Estimation du taux de hasard

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Exclus du

Pr6t.

Facultd

des

Sciemes

Exactes

etlnforratique

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Remerciem,ent

g,fous

_remercioru

_{tout ilahordA-C.2AT{}

_quirwus

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_fonnd

_fe

_{courage et}

_fa

vofontd

yowr mener d

terrne

ce

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Nous remercisrw

yiyement

fulonsieur

gfter[a

JvlahroQ"

maitre {e

canfwennes

'd

fanhrersitri

de

_{lqe{-ndyarte-mnnt {e}

mat{utrnnti4ue,

?olff

ses

nombratx

corueifs,

sa

grande

{ayoni6iftt6,

son

ai.de

yrdcimse

et

smt

sswtien

cotutante-.

Ses

mn*{tig{es eomydtences

et

sa

riguetw ont

Seaucoay

contrihtd

d

f

ahoutksem.ent

fe

ce

travai[

qu'if

trotne ici

toute

notre

yrofuntre

gratitude.

gttsus tenovts

d exyrimer

notre

yrofondresyect

et

notre

recmlnaissance

d

to*t {8

marnfue

{ei

jitry

Svlaffime

yaftaihi

_fafimd

et

'1vlaffime

A6ffi

Zaynab ,

_Wi

ont hienvoufu dvafuer

ce

mdmoire.

Suas ouhft.er

fe

remerci.er

tous

ceux

qui

rwus

ont

encouragd

de

yrds

ou

6e

fois

durant

fa rdafrsati.on

de

travai[,

Stous

rwus incftnn4s resyechteusement

[evant

fes

dtres

d

qui

nous devons

notre exktente,

nos

gires

et

nos

mire*

Noas

[eur exlrimorts

rws

yrofonds

sigrus

de

reconnaissanre et

d'o66issance

your

tous

fes

efforts

qu'i[s

ont

_fournk

et

tmts

fes

sacrifires

qu'i(s ont gLruireusement

_faits,

your

rwrus.

C'est

d eux

(W

rwus

&frons

te

ftuit

6e

notre entiire

formation airui

qu'd

fws

sgwrs,

!{ow

rem.erci.otu anssi

jusqu'a$our{ftuL

Enfwnous

n'oufi(totu-pas

de

remBrcier

cfr.a.cune,

de

rws

a[orahfes

arni.e,s.

-fuec

effes,

nous

avms

yartagd

des

mom.snts a6rda5[es

et

inouhfrnhfes.

Table

des matidres

Introduction

Notions

de

base

1.1

Dur6e de vie 1.2

1.1.1

La dur6e de vie

L.L.2

Cract6ristiques de la dur6e de vie

1.1.3

Relation entre ces diff6rentes fonctions

Les moddles paramEtriques de

taux

de hasard

L.z.I

Taux de hasard constant

L,2.2

Taux de hasa.rd monotone

L.2.3

Tb,ux de hasard non monotone

1 1 A = 11 rU 1b L7 1.3 12 L2 13

t4

15 Echantillonage, Estimation

1.3.1

Grandeurs observ6es sur les dchantillons

L.3.2

Convergence

1.3.4

_Qualit6

d'un

estimation

Estimation de

taux

de hasard

2.L

Estimation non param6trique

2.L.1

Estimation _{non param6trique de Ia fonction de}

_rdpartition

2.L.2

Estimation _{non param6trique d'une densit6 de probabilit6}

2.L.3

Estimation _{non param6trique de la foncbion de survie}

2.2

Estimation param6trique

2.2.L

Estimation ponctuelle

2.2.2

Moddles param6triques

2.2.3

la

loi

exponentielle (la fonction de hasar.d constante)

2.2.4

La

loi

de weibuli

2.2.5

Loi

Gamma

3

Application

3.1

Les donn6es censur6es

3.1.1

Estimation de Kaplan-Meier de la survie

3.L.2

Estimation non param6trique de

taux

de hasard dans le cas censuree

3.2

Validation empirique des estimateurs

3.3

Application

aux donn6es de chOmage

Conclusion

Bibliographie

18 20 20

2l

22 29 30 30 32 32 36 38 42 42 44 +D 48 52 oo

Introduction

L'aspect th6orique de

la

fiabilitd d

connu une 6volution rapide d,

partir

des ann6es

1960 dont la th6orie des _{probabilit6s constitue un cadre mathematique.} pour _{la recherche}

dans ce domaine, les probabilitds font I'6tude syst6matique des _{probabilit6s d'apparition}

des scenarios catastrophiques possibles comme

la

panne

d'un

systdme ou le d6cds d,un

sujet' Parle de la

fiabilit6

d un sens bien pr6cis, pour un probabiliste. _{Non seulemenr on} peut la ddfinir, mais on peut la calculer, Ia mesurer et Ia tester. la

fiabilit6

g6n6ralement

mesuree pa,r Ia probabilit6 qu'il n'y _ait pas de panne sur l'intervaile de temps _[ts, t] sous des

conditions de fonctionnement donn6es, sachant que _{le systdme est en bon fonctionnemem}

d

I'instant

ts, not6 .A(t).

La

fiabilit6

consiste d analyser

la

dur6e de vie cl'une _{variable al6atoire continue}

posi-tive, representant la dur6e pass6e dans certains 6tats, d savoir la fonction de r6partition, la densit6 de probabilit6, le

taux

hasard et le

taux

de hasard cumul6.

L'analyse des durCes de

vie

est utilis6e dans de nombreux de domaines, comme la

m6decine, l'6conomie, ou encor la psychologie...

Depuis plus de 50 ans,

la

statistique math6matique

a

6t6 utilis6e

pour

r6soudre le

probldme d'estimation de

taux

_{de hasard qu'est fr6quemment rencontrer dans plusieurs}

domaines,

par

exemple dans le domaine m6dicale, Ia rechute

d'un individu,

dans le

do-maine 6conomique,

le

chomage

et

perte

d'un

emploi,

la

fin

de

la

gr6ve,

la

panne de

composant dans les systdmes 6lectroniques ...

Cette id6e est encore en usage, elle a une longue histoire, datant de

travail

de

Lead-better

et watson

(1964)

_;

bas6

stu le

noyau

d"

_{,8, de}

la

densit6,

puis

l,estimateur de

Nelson-Aalen (1972), I'estimateur de Peterson (L977) I'estimateur de Foldes et

al

(1gg1)

qui se bas6 sur I'estimateur d, noyau de

/

et

&

(t) a.

_{Kaplan-Meire (19b8), l,estimateur}

de Blum

et

Susarla (1980) et Ramlau-Hansen (1ggg).

L'objectif de ce m6moire est de _{pr6senter quelque m6thodes d'estimations non-param6trique}

et

paramdtrique de

taux

de hasard

qui peut

Otre consid6r6 comme paramdtre _cl6 dans

l'a.nalyse des dur6e de vie.

Par ce _{pr6sent m6moire, nous souhaitons pr6senter I'estimation de}

_taux

_{de hasard.}

_II

est organis6 en

trois

chapitres et une conclusion; d, savoir :

- Le premier chapitre est

intitul6

rrNotions de base'r ce chapitre contient trois section repr6sentant l'essentieiles pour la suite de ce m6moire.

- Le deuxidme chapitre est

intitul6

I'Estimation de taux de hasardrr

traite

deux section la premidre I'estimation

pour la densitd et des estimations empirique _{pour la fonction de}

_repartition

_{et la survie}

et oir conclut par la substitution un estimateur de

taux

de hasard,

la

deuxidme bas6 sur

I'estimation ponctuelle.

