ESTIMATION NON-PARAM´ETRIQUE DE LA FONCTION DE HASARD AVEC VARIABLE EXPLICATIVE FONCTIONNELLE: CAS DES DONN´EES SPATIALES

DE LA FONCTION DE HASARD AVEC VARIABLE EXPLICATIVE FONCTIONNELLE:

CAS DES DONN´ EES SPATIALES

ALI LAKSACI et BOUBAKEUR MECHAB

In this paper, we study a kernel estimator of the conditional hazard function when the covariates take values in some abstract function space. The almost completely convergence (with rate) of this estimate is obtained when the sample considered is collected in spatial order with mixing structure. These results are extensions to spatial dependent data of the results given by Ferratyet al. (Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 53(2008), 1–18).

AMS 2010 Subject Classification: 62G05, 62G20, 62N02.

Key words: donn´ees spatiales, champ al´eatoire fonctionnel, estimation non-para- m´etrique, fonction de hasard conditionnelle, probabilit´es de petites boules.

1. INTRODUCTION

Les probl`emes statistiques li´es `a la mod´elisation et `a l’´etude de donn´ees spatiales connaissent ces derniers temps un grand int´erˆet en statistique. L’im- portance de ce th`eme de recherche est motiv´ee par la croissance du nombre de probl`emes concrets pour lesquels les donn´ees sont r´ecolt´ees dans un ordre spatial. De tels probl`emes se rencontrent dans de nombreux domaines tels l’´epid´emiologie, l’´econom´etrie, les sciences de l’environnement et de la terre, l’agronomie, l’imagerie, . . . . En statistique non param´etrique la mod´elisation des donn´ees spatiales est relativement r´ecente par rapport au cas param´etrique.

En effet, les premiers r´esultats ont ´et´e obtenus par Tran [21], tandis que les r´ef´erences les plus r´ecentes incluent celles de Dabo-Niang et Yao [6], Carbonet al. [4] et Li et Tran [17]. L’objectif de ce travail est d’´etudier l’estimation non param´etrique de la fonction de hasard conditionnelle lorsque les observations sont `a la fois spatialement d´ependantes et la coraviable est dans un espace semi-m´etrique de dimension ´eventuellement infinie.

L’estimation de la fonction de hasard joue un rˆole tr`es important en statistique. En effet, elle est utilis´ee dans l’analyse de risque ou pour l’´etude

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL.,55(2010),1, 35–51

des ph´enom`enes de survie dans de nombreux domaines tels (m´edecine, g´eophy- sique, fiabilit´e,. . .). La litt´erature sur l’estimation de la fonction de hasard est tr`es abondante, lorsque les observations sont vectorielles. Citons, par exemple, Watson et Leadbetter [22], Roussas [20], Lecoutre et Ould-Said [15], Est`evez et al. [7] et Quintela-del-Rio [13] pour des r´ef´erences r´ecentes. Dans tous ces travaux les auteurs consid`erent des observations ind´ependantes ou des donn´ees d´ependantes issues de s´eries temporelles. Dans le cas spatial, la litt´erature est tr`es restreinte, il n’y a qu’un seul travail de Li et Tran [16]. Ces derniers ont obtenu, dans un contexte spatial, la normalit´e asymptotique d’un estimateur

`

a noyau de la fonction de hasard. Les premiers r´esultats sur l’estimation non param´etrique de ce mod`ele, en statistique fonctionnelle, ont ´et´e obtenus par Ferraty et al. [9]. Ils ont ´etudi´e la convergence presque compl`ete d’un es- timateur `a noyau pour la fonction de hasard d’une variable al´eatoire r´eelle conditionn´ee par une variable explicative fonctionnelle. La normalit´e asymp- totique de ce dernier estimateur a ´et´e obtenue, dans le cas α-m´elangeant, par Quintela-del-Rio [14]. Nous renvoyons `a Ferratyet al. [10] pour la conver- gence presque compl`ete uniforme sur la composante fonctionnelle de ce mod`ele non param´etrique.

L’apport principal de ce travail est la g´en´eralisation des r´esultats de Ferraty et al. [9] au cas des observations spatialement d´ependantes. Sous des conditions de m´elange assez g´en´erales, on ´etablit la convergence presque compl`ete (avec vitesse) d’un estimateur `a noyau pour la fonction de hasard d’une variable al´eatoire r´eelle conditionn´ee par une variable explicative fonc- tionnelle. Notons que, comme toutes les propri´et´es asymptotiques en statis- tique non param´etrique fonctionnelle, notre r´esultat est li´e au ph´enom`ene de concentration de la mesure de probabilit´e de la variable explicative et `a la r´egularit´e de l’espace fonctionnel du mod`ele. Mentionnons ´egalement qu’en statistique spatiale, on distingue deux types d’asymptotiques (voir Cressie [5]).

L’asymptotique extensive et l’asymptotique intensive. La premi`ere traite le cas o`u la taille des observations croˆıt avec celle du domaine d’observation.

