ensuit que π₀(x) = ω₀(x)f[x₀]

π₁(x) = π₀(x) +ω₁(x)f[x₀, x₁] =π₀(x) + (x−x₀)f[x₀, x₁]

π2(x) = π1(x) +ω2(x)f[x0, x1, x2] =π1(x) + (x−x0)(x−x1)f[x0, x1, x2] . . .

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Diff ´erences divis ´ees de Newton : formule explicite

Puisqueπ0(x) =f(x0), en posanty0=f(x0) =f[x0]etω0= 1on obtient par r ´ecurrence

π_n(x) = Pn

k=0ω_k(x)f[x₀, . . . , x_k]

= f[x0] + (x−x0)f[x0, x1] + (x−x0)(x−x1)f[x0, x1, x2] +. . . +(x−x₀)(x−x₁). . .(x−x_n−1)f[x₀, . . . , x_n]

Le termef[x₀, . . . , x_n]est donc le coefficient dexⁿ dansπ_n(x). A partir de l’expression du polyn ôme interpolant de Lagrange nous obtenons que le termef[x0, . . . , xn]peut donc être écrit de la mani ère suivante

f[x₀, . . . , x_n] =

n

X

i=0

y_i ω^′_n+1(xi) =

n

X

i=0

y_i Qn

j=0,j6=i(xi−xj)

Diff érences divis ées de Newton : formule r écursive

On peut montrer que lakème diff érence divis ée de Newton a la forme suivante :

k= 0: f[x] =f(x)

k= 1: f[x₀, x] = f[x]−f[x0]

x−x₀ =f[x, x₀] k≥2:

f[x0, x1, . . . , xk−1, x] = f[x₁, . . . , x_k−1, x]−f[x₀, x₁, . . . , x_k−2, x_k−1] x−x0

Forme tabulaire

x_i f(xi) Df(xi) D²f(xi) . . . Dⁿf(xi)

x₀ f[x0]

x₁ f[x₁] f[x₀, x₁]= ^f[x_x^1]⁻^f[x^0]

1−x0 x₂ f[x₂] f[x₁, x₂] =^f[x_x^2]⁻^f[x^1]

2−x1 f[x₀, x₁, x₂]= ^f[x¹^,x_x^2]⁻^f[x⁰^,x^1]

2−x0 x₃ f[x3] f[x2, x₃] =^f[x_x^3]⁻^f[x^2]

3−x2 f[x1, x₂, x₃] =^f[x²^,x_x^3]⁻^f[x¹^,x^2]

3−x1 ..

. .. .

.. .

x_n f[xn] f[xn−1, x_n] f[xn−2, x_n−1, x_n] . . . f[x₀, . . . , x_n]

π_n(x) = Pn

k=0ω_k(x)f[x₀, . . . , x_k]

= f[x0]+ (x−x0)f[x0, x1]+ (x−x0)(x−x1)f[x0, x1, x2]+. . . +(x−x₀)(x−x₁). . .(x−x_n−1)f[x₀, . . . , x_n]

Exercice TP Diff ´erences divis ´ees pour la fonctionf(x) = sin(x)

0 0 0 0 0 0

0.5 0.4794 0.9589 0 0 0

1 0.8415 0.7241 -0.2348 0 0

1.5 0.9975 0.3120 -0.4120 -0.1182 0 2 0.9093 -0.1764 -0.4884 -0.0509 0.0336

Polyn ˆome interpolant :

π4(x) = 0+0.9589x−0.2348x(x−0.5)−0.1182x(x−0.5)(x−1) +0.0336x(x−0.5)(x−1)(x−1.5)

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Exercice TP

Donn ´ees et polyn ˆome interpolant.

Scripts pol new2.m

Propri ´et ´es

• Pourn+ 1points il est n écessaire de calculer une matrice triangulaire inf érieure de taillenlaquelle an(n+ 1)/2él éments diff érents de z éro.

• n(n+ 1)additions etn(n+ 1)/2divisions sont n écessaires pour construire la matrice triangulaire inf érieure des diff érences divis ées.

• Si on disposait de la valeur prise parf(·)dans un nouveau noeud xn+1, on aurait à calculer simplement une ligne suppl émentaire compos ée parn+ 1él éments.