-

Le troisidme chapitre est

intitui6

_{"Applicationrr cette application est une 6tude cle}

taux de hasard des dur6es de chdmage qui a 6t6 pr6sent6 dans Ie cas des donnees censurees

Chapitre

1

Notions

de

base

Dans ce chapitre _{nous allons pr6senter des notions essentielles des dur6es de vie, la}

fonction de

r6partition,

la densitd de probabilitd, la fonction d.e survie, le

ta,x

de hasard et le taux de _{hasard cumul6, on donne une mod6lisation param6trique pour certaines lois}

usuelles, et les principales _{propri6t6s de l,estimation.}

1.L

Dur6e

de

D6finition

L.t

(Sgstdme)

Un systdme est une conbi,nai,son _{d,'d,l,ments interconnect€s}

ou en'interacti,on

_forment

un ensemble complet desti,n€ d, rernpli,r

une

olr _plusieures

fonc-ti,ons pr€cises.

On peut aussi, disti,nguer deur types d,es systdmes :

-

systime

non r1parable

:

1ldment remplac€. aprEs €tre tombE en pa,nne.

Et

-

sysetd.me r4parable

:

6l€,ment peuuent €tre r€,par|, apr\s €tre tomb€, en panne. Er,

:

centrale nucl6ai,re, rada,r, uo'iture,...

D6finition L.2 (La

d,6faillance) La

d€,faitlance est la _fi,n d,e l'apti,tud,e d,,un d,i,sposi,ti,f

ou d'un systdme d accompli,r la _foncti,on que

l'on

attendai,t de ce mat€,riel, c,est-d,-d,'ire, Ia

d4fai,llance est le d,6.faut d,e _{fonci,onnernent. On} d,i,sti,ngue :

Des d'd.fai'llances _{graues ou totales entrai,nant ta}

_f,n

_{de Ia foncti,on.}

Des d€fai,llance parti,elles r€duisants les performances ma,is non _{la foncti,on.}

D6finition L.3 (La

maintenabilfte)

La

mai,ntenabiti,t€, d,'un systime r€parable est Ia

probabi'lit€

pour

que Ie syst€me soi,t r€,parE auant l',instarft

t

sachant

qu'i,l

est

d,€,fai,Itant d, I'i,nstant

0

on

dlf,ni,t

par

:

M

_Q)

:

p

(sysftme r€par(,

sur

_l},tl)

est _{une foncti,on} croi,ssante d,e 0 d, 1 lorsque

t

uari

d,e 0 d, I'i,nfi,ni,.

Ddfinition L.a

(La d'isponibilile)

On appelle la disponibilite

A(t)

Ia probabi,li,t6. que Ie

systdme est en dtat d,e bon _{.foncti,onnernent} d, I'i,nstant

t.

1.L.1

La

dur6e de vie

L'intervalle de temps entre Ia mise en marche

(t

:

0) et

la

L6," d6faillance ou bien le

temps entre deux ddfaillance cons6cutives aprds remise d. neuf est une va,riable

?

continue

et

positive'

Le

temps

f

associ6 d, chaque dispositif,

d6finit

une variable al6atoire

?

qui

doit

6tre trait6e selon les m6thodes usuelles

du

calcul des probabilit6s.

_?

represente la

Temps moyenne

L'esp6rance de Ia dur6e de vie joue

un

grand r0le en

fiabilit6l

c'est le temps moyen de panne ou

(M.T.T.F

:

Mean

Time

To

Failure)'

Nous le notons

m

:

IU|TTF:fi(l):m.

C'est une mesure importante de la qualit6 d'un systdme. Pour

la

calculer,

iI

est pr6-f6rable

d'utiliser

Ia formule d'intdgration suivante :

T

E

ff\ :

I

S

(t\

dt;

si,limts (t)

:

O. { r+oo En effet :

77

EQ)

:

_I

ud'F

(")

:

_{I ud(L}

-S("))

J,

tt

Si on intdgre par partie en trouve le rOsultat '

L,esperance de survie d,la date

t

est appel6e dur6e moyen de vie r6siduelle, ou temps

moyenne rdsiduel de panne

(M.R.T.F

: Meane Risiduai Time To Failure)'

'tT

m(t)

:

E

g

-tlr

>

D

:

_s

Q)

J

s

(u)du.

t

M.T,T.R

(Mean

Time To

Restoration) : Ia dur6e moyenne avant remise en service, 6gale

ia

dur6e moyenne avant Ia reparation et 6gale Ia dur6e moyenne de s6jour en 6tat de panne :

t

M.T.B.F

(Mean Time

Beteween

Failure)

: dur6e moyenne entre deux pannes.

Figurel.1: La relation entre les temps moyenne

L.L.z

Cract6ristiques de

la

dur6e

de

Soit

7

une variable al6atoire continue positive, repr6sentant

Ia

dur6e pass6e dans

certain

6tat

(par exemple : chdmage, vie en couple,...).

La

distribution

de

7

est entidrement caract6ris6e

par l'une

des cinq fonctions sui-vantes

:

fonction de

r6partition,

densitO de probabilit6, fonction de survie, fonction de

hasard et la fonction de hasard cumuld (ou int6gr6).

Fonction de

rdpartition

On considdre une variable aldatoire

?

dans _[0,

+oo[,

et

on

note dans

ia

suite

F

sa

fonction de

r6partition

(continue d,

droite) qui

repr6sente

pour

t

fix6

la

probabilit6 de

tomb6 en panne avant

l'instant

t

c'est-4,-dire

F(r):pg<r),f>0.

proprietes

1-F'(t)

€[0,1],f)0,

2-

F

est monotone non decroissant c'est d'dire

:hltz+

F

(tt) >

F(t')

'

3-

F

(0)

:

0,,I*F

(t)

:

t'

Exemple

L,t

si

T

d,€si,gne

la

d,ur€e d,u ch,mage

en

mo'is,

la

foncti'on de r'€parti'tion

F

(t)

reprLsente Ia probabi,Ii,t€, d,e rester au plus

t

moi's

au

ch6mage d'

parti'r

d'e

Ia

date

d'i,nscri,pti'on.

La

densitG

de Probabilit6

C'est une fonction

/

(t) >

0 telle que

pow tout

t

)

0

t

F(t)

:

_It@t0".

"o

si

la fonction de

r6partition

d, une d6riv6e ou

point

f

alors :

n(t<T<t+At)

f

ft\:

IimJ.,,\''

-- -- -':I'(t)'

/

_{\-/ A7'o}

_At

pour

_t

_{fix6, Ia}

_densit6 de probabilit6 caract6rise

Ia probabilit6

de tomb6 en panne dans un

petit

intervalle de temps apr6s

l'instant

f'

f

(t)

Ltpeut

etre vu quand

At

est

petit

comme la probabilit6 pour un composant de tombd en Panne au temPs t.

Exemple

L.2

SiT

est la d,ur€e d,u ch,mage, Ia

quantit|

/

(0

At

repr€'sente la probabili't€'

La fonction

de

survie

La fonction de survie est par d6finition le compldment A, un de Ia fonction _de

r6parti-tion,

pour

t

frx6,la

probabilit6 _{de survivre jusqu'd,}

_I'instant

_f

_{c'est-d,-dire}

S(t):L-F(t):p(T>t).

propridt6s

1-S(r)

€[0,1],f)0,

2- ,S une fonction continue monotone et d6croissante c'est-4,-dire

t1 <-t2

_=a

_$(tr)

>

S

(tr),

3- S (0)

:

1 (si P

(T

:0) :

0, ce que nous supposerons) et lim,S

(t)

:

O.