En pratique, cette asymptotique est utilis´ee lorsque les observations sont collect´ees par des stations de mesure s´epar´ees. On trouvera des exemples de donn´ees fonctionnelles, adapt´ees `a cet asymptotique, en ´economie (les courbes de consommation d’un produit quelconque dans diff´erentes villes), en- vironnement (les courbes de concentration d’un gaz polluant dans diff´erentes r´egions) ou en agronomie (les courbes de pluviom´etrie dans diff´erentes lo- calit´es). L’asymptotique intensive examine la situation d’observations qui se densifient dans un domaine born´e fix´e. Cela est le cas, par exemple, en prospection mini`ere ou en analyse radiographique.

Nous pr´esentons l’estimateur de notre mod`ele spatial dans le Paragra- phe 2. Dans le Paragraphe 3 nous donnons les hypoth`eses, puis nous ´etudions

la convergence presque compl`ete de cet estimateur. Comme application, nous traitons, dans le Paragraphe 4, l’estimation de risque maximum condition- nellement `a une variable explicative fonctionnelle.

2. LE MOD `ELE ET SON ESTIMATEUR

SoitN un entier naturel dans N^∗. On consid`ere le champ al´eatoire Z<sub>i</sub>= (Xi, Yi),i∈N<sup>N</sup> `a valeurs dansF ×R, o`u (F, d) est un espace semi-m´etrique de dimension ´eventuellement infinie. Dans ce contexte, (X<sub>i</sub>)<sub>i∈N</sub>N peut ˆetre une variable al´eatoire fonctionnelle. Notons que, depuis une bonne dizaine d’ann´ees, la communaut´e statistique s’est pr´eoccup´ee du d´eveloppement de mod`eles et m´ethodes adapt´es `a ce contexte de donn´ees fonctionnelles. Alors que les premi`eres ´etudes dans cette direction se sont essentiellement con- centr´ees sur des mod`eles lin´eaires (voir Bosq [2], Ramsay et Silverman [19]), les d´eveloppements r´ecents (voir Ferraty et Vieu [11]) font ´etat de mod`eles non-param´etriques adapt´es `a ce type de donn´ees.

Par la suite, on fixe un point x dans F (respectivement, un compact S ∈ R), on suppose que les observations spatiales (X_i, Y_i)_i∈NN ont la mˆeme distribution queZ := (X, Y) et que la version r´eguli`ere de la probabilit´e condi- tionnelle de Y sachantX=x existe et admet une densit´e born´ee par rapport

`

a la mesure de Lebesgue sur R, not´ee f^x. Le param`etre fonctionnel ´etudi´e dans cet article, not´e h^x, est d´efini, pour touty∈Rtel queF^x(y)<1, par

h^x(y) = f^x(y) 1−F^x(y),

o`uF^x est la fonction de r´epartition conditionnelle de Y sachantX=x.

Par ailleurs, nous supposons que le champ al´eatoire fonctionnel est ob- serv´e sur l’ensemble In=

i= (i1, . . . , iN) ∈N^N, 1≤ik ≤nk, k = 1, . . . , N , n= (n1, . . . , n_N)∈N^N et on estime la fonction de r´epartition conditionnelle par

Fb^x(y) = P

i∈I_nK(h⁻¹_K d(x, X_i))H(h⁻¹_H (y−Y_i)) P

i∈InK(h⁻¹_K d(x, Xi)) ∀y∈R,

o`u K est un noyau,H une fonction de r´epartition ethK =hK,n (respective- ment, h_H =h_H,n) une suite de nombres r´eels positifs.

De Fb^x, on d´eduit un estimateur de la densit´e conditionnelle, not´e fb^x, d´efini par

fb^x(y) = h⁻¹_H P

i∈I_nK(h⁻¹_Kd(x, X_i))H⁰(h⁻¹_H (y−Y_i)) P

i∈InK(h⁻¹_K d(x, Xi)) ∀y∈R,

o`u H⁰ est la d´eriv´ee de H. Notons que, si N = 1, on obtient les mˆemes estimateurs de Ferratyet al. [8]. L’estimateur naturel de la fonction de hasard

conditionnelle, not´e bh^x, est

bh^x(y) = fb^x(y)

1−Fb^x(y) ∀y∈R.

Le but de ce travail est d’´etudier la convergence presque compl`ete de l’estimateurbh^x versh^x, lorsque le champ al´eatoire fonctionnel (Z_i)_i∈N^N v´erifie la condition de m´elange suivante.











Il existe une fonctionϕ(t)↓0 quand t→ ∞, telle que

∀E, E⁰ sous ensemble de N^N de cardinal fini α(B(E),B(E⁰)) = sup

B∈B(E), C∈B(E⁰)

|P(B∩C)−P(B)P(C)| ≤

≤ψ(Card (E),Card(E⁰))ϕ(dist (E, E⁰)),

o`u B(E) (resp. B(E⁰)) la tribu bor´elienne engendr´ee par (Z_i, i∈E) resp.