• Pour construireπ_n+1(·) à partir deπ_n(·),(n+ 1)divisions et2(n+ 1) additions sont n écessaires, donc un co ûtO(n).Ceci n’est pas le cas pour la m éthode de Lagrange o ù il est n écessaire de r ép éter toute la proc édure avec un co ûtO(n²).

Voir la fonction Matlabdividf.mdans le livre Quarteroni et le script s pol new.

Convergence uniforme

• L’ ´etude de convergence uniforme analyse le comportement de la norme du maximum de l’erreur quandntend vers l’infini.

• Propri ´et ´eSoientx0, x1, . . . , xn,n+ 1noeuds d’interpolation distincts dans[a, b]etπ_n l’interpolation polynomiale. Quandn→ ∞il est toujourspossible de trouver une fonctionf pour laquelle

n→∞lim kf−πnk∞6= 0o `u kgk∞= max_x∈[a,b]|g(x)|.

• L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher

convenablement toute fonction continue. Ceci est le cas pour des fonctions dont les points singuliers sont trop proches `a l’intervalle[a, b].

• Notons que ceci n’est pas en contradiction avec le th éor ème de Weierstrassselon lequel pour toute fonction continuef ∈C([a, b])il existe toujours une s érie de polyn ômesp_ntelle que

n→∞lim kf−pnk∞= 0.Malheureusement ces polyn ˆomes ne peuvent pas ˆetre obtenus par interpolation.

Contre-exemple de Runge

Supposons qu’on approche la fonction f(x) = 1

1 +x²

en utilisant l’interpolation de Lagrange avecnoeuds équir épartis. Puisque les d ériv ées de la fonction ne sont pas born ées on peut v érifier qu’il existe des pointsxà l’int érieur de l’intervalle d’interpolation tels que

n→∞lim |f(x)−πn(x)| 6= 0 c.- à-d. l’approximation se d égrade en ajoutant donn ées.

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Exemple Matlab

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Les polyn ômes d’interpolation pr ésentent des oscillations qui augmentent avec le degr é du polyn ôme.

Voir le script Matlabs runge.m.

Conditionnement du probl `eme

• Le conditionnement du probl ème d’interpolation peut être d écrit en fonction des polyn ômes caract éristiques par la constante de Lebesgue associ ée aux noeuds d’interpolation

Λn=k

n

X

i=0

|li(x)|k∞

• Supposons de perturber les donn ´ees de la mani `ere suivante ˆ

yi =yi+δi et soitπˆnle polyn ôme perturb é r ésultant. Il est possible montrer que kπ_n−πˆ_nk∞

kπnk∞ ≤Λ_nkδk∞

kfk∞

• En particulier pour des noeuds ´equir ´epartis on peut montrer que Λ_n≈ 2ⁿ⁺¹

enlogn

Instabilit ´e de l’interpolation

Une petite variation des donn ées, pour noeuds équir épartis, cause une large variation de l’approximation.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

2 Splines

• Le fonction de Runge et les probl èmes d’instabilit é mettent en lumi ère le fait que l’interpolation polynomiale n’est pas bien adapt ée à

l’approximation de fonctions pour grandn.

• L’avantage des spline est qu’en augmentantnon augment le nombre de morceaux et non le degr ´e des polyn ˆomes.

• Dans le domaine du design, en construction automobile par exemple, les splines sont utilis ´ees pour approcher des contours complexes.

Leur simplicit é d’impl émentation les rend tr ès populaires et elles sont fr équemment utilis ées dans les logiciels de dessin.

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Splines

D ´efinitionSoient{x₀, . . . , x_n},n+ 1noeuds distincts de[a, b]avec a=x₀< x₁<· · ·< x_n =b

La fonctions_k(x)sur l’intervalle[a, b]est unesplinede degr ´ekrelative aux noeudsxisi s_k,i=s_k|[x_i_,x_i+1_] ∈ P_k, pour i= 0,1, . . . , n

sk ∈ C^k−1[a, b]

Tout polyn ôme de degr éksur[a, b]est une spline, mais... en pratique, on consid ère

• splines constitu ées denpolyn ômes diff érentssk,i sur chaque sous-intervalle[x_i, x_i+1]o ù

• il peut y avoir desdiscontinuit és de la d ériv éek-i ème aux noeuds internes (actives).