Notons que si la Ioi de

7

admet une densit6

_/

par

rapport

d.la mesure de Lebesgue

f(t\:hmr/('<?st+ai)

_Al*0

Af

et ou encole : t ,

F(t): lf

(u)du, J 0

Ti

Vte

Rf

:S(t):

_lf

_@)du-1-

_lf

(")du:t-F(t)

JJ

_r0

===1

g'

(t)

: -F'

(t)

: _/

(t)

.

Exemple

1.3

_^9?

T

est

la

dur€,e d,u _{cltintage, la foncti,on} de suruie S

(t)

reprLsente la

dur€,e se d,6fini,t conln-Le une p€riode de ch}mage de

plus

d'ttn an,

donc

si la

durde du

clt1m,age est mesurde en m,ois,

^9 (12) est Ia probabili,td du chimage d,e longue dur6e.

Moyenne

et variance

de

la dur6e

de

survie

Le temps moyen de survie E

(7)

ainsi que sa variance

Var

(T)

sont des quantit6s importantes :

@@@oo

rfrf

E(T):

ltar

(r)

: -

ltasltl:

_I

sQ)dt,var(")

:

z

_ltsQ)dt-

EQ)'.

,IJJJ

0000

Le

taux

de hasard

(taux

de panne instantan6)

Le

taux

de hasard (ou

Ia

fonction de hasard d,

un instant t)

;

not6

h

(t)

mesure la probabilit6 conditionnelle d'une panne 6tant donn6 sachant que Ie syst6me est en 6tat de

marche jusqu'd, cette date (actuellement) et est d6finit comme

6tant

:

,,,\,.

p(t<T

<t+Lt/r>t)

n\t):jtI]OT

Ori le graphique de

taux

de hasard est une "courbe en baignoiret', or) I'on distingue 3

o6riodes :

L*

L

₌

este

*,a

Figure1.2 : Courbe de taux de hasard.

<d6fauts de jeunesse>>

_ont

_{des d6faillances prdcoces, Ies systdmes}

_qui

_{<<survivent> sont}

intrinsdquement robustes. Cela peut aussi d6crire une situation de rodage.

{::i:::::irTtfiffiIffiffil t.-- ft t;#**tui! I L&' 233 _i .843 {_s

Taig..b{S{dte€s* fr@d|sj*

hasard ddcroissant.

2)

_{Thux de hasard constant (p6riode de}

_vie

_utile)

_:

_{Lorsque Ie}

_taux

_{de hasard}

h

est constant, cela signifie que

le

risque de panne est totalement aleatoire;

on a

un systdme

dit

<<sans effet de m6moire>>, _{sans usure,}

il

_n'y

_a

_{pas de cumul de dommage.}

C'est typiquement la situation des systdmes 6lectroniques.

Dans ce cas,

la

probabilit6

de

la

densitd

/

suit

une

loi

exponentielle.

Le

taux

de

hasard est alors I'inverse

du

temps moyen de fonctionnement avant panne

M,T.T.F,

1

X:

,r7p.(caract6ristique

de la

loi

exponentielle).

Figurel.3: Courbe tion de rdpartition F, pour un taux

IS fonc 1

i 'l

I *-1

ls

**f

IS d'-d J

t-t

i

-.:1

l*

j

*T,J q ' *.16 _{ - *.a4. *l -.-. *.1.." -{

j

*.d

j s".re -{ I *"xJ

I

s.tr

-d de survie

;i ; i rt-l

ii

*'*l

iig

*'*l

lq

*''

j

il

*-="'| ;1 I :1 6l !l

:1

ri

'l

I

ii"

1 i

i

*.,.-E

ii

"J

de survie ry;41|#*;* <,i*{s*4* 'i

S, de fonction de rdpartition F, pour un taux hasard constant

3)

Thux de hasard croissant (p6riode de

vieilles)

:

Lorsque le risque de panne augmente avec Ie temps, cela indique un ph6nomdne d'usure.

C'est typiquement Ie cas des systdmes m6canique.

propridtGs

L-

h

: lRa

-*

IR+

tm

fr

?-

_|

Ir,(u) du

<

oo,V,

)

0

mais

_I

lt,(u)

du:

@.

JJ

Figure1.4: Courbe hasard croiesant. .a S, de fonction de rdpartition F, Figurel.5: Courbe

ib'll

il

'. "={

ii-::]

ii

_"-1

:i

= de eurvie I un iLs pour

3-

ll

n'est pas n6cessairement monotone.

fft\

_{^9'(r) d,}

d,,\

4-

h(t)

: *:

_r

_(u/

_-:---):1

:

_----

lnS

(t),

SG)-

:

-dt

rnr

(tJ

n(t<T<t+Lt/T>t)

_,.

1

car :

h(t)

:

iig.ff

:

jl':flr

p((t<T<t+Ar)

_pg>t)

n(">t))

n 1" ''' n/'\

et

_*m^9(t)

_{dt \/ s(f)}

: +9

:

-ry:

_-h(t).

s(r)

Le

taux

de hasard instantan6 mesure

la

dynamique (instantan6e) de

la

vitesse des

pannes.

La fonction de hasard admet

trois

formulations 6quivalantes not6es h

(t)

telles que :

s'(r)

_:

_{____}

d.

_ln,S

dr

_(t)

. D

(t,)

a,t;

,.

1p(t<r

<f

+ar)

:

_jllSr^r

eg>0

1 ,,

p(t<T<r+Ar)

f(t)

---t=--- lllrl -p

(T >

,)&*o

At

,S (t) ' q'

_/-\

-;-ct'r:

D

(nl

f(t)

_

s

(r)

h(t):

(1.1)

h(t)

Lt

peut Otre

vu

quand

Al

est

petit

comme

la probabilit6

rrapproch6err pour un composant de tomber en panne au temps

t,

conditionnellement au

fait

que ce composant

6tait fonctionnant avant t.

Exemple L.4 Si

T

est la dur€,e d,u ch1mage mesur1e en mois, la quanti,t6,

_h(t)

Lt

repr6.-sente Ia probabi,Ii,t€. de sorti,r du chbrnage entre les durEes

t

et t

* Lt

_, pour les trauai,lleurs

qui. sont au chimage depui,s

t

mois.

Remarque

L.t

L'i,nt€grati,on des deun nombres de I'd,quati,on suiuante donne :

ttr

f

f f(,r\

f

lhb\dr: l#dr:

l-J

JSII)

J

000

10 s(r)

_ fds

J,S

s(0)

v^

I

o'i

-

lnS(t;

:

_lh(r)dn

J

0

(utilisati,on de

la

conditi,on li,mi,te, _^9 (0)

:

I)

par

consdquent :

Le

taux

de hasard

cumul6

t,

Le taux de hasard cumuld

H

(t)

:

_I

h

(")

dr

est int6rpr6t6 comme Ie risque cumulatif.