(Z_i, i ∈ E⁰)

, Card(E) resp. Card(E⁰)

est le cardinal de E resp. E⁰ , dist(E, E⁰) d´esigne la distance euclidien entre E et E⁰ et ψ une fonction sym´etrique :N² →R⁺, d´ecroissante par rapport aux deux variables s´epar´ement et satisfait l’une des conditions suivantes

(1) ψ(n, m)≤Cmin (n, m), n, m∈N ou

(2) ψ(n, m)≤C(n+m+ 1)^βe, n, m∈N pour certains βe≥1 et C >0.

Notons que ces conditions ont ´et´e utilis´ees par Tran [21] et elle sont v´erifi´ees par de nombreux mod`eles spatiaux (voir Guyon [12]).

3. PROPRI ´ET ´ES ASYMPTOTIQUES

Dans la suite, nous noterons par C et/ou C⁰ des constantes strictement positives quelconques et nous supposons que: ∀y ∈ S,F^x(y)<1. Rappelons que dans ce contexte spatial, n → ∞ signifie que min{n_k} → ∞ et que pour chaque 1≤j, k≤N on a|ⁿ_n^j

k|< C <∞. Introduisons les hypoth`eses suivantes (H1)P(X∈B(x, r)) =φ<sub>x</sub>(r)>0 o`uB(x, r) est la boule ferm´ee, centr´ee en x et de rayonr.

(H2) La fonctionϕ v´erifie

∞

P

i=1

i^δϕ(i)<∞,δ >5N. (H3) 0 < sup

i6=j P[(X_i, X_j)∈B(x, h)×B(x, h)] ≤ C(φ_x(h))^(a+1)/a, avec 1< a < δN⁻¹.

(H4) Il existe un voisinage de x, not´e Nx, tel que: ∀(x₁, x2) ∈ N_x²,

∀(y₁, y₂)∈ S²

|F^x1(y1)−F^x2(y2)| ≤C d^b1(x1, x2) +|y₁−y2|^b2

, b1>0, b2>0

|f^x1(y1)−f^x2(y2)| ≤C d^b3(x1, x2) +|y₁−y2|^b4

, b3 >0, b4 >0.

(H5) K est de support [0,1], v´erifie C1I_[0,1](·) ≤ K(·) ≤ C⁰1I_[0,1](·), o`u 1I_[0,1] est la fonction indicatrice de [0,1].

(H6)H est une fonction de classeC² et `a support compact.

(H7) Il existe 0< α <(δ−5N)/3N etη₀ >0, tels que:

n→∞lim nb^αh_H =∞ et Cnb^{(5+3α)N−δδ +η0} ≤h_Hφ_x(h), o`unb=n1. . . nN.

Nos hypoth`eses sont relativement standard, puisque les conditions (H1), (H3)–(H7) sont tr`es similaires `a celles utilis´ees par Ferraty et al. [9], tandis que l’hypoth`ese (H2) est la mˆeme que dans Tran [21].

Th´eor`eme 1. Sous les hypoth`eses (1), (2) et(H1)–(H7), on a, sup

y∈S

|bh^x(y)−h^x(y)|=O

h^b_K¹ +h^b_H²

+O

lognb nbh_Hφx(h_K)

¹

2

!

, p.co.

Il est int´eressant de noter que si N = 1 on obtient la mˆeme vitesse de convergence de Ferraty et al. [9].

D´emonstration. On consid`ere la d´ecomposition bh^x(y)−h^x(y) = 1

1−Fb^x(y) h

fb^x(y)−f^x(y) i

+ h^x(y) 1−Fb^x(y)

h

Fb^x(y)−F^x(y) i

.

La d´emonstration du Th´eor`eme 1 repose sur les r´esultats suivants sup

y∈S

|Fb^x(y)−F^x(y)|=O

h^b_K¹ +h^b_H²

+O

logbn nbφ_x(h_K)

¹₂!

p.co.

sup

y∈S

|fb^x(y)−f^x(y)|=O

h^b_K¹+h^b_H² +O

logbn bnhHφx(hK)

¹₂!

p.co.