Interpolation par splines :n= 2

2

x₀ x₁

y

y₀

1

x₂ y

Spline : ordrek= 0

s

x₀ x₁

y

y₀

1

x₂ y₂

s0,1 0,0

(11)

1,1

x₀ x₁

y

y₀

1

x₂ y₂

s s

1,0

2,1

x₀ x₁

y

y₀

1

x₂ y₂

s

2,0

s

x₀ x₁

y

y₀

1

x₂ y₂

3,0 3,1

s

Calcul d’une spline

Lei-i ème,i= 0, . . . , n−1polyn ômes_k,i=s_k|[x_i_,x_i+1_] composant la spline est d’ordreket peut être écrit sous la forme

s_k,i=

k

X

h=0

s_hi(x−x_i)^h

Calculer une spline équivaut à d éterminer(k+ 1)ncoefficientss_hi. Conditions :

• k(n−1)pour les d ´eriv ´ees:

s^(m)_k,i−1(xi) =s^(m)_k,i (xi) pouri= 1, . . . , n−1etm= 0, . . . , k−1

• n+ 1interpolations:s_k(x_i) =f(x_i)pouri= 0, . . . , n.

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Conditions additionnelles Encorek−1degr és de libert é à fixer. Deux options :

1. splines p ´eriodiques

s^(m)_k (a) =s^(m)_k (b) m= 1, . . . , k−1

2. splines naturellesPourk= 2l−1, avecl≥2on a2(l−1) =k−1 conditions additionelles s^(l+j)_k (a) = 0

s^(l+j)_k (b) = 0 j= 0,1, . . . , l−2 Exemple : Sik= 3, alorsl= 2

s⁽²⁾_k (a) =s⁽²⁾_k (b) = 0

Splines cubiques

Les splines d’interpolations cubiques (degr ´ek= 3) sont importantes car 1. Ce sont les splines de plus petit degr ´e qui permettent une

approximationC²(donc la d ériv ée premi ère est continue d’ordre1), 2. elles ont de bonnes propri ét és de r égularit é.

Calcul d’une spline cubique (I)

Il faut d ´eterminer(k+ 1)n= 4ncoefficients pour d ´eterminers₃(·).

Conditions :

• s₃(x⁻_i ) =f(x_i) =s₃(x⁺_i ) pouri= 1, . . . , n−1 [2(n−1)]

• s₃(x₀) =f(a) [1]

• s3(xn) =f(b) [1]

• s^′₃(x⁻_i ) =s^′₃(x⁺_i ) pouri= 1, . . . , n−1 [(n−1)]

• s^′′₃(x⁻_i ) =s^′′₃(x⁺_i ) pouri= 1, . . . , n−1 [(n−1)]

En totale,4n−2conditions. Lesk−1 = 2restantes sont impos ´ees via les conditions additionnelles.

Le calcul d’une spline demande donc la r ésolution d’un syst ème lin éaire de de 4n équations. Nous verrons dans la suite que il est toutefois possible formuler le probl ème de mani ère telle à r éduire la taille du syst ème à l’ordren+ 1.

Calcul d’une spline cubique (II)

Introduisons les notations suivantes :

f_i=s₃(x_i), m_i =s^′₃(x_i), M_i=s^′′₃(x_i), i= 0, . . . , n

Puisques_3,i−1(·)∈P³,s^′′_3,i−1(·)est lin ´eaire ets^′′_3,i−1(x_i−1) =M_i−1, s^′′_3,i−1(xi) =Mi

s^′′_3,i−1(x) =Mi−1xi−x

h_i +Mix−xi−1

h_i pourx∈[x_i−1, x_i],i= 1, . . . , no `uh_i =x_i−x_i−1. En int ´egrant

s^′_3,i−1(x) = −M_i−1^(xⁱ_2h^−x)²

i +M_i^(x−x_2hⁱ⁻¹⁾²

i +C_i−1

s_3,i−1(x) = M_i−1^(xⁱ_6h^−x)³

i +M_i^(x−x_6hⁱ⁻¹⁾³

i +C_i−1(x−x_i−1) + ˜C_i−1

(13)

Calcul d’une spline cubique (III)

En imposant les valeurs aux extr ´emit ´ess_3,i−1(x_i−1) =f_i−1ets_3,i−1(x_i) =f_i, on a

fi−1=s3,i−1(xi−1) =Mi−1h³_i

6hi + ˜Ci−1⇔C˜i−1 = fi−1−Mi−1h²_i 6

f_i=s_3,i−1(x_i) =M_i_6h^h³ⁱ

i +C_i−1h_i+ ˜C_i−1⇔C_i−1 = ^fⁱ^−f_hⁱ⁻¹

i −^h₆ⁱ(M_i−M_i−1) Notons que les conditions d’interpolation nous permettent le calcul des constantsC_ietC˜_ipouri= 1, . . . , n.