(

Avec l'6galit6 suivante entre fonction survie et fonction de hasard cumul6 :

H

(t)

:

_-

ln _[S (t)] en effet

s(r):.*

_(-/r(")*)

h(t):ffi:

_-fins6

+

s

(')

_-

exp

(

i^@)

d.)-

exp

_r-H

(r)l

1.1.3

Relation entre

ces

diff6rentes

t

f

r-

H

(t)

:

J

h(u)

du:

-

ln,9

(t)

, 0

/i

_\

2-

s

(r)

-

exp

(

-

_[

^fu)

d,u)

:

.*o

[-rl

(t)] ,

\t,

/

/ I

_\

v

f

(t)

:

h(t)s

(t)

:

h(t)

exp

_[

_-

_[

r@)

dul

\r,

/

+

F

(t)-

|

_-

s(t)

:

1

-

exp

(-

_i,,(,)d,)

\i

I

fonctions

:

h(t)

exp

_[-H

(t)] ,

-

1

-

exp

_[-I1(t)]

.

En conclusion, les cinq fonctions pr6cidentes permettent de caract6riser la loi de

Z

et

Ies unes sont ddductibles des autres. cepondant, c'est

l'interpr6tation

de

la

fonction de

hasard qui permettra souvent de guider le choix d'un mod6le pour les donn6es de dur6es

de vie.

t.2

Les mod€les

parametriques

de

taux

de

hasard

Soit

?

une variabie aleatoire continue positive.

L.z.L

Taux

de hasard constant

Loi

exponentielle

On

dit

que

?

suit

une

loi

d'exponentielle de paramdtres

o >

0

si

:

-

Sa fonction de densit6 est ddfinie par :

f

(t)

:aexp(-af),

V,

>

o,

a >

o.

-

Sa fonction de survie est d6finie

par

:

s(t)

:

exp(-at),

vf

)

o,

a >

o,

-

Sa fonction de hasard est d6finie par :

h(t):a,Yt>0,o)0.

-

Sa fonction de hasard cumul6e est d6finie par :

H (t) --

at,Yt

>

0,

a >

0. 72

L.2,2

Taux

de hasard monotone

La

loi

de weibull

On

dit

que?

suit

une

loi

de weibull de paramdtres

a >

0

ei

0

)

0

si

:

-

sa fonction de densit6 est d6finie par :

f

(t)

:

aoto-L exp

(-ato)

_,

v,

>

o.

- sa fonction de survie est ddfinie par :

S

(t)

:

exp

(-ato)

_, Vf

>

0.

- sa fonction de hasard est d6finie par :

h(t)

:

a7te-r,

Vt

>

0'

-

sa fonction de hasard cumul6e est d6finie par :

H

(t)

:

ate,Yt >

0'

Pour d

:

1, on retrouve la

distribution

exponentielle ( exp

(a)

:

W

(a,t))

La

loi

Gamma

On

dit

que

?

suit

une

loi

de Gamma de paramdtres

o >

0 et d

>

0

G(a,0)

si :

-

sa fonction de densit6 est d6finie par :

04.

f(t)

: -''

-14-texp(-0t),

t

)

0 et 0,

a >

0.

I

(CIJ

-

sa fonction de r6pertition est d6finie par :

",

ti

F(t)

: f6

Juo-1exp

(-u)

du.

0

-

sa fonction de hasard est d6finie par :

h(t):#gG'

L.2,3

Taux

de hasard non monotone

La

loi

de

log-normale

C'est une

loi

d'une variable al6atoire dont le logarithme

suit

une toi .nf

(m

1.

"\

.

-"^'

\*

P'"

)'

On

dit

que

?

suit

une

loi

log-normale de param6tres p,

>

0 et

o >

0

si

:

-

Sa fonction de densit6 est d6finie

par

:

f

(t)

:

1.,

(tost

-

tt)

_,

v,

t

o.

ot' \ o /

-

Sa fonction de survie est d6finie par :

s(t;

:1-

v

(toet

-

p)

_,

_{vr >}

_o.

\o/

-Sa fonction de hasard est dOfinie par :

1

eti.=l

h(t):l

_{orL_V}

Lo,o,

l-,Vt>0.

llogt-pl

lol

Or)

p

et

![r sont respectivement la fonction de densit6 et Ia fonction de rdpartition de

Ia loi normale

I/

(0,1) .

-

limh (t)

:

0, et

limh (t)

:

O.

- La fonction de hasard est non monotone et unimodale (croissante puis d6croissante).

n,

L.3

Echantillonage,

Estimation

D6finition L.5

(n-Echantillon)

Soi,t

T

une uariable al€,atoi,re r4elle d,Efin'i,e sur

un

es-pace probabili,s€ (Q, A,

P)

.

On appelle n-6.ch,antillon de la uari,able

T

tout n-uplet (Tt,

...,T,)

des aari,ables al1atoi,res

i,ndependantes dl.fini,es sur le rn€me espace probabi,lis€ (0, A,

P)

et de m€me loi, que

T.

1.3.1

Grandeurs

observ6es

sur

les

6chantillons

L'esp6rance

E

_Q)

d'une variable al6atoire continue

7,

d6finie sur I'espace probablis6

(f,), .4,

P)

est donn6e par la formule :

E

_Q)

:

_Iatf

(t) dt.

L'esp6rance est 6galement appelde moyenne et not6e dans ce cas p.

Sa variance o2, est l'esp6rance des carr6s des dcarts avec Ia moyenne :

uar(T)-o7:Ele-d'l

:

_InQ

_-

_ti'

_f

(fl

at

:

_[nt'f

(t) d,t

-

_1t2.

Son dcart-type o1 est Ia racine de la variance.

L.3,2

Convergence

Convergence

en

probabilit6

:

On consid6re une suite

("")

de variables al6atoires dOfinies sur f,),

?

une autre variable al6atoire d6finie sur

0.

On

dit

que la suite

(fl,)

converge en probabilit6 vers une constante r6elle

I

si :

Ve

>

0; p('.7,,

_-,1

>

e)

:

0' converge en probabilit6 vers

T

si

:

Ve>0;

p(lT"-"1

>t):0.

On

dit

que la suite

(fi,)

Convergence

en moynne quadratique

:

Une

suit

de variables al6atoires r6elles

(7")".x

converge en moyenne quadratique vers

une variable al6atoire r6elle

?

si :

,lim

E

((?,,

-

_")')

:

O'

Convergence

en

loi

:

On

dit

que Ia suite (71") converge en loi vers

T

lorsque

J*Fr"

(r)

:

r'

(t)

pour

tout

t

€

iR

tei

que Fa continue en t.

convergence presque

sfirement

on

dit

que

Ia suite

(!,)

converge presque sfirement vers

?

lorsque

P(E)

:

1

6;

,: {,

e

o

:

_}g4

(.)

: rtr)}

ot

encore lorsque

/\

Ve>0;

limp(supl7l"(r)

_-T(r)l

>u):o'

n+oo \ tl ,/

6*'''

'**\

't/

,.i,,t$tf.

:|["lP'

_\r\

"*

)]

..'.,e/

\tg)u-,r;>,/

lfl

L.3.3

Estimations

L'estimation consiste d, donner des valeurs approximatives aux paramdtres d'une

po-pulation d,

l'aide d'un

echantillon de

n

observations issus de cette

population'

On peut se tromper sur la valeur exacte, mais on donne Ia meilleure valeur possible que I'on peut

supposer.

Moyenne

et

varaince emPririques

:

D6finition 1.6

On appelle stati,stique sur un n-€.chanti,Ilons une foncti'on de (71,

"''Tn)

'

D6finition L.7

On

appelle rnoaenne d,e l'€chantillon ou rnoaenne empi'ri'que, Ia statis-ti,que

not1eT

deSni,e _Par :

r:lin

m7-Proposition 1-.1

soi,t

T

une uari,able al1atoi,re d,e moyenne p' et d"6cart-tgpe o

'

on

a :

EF)

Preuve.