∃η >0 tel que X

n∈N^N

P

y∈Sinf|1−Fb^x(y)|< η

<∞,

dont les d´emonstrations sont bas´ees, respectivement, sur les d´ecompositions Fb^x(y)−F^x(y) = 1

Fb_D^x n

Fb_N^x(y)−EFb_N^x(y)

−

F^x(y)−EFb_N^x(y) o

+ +F^x(y)

Fb_D^x

EFb_D^x−Fb_D^x

et

fb^x(y)−f^x(y) = 1 Fb_D^x

n

fb_N^x(y)−Efb_N^x(y)

−

f^x(y)−Efb_N^x(y)o + +f^x(y)

Fb_D^x

EFb_D^x −Fb_D^x o`u

Fb_D^x = 1 nbE

K(h⁻¹_K d(x, X1)) X

i∈In

K(h⁻¹_K d(x, X_i)),

Fb_N^x(y) = 1 nbE

K(h⁻¹_K d(x, X₁)) X

i∈In

K(h⁻¹_K d(x, X_i))H(h⁻¹_H (y−Y_i), et

fb_N^x(y) = 1 nhb HE

K(h⁻¹_K d(x, X1)) X

i∈In

K(h⁻¹_K d(x, Xi))H⁰(h⁻¹_H (y−Yi), o`u1 est l’indice spatial des composantes fix´ees `a 1.

Finalement, le Th´eor`eme 1 est une cons´equence des r´esultats suivants.

Lemme 2. Sous les hypoth`eses (1), (2), (H1)–(H3), (H5) et(H7), on a, Fb_D^x −EFb_D^x =O

lognb nbφ(hK)

¹₂!

, p.co.

Corollaire 3. Sous les hypoth`eses du Lemme2, on a, X

n∈N^N

P

Fb_D^x <1/2

<∞.

Lemme 4. Sous les hypoth`eses (H1) et (H4)–(H7), on a, sup

y∈S

F^x(y)−EFb_N^x(y) =O

h^b_K¹+h^b_H²

.

Lemme 5. Sous les conditions du Th´eor`eme 1, on a, sup

y∈S

Fb_N^x(y)−EFb_N^x(y) =O

lognb nbφ(h_K)

¹₂!

, p.co.

Lemme 6. Sous les hypoth`eses (H1) et (H4)–(H7), on a, sup

y∈S

f^x(y)−Efb_N^x(y) =O

h^b_K³+h^b_H⁴

.

Lemme 7. Sous les conditions du Th´eor`eme 1, on a, sup

y∈S

fb_N^x(y)−Efb_N^x(y) =O

lognb bnhHφx(hK)

¹₂!

, p.co.

Lemme 8. Sous les conditions du Th´eor`eme 1, on a,

∃η >0 tel que X

n∈N^N

P

y∈Sinf|1−Fb^x(y)|< η

<∞.

4. APPLICATION: ESTIMATION DU POINT `A HAUT RISQUE Dans cette section, on se propose d’estimer le point `a haut risque dans S, not´e θ(x), d´efini par

(3) h^x(θ(x)) = max

y∈S h^x(y).

Ce mod`ele a un grand int´erˆet en statistique, notamment dans l’analyse de risque sismique (voir Quintela-del-Rio [13]). Dans notre contexte fonctionnel, on suppose qu’il existe un point uniqueθ(x) dansS v´erifiant (3). L’estimateur naturel de θ(x) , not´e θ(x), est tel queb

(4) bh^x(bθ(x)) = max

y∈S bh^x(y).

En g´en´eral, cet estimateur n’est pas unique. Ainsi, dans toute la suite de cet article bθ(x) d´esignera toute variable al´eatoire v´erifiant (4).

Afin d’´etudier la convergence presque compl`ete de l’estimateur θ(x), onb garde les hypoth`eses de la section pr´ec´edente et on suppose que la fonctionh^x est de classeC² par rapport `ay et telle que

(5) h^x0(θ(x)) = 0 et h^x00(θ(x))>0.

Finalement, le th´eor`eme pr´ec´edent nous permet de conclure le corollaire suivant:

Corollaire 9. Sous les conditions (1), (2), (H1)–(H7) et (5), on a, θ(x)b −θ(x) =O

h^b_K^1/2+h^b_H^2/2 +O

lognb nbh_Hφ_x(h_K)

¹₄!

, p.co.

5. APPENDICE

Dans les preuves suivantes nous noterons pour touti∈In

Ki(x) =K(h⁻¹_K d(x, Xi)), Hi(y) =H(h⁻¹_H (y−Yi)) et

H_i⁰(y) =H⁰(h⁻¹_H (y−Y_i)).

D´emonstration du Lemme 2. La d´emonstration est bas´ee sur des id´ees similaires `a celles utilis´ees par Carbon et al. [3]. En effet, on a

Fb_D^x(x)−E[Fb_D^x(x)] = 1 nEb [K1(x)]

X

i∈In

∆_i(x)

o`u ∆<sub>i</sub>(x)K<sub>i</sub>(x)−E[K<sub>i</sub>(x)]. On consid`ere la d´ecomposition spatiale de Tran [21]

sur les variables ∆_i(x), d´efinie, pour un entier p_n fix´e, de la mani`ere suivante U(1,n, x,j) =