Calcul d’une spline cubique (IV) Puisque

s^′_3,i−1(x) = −M_i−1^(xⁱ_2h^−x)²

i +M_i^(x−x_2hⁱ⁻¹⁾²

i +^fⁱ^−f_hⁱ⁻¹

i −^h₆ⁱ(M_i−M_i−1) s^′_3,i(x) = −M_i^(xⁱ⁺¹_2h^−x)²

i+1 +M_i+1^(x−x_2h ⁱ⁾²

i+1 +^fⁱ⁺¹_h ^−fⁱ

i+1 −^hⁱ⁺¹₆ (M_i+1−M_i) en imposant la continuit é de la d ériv ée premi ère enx_i

s^′_3,i−1(xi) = s^′₃(x⁻_i ) = ^h₆ⁱMi−1+^h₃ⁱMi+^fⁱ^−f_h_iⁱ⁻¹

= −^hⁱ⁺¹₃ M_i−^hⁱ⁺¹₆ M_i+1+^fⁱ⁺¹_h ^−fⁱ

i+1 =s^′₃(x⁺_i ) =s^′_3,i(x_i) pouri= 1,· · ·, n−1.

Calcul d’une spline cubique (V)

• Ceci conduit au syst ème lin éaire tridiagonal (dit deM-continuit é) avec n+ 1inconnues etn−1 équations

h_i

6M_i−1+h_i+h_i+1

3 M_i+h_i+1

6 M_i+1= f_i+1−f_i

hi+1 −f_i−f_i−1 hi

pour i= 1, . . . , n−1.

• Pour obtenir une splinenaturelleon rajoute les2conditions suppl ´ementaires







M₀=s⁽²⁾₃ (x₀) = 0 M_n=s⁽²⁾₃ (x_n) = 0

Exercice TP

Spline cubique (k= 3) naturelle pour la fonctionf(x) = sin(x). Donn ´ees (n= 4) :

0 0.5 1 1.5 2

0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093

Puisqueh_i= 0.5pouri= 1,2,3et hi

6 = 0.0833, hi+hi+1

3 = 0.3333, i= 1,2,3 et











2∗(f2−f1)−2∗(f1−f0) =−0.2348 2∗(f₃−f₂)−2∗(f₂−f₁) =−0.4120 2∗(f4−f3)−2∗(f3−f2) =−0.4884

(14)

nous obtenons le syst `eme de M-continuit ´e :







1.0000 0 0 0 0

0.0833 0.3333 0.0833 0 0 0 0.0833 0.3333 0.0833 0 0 0 0.0833 0.3333 0.0833

0 0 0 0 1.0000











 M0

M₁ M₂ M3

M₄







=





 0

−0.2348

−0.4120

−0.4884 0







En resolvant le syst `eme nous obtenonsMi, i= 0, . . . ,4et donc nous pouvons calculerC_i−1etC˜_i−1pouri= 1, . . . ,4. Ceci nous permet d’ ´ecrire les

´equations des4morceaux de spline.

Exercice TP Scripts spline2.m

Spline et fonction de Runge

nombre de noeuds = 8 nombre de noeuds = 60

-30 -2 -1 0 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y=1/(1+x²) points spline

-30 -2 -1 0 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y=1/(1+x²) points spline

Scripts ru spl.m, fonction[s,A,b]=spcub(X,Y,x)

Limitations

Les splines d’interpolation pr ´esentent deux inconv ´enients :

• La spline peut-elle aussi d évenir oscillante si les d ériv ées de la fonction à interpoler deviennent trop grandes (>>1).

• la spline d épend du choix du syst ème de coordonn ées, donc elle ne poss ède pas une propri ét é d’invariance g éom étrique.

• Ceci peut être g ênant si la spline est utilis ée pour repr ésenter graphiquement une courbe qui n’est pas un graphique d’une fonction (par exemple une ellipse). Une solution vient du fait de repr ésenter la spline de mani ère param étrique (coordonn éesxetyfonction d’un param ètret).