/1 n. \

1 n

1

n.

E(lin)::tE(n)::tp:t)

-

_\n

_E''=;'

₎

n

7=t

n

7t'

Et.

en raison de I'ind6pendance des

4.

I

D6finition

t.8

On appelle uariance empirique, la statistique not6e

s (T)

defi'nie par :

^s'(r)

:lf

't I i-l

Qt-T)'z

Propositio

n

L.2

soi,t

T

une aari,able al^,atoi're d,'6cart-ty7te

o

et d'e moment

centr'

d'or-der

l,

not€, 1"t'a' On

a

:

E

(sr)

:?-!ozt

v (s')

:#((,

-

r)

tr+-

(n-

g)on)

L

De

plus, lorsque

n

tend, uers I'i,nfi'ni'e;V (52)

- +

L.3.4

Qualit6

d'un

estimation

D6finition

1.,9

on

appelle biai,s d,e I'esti,mateurT pour

0

la ualeur :

beQ):E(T)-o

un

esti,mateur

T

est d'i't sans bi,ai's si E

(T)

:

6 '

D6finition

!.Lo

un

estimateur

T

est d,i,t conuergent si,

E

Q)

tend uers 0 lorsque rt' tend'

uers I'i,nfi,ni,.

II

sera d,i,t

unsi,stant

si'

T

conuerge en probabi'Iit€ uers

0

lorsque

n

tend aers

l'i,nfini'.

Definition

L,IL

La quali,tE d"un esti'mateur se n'Lesure

^galement

par l'erreur quadratique

rnoaenne (ou ri,sque quad,ratique) d,€finie

par

:

E

((T

-

0)')

'

D6finition

L.LZ (EfficacntL)

Parmi,Ies esti,mateur sans bi,ai,s,

l'estimateur4

d'ol't Ct'" ,,fficace,t, _{Ies estimateurs}

_fficaces

sont ceur qu'ont Ia moi,nd,re di,spersi,on possible; c'est' d,-d,i,re Ia plus fai,ble uariance, On d'i't

queT

est

fficace

si

,4.

1

uar(0):

---A

r

_\0)

auec

I(a)

*J

rinformation

d,e

fisher,

t

(a)

:

Eet#L)

L

:

Ia _{foncti,on de} uraisemblance,

tn.L

;

log

d,e

L

et

L:frf

_ftr.;0).

Chapitre

2

Estimation

de

taux

de hasard

Dans ce chapitre nous allons presenter deux

type

d'estimation

du taux

de hasard a savoir I'estimation param6trique

qui

consiste sur I'estimation ponctueile des paramdtre

et non param6trique qui se baser sur I'estimation d noyau de la densit6 de probabilit6 et

l'estimation empirique de Ia fonction de repartition et de survie'

2.L

Estimation

non

_Parametrique

Dans ce

type

d,estimation on suppose

un

moddle (f,},

A,P)

ori

P

Ia famille des lois

des probabilit@ possible ne peuvent pas se mettre sous Ia forme

P

:

{Pe;

0

e

o c

R'}

' Dans ce cas on estime des fonctions; comme Ia fonction de

rdpartition, la

densit6 et ia fonction de survie,..

z,L,L

Estimation

non param6trique

de

la fonction

de

rGpartition

Soit?r,72,.,.,I,,d'esvariablesal6atoirei'i'd.(un6chantillon)defonctiondedistribu-tion

F

et

_{4O 1TQ)}

Un bon estimateur de

F

est Ia fonction de r6partition empirique;

not6e

'F'

et d6finie par : nombre d'observations

3

t

4,(t):-€

:

_*irs*tt:

ii/{qu1sr}

'i=L i=l

Propri6t6s

Vt

€ R,

nF*1t1est

d'e

loi

binomiale B

(n'f

(i))'

biais

L'estimateur empirique de Ia fonction de

r6partition

est sans biais

en effet

-'

F,,(r))

:

t-f,r(r,,,.,,)

:

p(T

< t)

:F

(t)'

"

(r,,lL)

)

; Li4-

\-Variance

,o, (F*('))

:

_#F^uar

(Is'<t\1

:

Luar

(/1r'<tt)

:M#9=0

Erreur

quadratique

L'etreur quadratique est donnde

par

:

*(F,,(t),r

(,))

:

E

_((F,,

(t)

_-

F

(t))')

:

biai'sz(a

_itl)

*

uarzance(4'

_ttl)

ce qui donne

u

((F-(t)

_-

r'

(t))')

:

(biai,s)2

t

ua,iance:'t)a'r

(a

t'i)

,-

0

\\

'/ /

d'ori la convergence en moyenne quadratique'

2,t.2

Estimation

non param6trique dtune densit6

de

probabilite

Il

existe plusieurs m6thocles d'estimation

non

param6trique

d'une

densit6,

Ia

plus

utilis6, est celle de noYau.

Estimation

classique

:

Rappellons que

la

densit6 de probabilitC

/

est 6gale d,

Ia

d6riv6e de

la

fonction de r6partition

F

(si cette d6riv6e existe)'

On peut donc 6crire :

F(*t-h\-F(t-h)

f (i)

: lim'

t"

'

'"'

l \"/ ;;0

2h

,.

p(t-h<T<t+h)

:ttLLL-h+0

2h

Un estimateur de

/

(t)

est alors

?,,.

L t

_-

hS

nombre des observations

(

t

*

h

I

\f,):

_2h 1fr

r. \-.

:,t-)

_'IP-n<r3t+n1 210t0 . I

1

=1--

__:_

\

/,

:

2hn

_{o'u'o i--L}

+'l

-

t

-Tt'

-.1'

i-t. t,

=t

i

22

Notons que cet estimateur peut encore s'6crire comme

f

e):*fri,,#);,@):

L12sige[-1,1]

0 sinon

Propri6t6

on

remarque que

f

ft):

F*(t+n)--F*Q-

n)

*,r"".F,

la

fonction de r6partition empirique.

Le

paramdtre de lissage (Ia fen6tre)

h

d6pend de

Ia

taille

d'6chantillon

n;

c'est-4,-dire : h

:

h,,

)

0.

Nous savons que

:

nF*qt1:

i

lg1<tl

-

B

(n,F,

('))

i:L et

2nh*f

_{(t) --}

nF*(t

+

h*)

_-

nFn(t

_-

h")

-

B

(n,tr'

(t

₊

h,;

_-

F (t

_-

h"))

/

,r-.\

l^

A,.

_{, 'l}

+

_{E l2nh,,f}

(t)

)

:

n

1,,,(t

+

h,,)

-

!,, \t

-

7"))

/^..\

I f^,

-.

.-l

+

E

_(i

_ttl)

: ;;

_lr"

(t

₊

h*)

_-

F"(t

-

h"))'

Estimation d

noYau

:

Nous appelons noyau toute

fonct"iS

(t)

: R, --+ IR, positive, paire, born6e,

satisfais-sant au conditions :

,l1gtK

(t)

:

o

*

_l*u(t)

dt

<

+oo'

(

Ra,ppenons I'esrimateur classique' _"f

(t)

: :iI- ff)u'""

_'

'

1u;

{

Ll2

si

_{s e}

_[-r'

r]

,"t=t \ .- ,

[

Osinon

La

densit6 de probabilitd uniforme sur

I'intervalle

[-1,1].