2j_kpn+pn

X

i_k=2j_kpn+1 k=1,...,N

∆i(x),

U(2,n, x,j) =

2jkpn+pn

X

ik=2jkpn+1 k=1,...,N−1

2(jN+1)pn

X

iN=2jNpn+pn+1

∆_i(x),

U(3,n, x,j) =

2j_kpn+pn

X

i_k=2j_kpn+1 k=1,...,N−2

2(jN−1+1)pn

X

iN−1=2jN−1pn+pn+1

2j_Npn+pn

X

i_N=2j_Npn+1

∆i(x),

U(4,n, x,j) =

2jkpn

X

ik=2jkpn+1 k=1,...,N−2

2(jN−1+1)pn

X

iN−1=2jN−1pn+pn+1

2(jN+1)pn

X

iN=2jNpn+pn+1

∆_i(x),

et ainsi de suite. Les deux derniers termes sont U(2^N−1,n, x,j) =

2(jk+1)pn

X

ik=2jkpn+pn+1 k=1,...,N−1

2jNpn+pn

X

iN=2jNpn+1

∆_i(x),

U(2^N,n, x,j) =

2(jk+1)pn

X

i_k=2j_kpn+pn+1 k=1,...,N

∆i(x).

Pour ri = 2⁻¹nip⁻¹_n , i = 1, . . . , N et J = {0, . . . , r₁ − 1} × . . .× {0, . . . , r_N−1}, on pose

T(n, x, i) =X

j∈J

U(i,n, x,j).

Sans perte de g´en´eralit´e, on peut ´ecrire (6) |Fb_D^x(x)−E[Fb_D^x(x)]|= 1

bnE[K1(x)]

2^N

X

i=1

T(n, x, i),

parce que mˆeme si n_i n’est pas exactement ´egal `a 2r_ip_n, on regroupe les variables restantes dans un bloc T(n, x,2^N + 1) (ceci ne changera pas la d´emonstration voir Biau et Cadre [1]).

Maintenant, en vertu de la derni`ere ´equation (6), pour chaqueη >0 on a P

|Fb_D^x(x)−E[Fb_D^x(x)]| ≥η

≤2^N max

i=1,...P(T(n, x, i)≥ηbnE[K1(x)]). Ainsi, il suffit de calculer

P(T(n, x, i)≥ηbnE[K1(x)]) pour chaquei= 1, . . . ,2^N.

On traite seulement le casi= 1. Pour cela, on re-num´erote les variables (U(1,n, x,j);j∈ J) et on applique le Lemme 4.5 de Carbon et al. [3] sur les variables re-num´erot´ees. Les variables avec la nouvelle num´erotation seront not´ees Z₁, . . . , Z_M o`u M =QN

k=1r_k = 2^−Nnpb ^−N_n ≤npb ^−N_n . Remarquons que, pour chaque Zj il existe un certain jdansJ tel que

Z_j = X

i∈I(1,n,x,j)

∆_i(x)

o`uI(1,n, x,j) ={i: 2j<sub>k</sub>p<sub>n</sub>+ 1≤i<sub>k</sub>≤2j<sub>k</sub>p<sub>n</sub>+p<sub>n</sub>;k= 1, . . . , N}.La distance s´eparant ces ensembles est sup´erieure `a p^N_n et chaque ensemble contient p^N_n

´

el´ements.

Le Lemme 4.5 de Carbon et al. [3] nous permet d’approximerZ1,Z2,. . ., Z_M par des variables al´eatoires ind´ependantes Z₁^∗, . . . , Z_M^∗ de mˆeme loi que Z_j=1,...,M et telle que

M

X

j=1

E|Z_j−Z_j^∗| ≤2CM p^N_nψ(M −1)p^N_n, p^N_n ϕ(pn).

Alors, d’apr`es les in´egalit´es de Bernstein et de Markov, on a P(T(n, x, i)≥ηnEb [K1(x)])≤B1+B2,

o`u

B₁ =P





M

X

j=1

Z_j^∗

≥ M ηnbE[K₁(x)]

2M



≤

≤2 exp

− (ηbnE[K1(x)])²

MVar [Z₁^∗] +Cp^N_nηnbE[K1(x)]

,

B2 =P





M

X

j=1

|Z_j−Z_j^∗| ≥ ηnEb [K1(x)]

2



≤ C ηnbE[K1(x)]

M

X

j=1

E|Z_j−Z_j^∗| ≤

≤CM p^N_n(ηnbE[K₁(x)])⁻¹ψ((M−1)p^N_n, p^N_n)ϕ(p_n).

Commenb= 2^NM p^N_n et ψ((M−1)p^N_n, p^N_n)≤p^N_n alors pour η=η0

q logbn nbφx(hK)

B₂≤bnp^N_n (logn)b ^−1/2(nφb _x(h_K))^−1/2ϕ(p_n).

On prend pnC

nφb x(hK) logbn

1/2N

, alors

(7) B₂ ≤(logn)b ⁻¹bnϕ(p_n).

D’apr`es (H7), on montre que P

n∈In

nbϕ(p_n)<∞.

On va traiter, maintenant, B₁. Pour cela, il suffit d’´evaluer Var [Z₁^∗].

En effet,

Var [Z₁^∗] = Var

"

X

i∈I(1,n,x,1)

∆i(x)

#

= X

i,j∈I(1,n,x,1)

|Cov(∆_i(x),∆j(x))|. Posons Q_n = P

i∈I(1,n,x,1)

Var [∆_i(x)] et R_n = P

i6=j∈I(1,n,x,1)

|Cov(∆_i(x),∆_j(x))|.

En vertu de (H1), on a Var[∆i(x)] ≤ C(φx(hK) + (φx(hK))²), donc Qn = O p^N_nφ_x(h_K)

.En ce qui concerneR_n, on utilise les techniques de Masry [18]

et on consid`ere les ensembles

S1 ={i,j∈I(1,n, x,1) : 0<ki−jk ≤cn}, S2 ={i,j∈I(1,n, x,1) :ki−jk> cn}, o`ucn est une suite r´eelle tendant vers +∞. Ainsi,

R_n = X

(i,j)∈S₁

|Cov (∆_i(x),∆_j(x))|+ X

(i,j)∈S₂

|Cov (∆_i(x),∆_j(x))|=R¹_n+R²_n.

D’ une part, on a R¹_n= X

(i,j)∈S1

|E[K_i(x)K_j(x)]−E[K_i(x)]E[K_j(x)]| ≤

≤Cp^N_nc^N_nφ_x(h_K)

(φ_x(h_K))^1/a+φ_x(h_K)

≤Cp^N_nc^N_nφ_x(h_K)^(a+1)/a. D’autre part, on a R²_n = P

(i,j)∈S2

|Cov (∆_i(x),∆_j(x))|. Comme le noyauK est born´e, du Lemme 2.1(ii) de Tran [21] on obtient

|Cov (∆_i(x),∆_j(x))| ≤Cϕ(ki−jk). Ainsi

R²_n≤C X

(i,j)∈S2

ϕ(ki−jk)≤Cp^N_n X

i:kik≥cn

ϕ(kik)≤Cp^N_nc^{−N a}_n X

i:kik≥cn

kik^{N a}ϕ(kik). On prend cn = (φx(hK))^{−1/N a}, alors

R²_n ≤Cp^N_nc^{−N a}_n X

i:kik≥cn

kik^{N a}ϕ(kik)≤Cp^N_nφx(hK) X

i:kik≥cn

kik^{N a}ϕ(kik). D’apr`es (H2) on peut ´ecrire R²_n ≤Cp^N_nφ_x(h_K).De plus, avec ce choix de c_n on a

R¹_n≤Cp^N_nφ_x(h_K).

D’o`u

Var [Z₁^∗] =O p^N_nφx(hK) .

En utilisant ce dernier r´esultat, avec les d´efinitions de p_n,M et η, on montre B₁≤exp (−Cη₀logn)b .

Par cons´equent, un choix appropri´e de η0 permet de d´eduire le r´esultat du

Lemme.

D´emonstration du Corollaire 3. On a,E

Fb_D^x(x)

= 1, donc P

bF_D^x(x)

≤1/2

≤P

bF_D^x(x)−E

Fb_D^x(x)

>1/2 et Corollaire 3 devient est une cons´equence du Lemme 2.

D´emonstration du Lemme 4. Du fait que les variables al´eatoires sont identiquement distribu´ees, on a

∀y ∈ S, F^x(y)−EFb_N^x(y) =E

K1(x)1I_B(x,hK)(X) [E[H1(y)/X]−F^x(y)]

. En int´egrant par parties, on montre que

E(H1(y)/X) = Z

R

H(h⁻¹_H (y−z))f^X(z)dz=h⁻¹_H Z

R

H⁰(h⁻¹_H (y−z))F^X(z)dz.

En consid´erant le changement de variable usuel t= ^y−z_h

H on obtient E(H₁(y)/X) =

Z

R

H⁰(y)F^X(y−h_Ht)dt, donc

|E(H1(y)/X)−F^x(y)| ≤ Z

R

H⁰(y)|F^X(y−hHt)−F^x(y)|dt.

Sous (H4), on a

∀y∈ S, 1I_B(x,hK)(X)|E(H1(y)/X)−F^x(y)| ≤ Z

R

H⁰(y) h^b_K¹+|t|^b2h^b_H² dt.

Comme H⁰ est une densit´e de probabilit´e, alors, l’hypoth`ese (H6) ach`eve la d´emonstration du Lemme 4.

D´emonstration du Lemme 5. On consid`ere le recouvrement S ⊂

zn

[

k=1

(t_j−l_n, t_j +l_n)

avec ln =nb^−α−12 etzn ≤nb^α+12. En posant,j(y) = arg minj∈{1,2,...,z_n}|y−tj|, on obtient la d´ecomposition

Fb_N^x(y)−EFb_N^x(y) ≤

≤

Fb_N^x(y)−Fb_N^x(t_j(y))

| {z }

T1

+

Fb_N^x(t_j(y))−EFb_N^x(t_j(y))

| {z }

T2

+

EFb_N^x(t_j(y))−EFb_N^x(y)

| {z }

T3

.