Cet estimateur

peut

6tre g6n6ratis6 en rempla4ant Ia fonction de poids r.r.r (la densit6 de probanilit6 uniforme) par

Ce ci r6sulte en l'estimateur :

rr,r-

t5-

_1*

(*\

I\t)

:ifr,

_\

_n

_/

on

a pour

tout

foncti on

k,

_I

k(D

dF,(t)

:

_:

_i

*

_tnl

n=1

D'or) (2.1)

1 f

t-tt.

fftl: iJrf;)ae"(")

(2.2)

I f .t-u..+

:

_-E

J

k(:

h

)ds"(u)

'

on

_I

I

la fonction de poids (trweight function")

k\

I

tu noyau

("the

kernel function")

(

I

le param6tre de lissage (r'smoothing parameterrr)

h\

L

Ia fen6tre

("the

window widthr')

Souvent on prendre pour

k

une dersitd de probabilit6 sym6trique.

Remarque 2.L

Les noAau,fr les plus uti'li'sd,s sont :

-

Ie noyau uni,fonne (rectangulaire) k

(t):

_l/t-r,rt

(t)

:

i,t corespond, d' la d,ensit€ d,e la loi,

unitorme U6-r,r11.

-

re nogau gau,ss,i,en k

(t)

:

fi"*r1-l.lj,

,

r

correspond, d, ta d,ensi,t6 d,e

la

toi, normale

standard

N

(0,1).

-

le noyau epanechni,kou

K

(t):

-

Ie noyau triangulai,re k

(t)

:

(1

-

_{ltl) /t-r,rt}

(t) .

-

le noyau quarti,que (Biwei,sht) k

(t)

:

_if

_,t

-

t2)/1-r,r1(t).

-

le noyau circulai,re (Cosi,ne) k

(t)

:

_I*"

_(Tt)

1t-r,r1(t).

E p9_* a3 a s g3 ga E s6f,ne6tolk6v

A

Propri6t6

Si

K

est positive et

jl

k (u)

d,u:

1, alors

_F(t)

f'

estimateur de noyau est

une densitO

*f-

_{r '}

*Fr

_/t-T\

Preuve.

_I

_fAld,t

: !)-

_/

!P("-.

_l

at

J""

n=Jtr, \ tt /

-oor-:-1n*r1

:

_{*F-!ktu)hd'u:;Elk@)d'u:}

!n:1

r

Etude

de

biais

et

de la

variance

Figure2.1: Courbes des noyaux.

Lorsque on

d6finit

un estimateur A, noyau, on a non-seulement le choix de Ia fen€tre

h

>

0

mais aussi celui

du

noyau

K.

II y

a un

certain nombre de conditions

qui

sont consid6r6es comme usuelles

pour

les noyaux

et

qui

permettent d'analyser Ie risque de

Hypoth6se :

On suppose que

K

v6rifie Ies 4 conditions suivantes :

1-

_ft

/(

(u)

d,u:

L,

2-

k

est une fonction paire ou, plus g6n6ralement, _./n

uK

(u) du

:

0,

3-

_/or'lN

(")ldu

1oo,

+

_IoK

(u)2 d,u

<

oo.

Proposition 2.L

Si, les trois prerni,dres conditions de I'hypothdse sont remplies et

f

est

une d,ensi,tE born€e d,ont

la

d,4riuEe seconde est born€e, alors

lunn,

(f

ttt)l

< c,n,,

ott,

c1:

*?,1R

li" (r)l/-

u2lK

(u)ld,u.

Si,, de plus,

la

condi,ti,on

I

de I'hypothd,se est satisfai,t, alors

,*

(f

ttt)

auec

C2:

suP.f

(r)

"l"o

K

(u)2 du. zek

Preuve.

Commengons par calculer le biais :

rfrttr]

:hP_rlo(?)]

:1rn.(+\r@)d,u

nh1=, \ "

/

1r --lu-r\

"..-:

lrJo

o

\i)f

(u)du,

(u:ttuh,

du:hdu)

:

_{InK (")}

_f

(t

*

uh) du.

C,

En effectuant un d6velopement

limit6

A,l'ordre 2,

il

vient

B

_fifril

:

_[*

K (")

_f

(t

*

uh) d,u

L"

"l

rK

f

r ,t2

I

:

_/o

K

_{fd lt}

_Q)

+

fuh)

f'

(t)

+,"!r,

,"

({)

_|

a"

(€

e

[r,

t

+

uh])

L"^)

:

_f

(t)

"fn

r

(")

d,u

*

hf'

(r)

jl

zk (u) d,u

+

;

/-

u2

K

(u)

f"

(€) du.

II

en r6sulte que

l-

/+..\l

l-f+..1

..1

lbtats

\f

(t)J |

:

lE

Lf

(t)J

-

/

(t)l

=

T

tn

uzN (u)

f" G),t

l

<

_;

_hu2lN

(u)llf"

(01a"

7rz l-,,..1 f

<

_?Z:X

_l/

(t)l

Jo"'l*

(u)ldu

'

D'ot

la premidre assertion de la proposition.

Pour prouver

la

seconde assertion,

on utilise le faite

que

les variables al6atoires

Y:

_'

K

_fry)

_,'i:

L,...,n

sont

i.i.d. et

que Ia variance de

la

somme de variables

\ h /'

ind6pendantes coincide avec la somme des variances :

oo,

(?@\:

_\"

_.

../

J-=oo"

_(nh)"

li

.

(ry\l

Lfr \

rr

/

₎

,*(ro):*:_,i,i.li,f;)Lu

difxnxaarLK

\-

n

il

-"!",Yffi1,

=

nn,

J-

_{" (?,)}

f

(il

da'

(a

:

t

*

uh,

dY

:

hdu)

1

.

_4,up/

@)

[

K

@)2 d,u.

TttL

_{Ze1g_}

"/n Cz

C'est exactement ce

qu'il

fallait

d6montrer.

r

Remarque

2,2

On a d'aprCs la _formule de

l'errure

quadrati,que

M

SE(ittl)

:

_{(uo*(r ttl))'}

+ uo,'ion".

_(Ffrl)

On d,Ed,uit d,e la proposi,tion que le risque M S

E

ae

f

(il

ad,met la majorati,on su'iaante :

----l+,,\

_nzta,

C2

MSE

_(/

(r)J

< uih"

+

,

.

On

udffie

ais1ment que la _{ualeur de la fen€tre}

h

qui mini,mi,se le rnajorant d,u

MSE

est

.

I G\*

_-1

ILopL:l,t-zl 'n

u'

\av1 ,/

Effet de la

variation

de

h

sur I'estimateur d

noyau

Fg{

at

g

s;

-3 -f o r 2 3 4 -3 -1 G r 2 3 4

Figure2.2: Effet de la variation de /r sur lrestimateur h noyau.

Le pa,ramdtre

h

>

0

est appel6 fenOtre. C'est

un

paramdtre de lissage

:

plus

h

est

grand, plus I'estimateru est r6gulier.

II

fi14

tut

II

l*l

28

2,L,$

Estimation

non

param6trique

de

la fonction

de

survie

Estimation empirique

:

Pour

un

6chantillon des dur6es

(T)*t...",

un

estimateur

naturel

de Ia survie de la variable

7

est la survie empirique :

^9,(t):ilt","t

(2.3)

Ona,S(t)

:r-F(t)

1n1n

d'ori

,S,

(t)

:

_-F,(r)

: -1I

/t'<rt

:

'

t

l{r>t}.

rL?

TL?

propri6t6

L'estimation de ia fonctionde de survie empirique est sans biais.

En effet /'t n \ E

(5,,(r))

:

_{E |}

:f

/1rt,,r

₎

\'"

_';=r

/

1$orr

_\

:

; 1c'

1t1r;>tl )

-1-F'(r)

:^9(t).

R€sultat principaux

D'aprds les paragraphe (2.1.1),(2.1.2)

et

(2.1.3), notamment les 6quations (2.1), (2.2)

et

(2.3) et les diff6rentes ddfinitions de

taux

de

hasard(l.l),

en

utilisant

Ia m6thodes de

substitution pour construire

un

estimateur non param6trique de

taux

de hasard d6finie

\-

1

.t

-T.

4E-( h

) par

:

h(t)

--

F-/I{'o''7 i=l

ou

bien, comme

on a par d6finition

h(t):

ffi,

.rn

estimateur de

h(t)

est alors

donn6

par

:

ift)

:

!g-

_-1,

r,t

-urds,,(t)

:

_-1

f

k(,")d,fr

tt).

,v\ut-

S,e)-

-EJ

tt\

h ,3*l

hr'",

h

Or)

A (t)

est l'estimateur de

taux

de hasard cumul6.

2.2

Estimation

param6trique

Dans ce type d'estimation on suppose que la loi de

?

est d'un type connu, mais

qu'il

d6pend

d'un

parambl,re 0 inconnu. Le probl6me principale est alors d'estimer ponctuel-lement Ie param6tres 0.

2.2.L

Estimation

ponctuelle

On souhaite estimer un paramdtre 0 d'une population (cela peut 6tre sa moyenne, son

6cart-type,... ). Utt estimateur de 0 est une statistique

T

(donc une fonction de

(fi;

...;f;)

dont

la

rdalisation est envisag6e comme une "bonne

valeur" du

paramOtre 9. On parle

d'estimation de

I

associ6e d, cet estimateur la valeur observ6e lors de I'exp6rience, c'est-d-dire la valeur prise par la fonction au

point

observ6

(Tti...;7").

a) Estimation par la

mGthode

du maximum

de

vraisemblance

Soit

?

une variable al6atoire r6elle de

loi

param6trique (discrdte ou continue), dont on veut estimer Ie paramdtre d. Alors on d6finit une fonction

/

telle que :

f (t;0):

fe(t)

si

?

est une variable alOatoire continue de densitd

/.

Definition

2.t

On appelle _foncti,on de uraisemblance pour une r1ali'sation

(t1

...;t,r) d,'un

6,chanti,Ilon, _{la foncti,on} de 0 :

L(tt,...,tn;0)

:

_f

(tt,...,tn;0)

:fit

_{rrrr)

D6finition

2.2

La

m6.thode consistant d, esti,rner 0

par

Ia ualeur qui, mari,mise

L

(urai'-semblance) s'appelle mdthode du marimum de urai,semblance

(^)

e

:

\0lL(0)

:

supr (d)J

Ce ci, est un probldme d'opti,rni,sati,on. On uti,Iise g1n€ralement le fai't que si,

L

est d€,ri'uable

et

si,

L

admet un matimum global en une aaleur, alors la d€ri,u4e premiCre s'annule en et

que

la

ddriu4e seconde est negati'ue.

En prati,que :

1. La condi,ti,on n€cessai're :

aL(tL,...,tn;0\

ahL(tr,...,t,,i?)

_{: t}

A0

'-Uou---de

permet d,e trouuer la ualeur4.

2. 0

:6

est un monimum local si,la condi,ti,on suffi,sante est remplie au poi'nt cri,ti'que :

02L(fu,...,tni|) rit

_-

n

_-

}zlnL(tr,..

*'4\

^

-ffi(B) <0o"ffi(d)<o

b)

Estimation

par

la m6thode

des

moments

D@finition

2.3

la

m€thode d,es moments consi,ste d, esti,mer les paramdtres en uti,lisont

ElIe

consiste d,onc d, rdsoudre un systdme d"'equations en Egalant les moments th1ori'ques

o,ur, rnornents empi'ri'que en

_fonction

des paramdtres.

D6finition

2.4

supposons

qu'il

eri,ste une foncti,on bi,jecti,ue

h

et

conti,nue de

d

c

lRp

d,ans@

C

lRp dazr,s

h(O),

une

_{foncti,onmesurableg}

de

E

--

iRp, telles que

n@€))

eri,ste

ettoutes

les deur

sonttelles quel'on

ai,t,h(0):

E(p(T));

pourtout0

e

@' La mdthode des moments consiste d, esti,mer 0 par :

/,,\

6n:h-t

(*tp(r)

₎

.e.

\ ,;=r /

2,2,2

Moddles param6triques

On

suppose que

la

distribution

des dur6es de

vie appartient

d, une famille des lois

param6triques donn6e.

Ainsi,

le moddle param6trique

peut

Otre formul6 en pr6cisant Ia forme de I'une ou I'autre des cinq fonctions dquivalentes qui ddfinissent la loi de Ia dur6e :

h,

H,

_f

_,

_^9

ou

F

(

resp

la

fonction de

taux

de hasard,

la

fonction de

taux

de hasard cumul6,

la

densit6 de probabilit6,

la

fonction de survie

et

Ia fonction de

r6partition)

:

N6anmoins, on sp6cifie souvent Ia forme de la fonction de hasard : constante, monotone

croissante ou d6croissante. Les estimateurs des paramdtres du moddle sont ensuite obtenus en ma><imisa.nt Ia waisemblance des observations'

2.2.g

la

loi

exponentielle (la fonction

de hasard constante)

La loi exponentielle

erp(a),

qui ne d6pend que d'un param6tre, est la seule qui admet

une fonction de hasard constante. Cette loi est aussi dite rrsans m6moirerr car la probabilit6

de d6cds pour un

individu

dans un certain laps de temps est Ia mOme quelle que soit sa

dur6e de vie (c'est-d-dire P

(X >

s

* t,/X

> t)

:

P(X

>

t)

)'

soit

?

une variable al6atoire continue positive de param6tre

a >

0,

sa fonction de hasard esb cl6finie par :

h(t)

:

a'

Vf

>

0'

On sou6aite estimer le paramdtre

a

cle la loi exponentielle d,

partir

d'un n-6chantillon.

La

loi exp(a)

dL pour une fonction de clensit6 :

f"(t):

aexP(-cut); Vt

>

0

.Ecrivons

la

fonction

<le vraiselrrblance

pour

une rOalisation

d'un

6chantillon de

rl

variables indOpendantes : fI T-T .f

(fr,...,

tn;a)

: ll

/

(tn'

o)

,n T-T

-

_-t- 1 _-t

l

aexp(--cta)

TI

:

cxnexp(_aIrn)

rl=1 donc

0lnl,

(t1,,..,t,,;0)

*QLncv-";',)

1-

_irr:

o

a-3:

_i,u

(v. z=L

11

l'V: -- : -. tllj1

lltu

r

n-EO

+

rr suffit de v6rifie

,u",

t!ffir3)

s

o'on

u

*(:-:")

n

---(U

_oto

donc i,estimateur de Ia fonction de hasard constant s'6crit sous

la

forme suivant :

Tr1t1

:a:

,l- :;'

;L,,

1'= L

L'estimateu

r

d,

: -+-

est un estimateur biais6'

1i,,

_n?'

preuve.