•En ce qui concerne (T₁) et (T₃) on utilise le fait queH⁰ est born´ee pour d´emonter

Fb_N^x(y)−Fb_N^x(t_j(y))

≤ 1 nbE[K₁(x)]

X

i∈I_n

K_i(x)

H_i(y)−H_i(t_j(y)) ≤

≤C 1 nbE[K₁(x)]

X

i∈I_n

K_i(x)

H_i(y)−H_i(t_j(y))

≤C ln

h_HFb_D^x.

De la d´efinition de ln et sous l’hypoth`ese (H7), on a _h^ln

H = o

q logbn bnφ(hK)

. Ainsi, la convergence presque compl`ete de Fb_D^x, nous permet d’´ecrire

(8)

Fb_N^x(y)−Fb_N^x(t_j(y)) =o

s lognb nbφ(h_K)

!

, p.co.

et (9)

EFb_N^x(t_j(y))−EFb_N^x(y) =o

s logbn nbφ(hK)

! .

•Pour (T₃), ∀η >0, on a P sup

y∈S

Fb_N^x(t_j(y))−EFb_N^x(t_j(y)) > η

s lognb nbφ(h_K)

!

=

=P max

j∈{1,2,...,zn}

Fb_N^xk(t_j)−EFb_N^xk(t_j) > η

s lognb nbφ(h_K)

!

≤

≤zn max

j∈{1,2,...,zn}P

Fb_N^xk(tj)−EFb_N^xk(tj) > η

s lognb nbφ(hK)

! .

Posons

∆⁰_i=K_i(x)H_i(t_j)−E[K_i(x)H_i(t_j)]. Il est clair que







|∆⁰_i| ≤C|∆_i(x)|,

Var [∆⁰_i]≤CVar [∆i(x)] et

Cov(∆⁰_i,∆⁰_j)≤CCov(∆_i(x),∆_j(x)) ∀i6=j.

En utilisant les mˆemes arguments que dans le Lemme 2, on montre P max

z∈Gn

Fb_N^x(z)−E

Fb_N^x(z) > η0

s

lognb nbφx(hK)

!

≤zn(B1+B2). La d´efinition dez_n, l’´equation (7) et l’hypoth`ese (H7) nous permettent d’´ecrire

X

n∈In

bn^α+12B2<∞.

Tandis qu’un choix convenable de η₀ donne X

n∈In

bn^α+12B1<∞.

Finalement, le Lemme 5 est une cons´equence de ces deux derniers r´esultats combin´es avec les ´equations (8) et (9).

D´emonstration du Lemme 6. En utilisant la stationnarit´e des observa- tions, le conditionnement par la variable explicative et le changement de varia- ble usuel t= ^y−z_h

H , on obtient h⁻¹_H E H₁⁰(y)/X

=h⁻¹_H Z

R

H⁰(y)f^X(y−hHt)dt,

et on en d´eduit

|h⁻¹_H E(H₁⁰(y)/X)−f^x(y)| ≤ Z

R

H⁰(y)|f^X(y−h_Ht)−f^x(y)|dt.

Sous la deuxi`eme partie de (H4)

∀y ∈ S, 1I_B(x,hK)(X)|h⁻¹_H E(H₁⁰(y)/X)−f^x(y)| ≤ Z

R

H⁰(y)(h^b_K³ +|t|^b4h^b_H²)dt.

L’hypoth`ese (H6) ach`eve la d´emonstration du Lemme 6.

D´emonstration du Lemme 7. La d´emonstration est tr`es similaire `a celle du Lemme 5. En effet, on consid`ere le recouvrementS ⊂Szn

k=1(tj−ln, tj+ln) avecl_n=bn^−32α−12 etz_n ≤nb^32α+12. En posantj(y) = arg minj∈{1,2,...,zn}|y−t_j|, on obtient la d´ecomposition

fb_N^x(y)−Efb_N^x(y) ≤

≤

fb_N^x(y)−fb_N^x(t_j(y))

| {z }

S1

+

fb_N^x(t_j(y))−Efb_N^x(t_j(y))

| {z }

S2

+

Efb_N^x(t_j(y))−Efb_N^x(y)

| {z }

S3

.

• Etude de´ S1 etS3. De mˆeme que pour T1 et T3 dans le Lemme 5, on utilise le fait queH est une fonction de classeC² et `a support compact. On a

fb_N^x(y)−fb_N^x(t_j(y))

≤ h⁻¹_H nbE[K1(x)]

X

i∈In

Ki(x)

H_i⁰(y)−H_i⁰(t_j(y)) ≤

≤C h⁻¹_H bnE[K₁(x)]

X

i∈In

K_i(x)

H_i⁰(y)−H_i⁰(t_j(y))

≤C l_n h²_HFb_D^x.

La d´efinition del_net l’hypoth`ese (H7) nous permet d’´ecrire_h^ln2 H

oq

logbn nbhHφ(hK)

. La convergence presque compl`ete deFb_D^x implique

fb_N^x(y)−fb_N^x(t_j(y)) =o

s

logbn bnh_Hφ(h_K)

!

, p.co.

(10)

Efb_N^x(t_j(y))−Efb_N^x(y) =o

s lognb nbh_Hφ(h_K)

! . (11)

•En ce qui concerne (S2), on suit les mˆemes ´etapes de T3;∀η >0, on a P sup

y∈S

fb_N^x(t_j(y))−Efb_N^x(t_j(y)) > η

s

lognb bnhHφ(hK)

!

=

=P max

j∈{1,2,...,zn}

fb_N^xk(tj)−Efb_N^xk(tj) > η

s

lognb nbh_Hφ(h_K)

!

≤

≤z_n max

j∈{1,2,...,z_n}P

fb_N^xk(t_j)−Efb_N^xk(t_j) > η

s

lognb bnh_Hφ(h_K)

! .

Posons

∆⁰⁰_i =K_i(x)H_i⁰(tj)−E

K_i(x)H_i⁰(tj) . Alors







|∆⁰⁰_i| ≤C|∆_i(x)|,

Var [∆⁰⁰_i] =O(hHφ(hK)) et E

H_i⁰H_j⁰|(X_i, X_j)

=O(h²_H) ∀i6=j.

En utilisant les mˆemes ´etapes du Lemme 2, avec une l´eg`ere modification dans le choix de cn, on montre que

Cov(∆⁰_i,∆⁰_j) =O(hHφ(hK)) ∀i6=j.

Ainsi,

P max

z∈Gn

fb_N^x(z)−E

fb_N^x(z) > η₀

s

lognb nbhHφx(hK)

!

≤z_n B₁⁰ +B₂⁰ o`uB⁰₁≤exp (−C(η₀) logbn) et

B₂⁰ ≤npb ^N_n (logbn)^−1/2(nhb _Hφ_x(h_K))^−1/2ϕ(p_n).

Prenons p_nC

bnhHφx(hK) logbn

1/2N

, la d´efinition de z_n sous l’hypoth`ese (H7), un choix convenable de η0 nous permettent d’´ecrire

X

n∈In

nb^32α+12(B₂⁰ +B₁⁰)<∞.

Par cons´equent, le Lemme 7 est une cons´equence de ce dernier r´esultat combin´e avec les ´equations (10) et (11).

Preuve du Lemme8. Il suffit de remarquer que

y∈Sinf |1−Fb^x(y)| ≤ 1−sup

y∈S

F^x(y)

/2⇒sup

y∈S

|Fb^x(y)−F^x(y)| ≥ 1−sup

y∈S

F^x(y)

/2.

En termes de probabilit´e, on obtient P

y∈Sinf |1−Fb^x(y)|<

1−sup

y∈S

F^x(y) /2

≤

≤P

sup

y∈S

|Fb^x(y)−F^x(y)| ≥

1−sup

y∈S

F^x(y)

/2

<∞.

Il suffit, donc, de prendre η=

1−sup

y∈S

F^x(y)

/2 et appliquer les r´esultats des Lemmes 2–5 pour achever la d´emonstration du Lemme 8.

D´emonstration du Corollaire 9. Sous l’hypoth`ese (5), le d´eveloppement de Taylor de la fonction h^x au voisinage deθ(x), en particulier pour le point θ(x), estb

h^x(θ(x)) =b h^x(θ(x)) + (θ(x)b −θ(x))²h^x00(θ^∗) j! ,

o`u θ^∗ est entre θ(x) etb θ(x), il est donc n´ecessairement dans le compact S.

Ainsi

|bθ(x)−θ(x)|²≤ 2!

miny∈Sh^x00(y)|h^x(θ(x))b −h^x(θ(x))|

et `a l’aide d’arguments analytiques on montre que

|h^x(θ(x))b −h^x(θ(x))| ≤2 sup

y∈S

|bh^x(y)−h^x(y)|.

D’o`u

|bθ(x)−θ(x)|²≤ C

miny∈Sh^x00(y) sup

y∈S

|bh^x(y)−h^x(y)|.

En utilisant le r´esultat du Th´eor`eme 1, on montre que

|bθ(x)−θ(x)|²=O

h^b_K¹+h^b_H² +O

lognb nbh_Hφ_x(h_K)

¹₂!

.

Remerciements. Le rapporteur anonyme est vivement remerci´e pour ses commen- taires pertinents.

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Received 29 March 2009 Universit´e Djilali Liabes Laboratoire de Math´ematiques BP 89, Sidi Bel Abbes, 22000, Alg´erie

[email protected]