Soit

?

une"variable al6atoire continue positive

suit

une

Ioi

erp(a);

o >

0. telle que t

E

(T\:

1

"t

cle

uor(?)

: +

'a

L. biais

Les variables al6atoire

fr

sont

i.i.d.

de Ioi exponentielle de param6tre

a

alors

IL

\n

-,

Gamma(n,o),

ainsi en Posant

a:

at'

j=1

/\

I

\T

I n I

f flQ",rr-!

E (a)

:

,

I

T- l:

_J

fu1t"-'

exP

(-at)dt

[)-af 6

\/

\;/oo

nQ"

f

,U,,,,.-,

_----,

^.rdA

:

t

@)

J

(;,l"

-

_exP(-ul

a

0

na"7"

:

_ffi"-,

J

u"-'exP(-Y)dg

0 02ln

L (tt, ..,,tn;0)

-___aF-est v6rifi6e. no.t (n

_-

1) n : -Q.

(rz-l)r(n-1)

n-L

d'ori l,estimateur de param6tre

o

est un estimateur biais6.

n-t

on suppose

u: oj

un estimateur sans biais de param6tre

a'

ft'

Z-/

i:L

2.Efficacit6 de

d

: uar

(d)

:

E

(d')

_-

(E

("))'

(Konig)

T,--

t\2

_^n

n

tx2\

_-

I

\n

-

L)

-Q-

*-r exp(-at\d,t

en posant U

:

at

E\a

_{): l-ttrri}

u

v^v\

0 no.l (n

_-

I)

:

?'?n

T

(Y\*t

_"

'

d'u

(rn

7'

r

ut"-l '

'da

I

ln)

J

\o/

xP(-Y);

+

11,4/

\;/

exP\-ei

o

"b

oo

o n

tudn [

(

y-z

"*p?d@

-zffiJ ,,ot

---r\

o,

ot 0 @oo

n2ort'

_f

_^.*-,

Q"

f

^

:

_ffi;-

J

_o*

,"-'exp(-v)dv +

tdA;,

lr"-'exp(-v)dv

₀

-

_-r

r. no" f

^ ('z)

*;T

_J

Y"-z exP(-s)dY 0 nzanT

("

-

Z)

,

Q"l

(ry

9--.@-@-=

'n2a2'.dznn

: T;T\h

_-'rl

-r

fu

-

r)(n

_-

2)

-

'z n

-

ti'

,

it2o,2

+;f

-'ina

(n

- 2)"

n2a2

+

a2

-

Ztf

a

*

4na

):@:@

(rz-1)f(n-1)

E

(d'

d'ori

uar

(d)

:

n2a2+a2-2n2a*4na

_-

o!2

(n-t)(ry-2)

-'a2+5a2rr,-2n2a*4na

(n-L)(n-z)

I

(d\

: -,

(ozlnL(tl'

"''t";o))

: +

r\u./-

_"\

A02

_/

a2'

On remarque que uor

(o)

₊

h

2.2.4

La

loi

de

weibull

La

loi

de

Weibull

W

(o,.\)

on retrouve

la

loi

exponentielle

pour

) :

L. Si .\

taux de hasard est d6croissant; si ,\

>

1 le

taux

de hasard est croissant.

(1,

le

Figure2.8: La fonction de hasard monotone pour la loi de wiebull.

Soit

?

une variable a"l6atoire positive de param6tre

a >

0 et

,\

>

0;

sa fonction de hasard est d6finie par :

h

(t)

:

\at"*L

On souhait estimer les param€tres a et ,\ de la loi de weibull d, pa,rtie de n-dchantillon.

La loi weibull W

(o,.\)

a pour fonction de densit6 :

/

(t)

:

.\afo-lexP

(-)t")

La fonction de vraisemblance s'6crit :

n

L(h,...,tn,a,A):

_ll

_/

(fr) .i:1

6<r

{,t t/ !r tt'

/

,'''

fo>.t 36

En

utilisant

le changement de variable

'\

:

l-o

L(h,"',tn,a,\):

II

est plus simple

d'utiliser

le logarithme, Ia vraisemblance 6tant positive :

ln.L(t1,

...,tn,e,A)

:

n(lna

-

alnl)

-

r"tff

+

@-

t;f

mt;

Les 6quations aux d6riv6s partielles s'dcrivent donc

A-

,

\.

-^'

"

ro

,lnL(tr,

"',

tn,a,\)

: -T

+

o,l'a-L

Dtr

a

/1

-\

/

tt

"

\

1r

*lnL(tr,.',,

tn,a,\)

:

_"

(

+-

hl

)

+

(

r"lnl

i

t?

-

D't?lnt'I-o

I +

rlntr

od

,.,

-

,"

\o

*"/

\"

7_;'

/

F_t On

a:

A

*

tn.l

(fr,

.'., t,,, a,

\)

:

o oI

nan

---i

_{-- *}

al-a-t

_I

tf

:

O

L

i=t

--;

'-o

:

+-,D^T

n

+tr:11*

/J -2

i:L

1

donc I'estimateur de marcimum de vraisemblance de

l

est donn6 par

'\

:

_Ta'

A

(L

-.\

/

n

'

\

rL

*tnL(t,,...,

_da

tn,a,A):"(:,-rnl)

_{'-'' '}

_{\g- /r \ , l=t- o=t,, \/}

- (r-"hll t

+Dtf;\tttll-"

)+Dlntr

,!='

:

n

(

!-

_lnl

₎

₊

l-"

(

hl

t

ti

-

D-tirnti)

+ D

Inta

\a

/

\

t=r

i=7

/

i:t

a.

#

t" L(tr,...,t,,,

a,

))

:

o,

ff,

t

ftr): ft

1ol-"

tf;-r

exp

(-r"tf))

i.=1 i=\

fr,(#'r'*n

(- (?)"))

i;j"",

(-,-"

_.>^,r)*p

((*

-

rv

pr"a)

+

Tr(

L -r'l)

+,-'

(ntitr -

i'rt"tn)

+

Ih"n

:

s

\o

_{'/t '\}

/

\

i.=l

i'=r

/

_,z=t

-

-,-"(ntit-irrlntl)-ir't'

+n(;-rnt)-

u.

\^""g,",. i=L \ ,,,

z=,

*

_|,:

nrn t

-

+-(",

₁

t?

-

^i-tihtt)

-

5

mt'

d

'E-

"

t i=L

i=7

', ititnti

1n

+ !,:'tAZ- -:llnt,i,

_aDt

i,:r

irr

n

I

lni;

;-1

II suffit de v6rifi6 ia deuxieme condition on montre que la matrice

A

:

est une matrice d6finie nOgative alors

u'

Au

<0

telle que

A

est une matrice carrde (2

x

2) et

u

l0'

Donc I'estimateur de

la

fonction de hasard pour

?

"'+

w

(o,

'\)

s'ecrit sous Ia forme

suivante :

2.2.5

Loi

La

Ioi

Gamma G

(a,0)

; qui d6pende cle deux paramdtre

a'

13

)

0'

pour

_a

:

_1;

_{on retrouve} la loi exponentielle exp

(p).

si

0

< a

<

L;

le

taux

de hasard est dGcroissant; si

o

>

1 le

taux

de hasard est croissant'

(+x##)

\**

+*

₎

(

_i'r

i(t)

_--

+-

_|

+]--Etr

\'Etitnti

Gamma

' i't

_\ =t=1 - in -r

lC.s-n

l.).tyt",l lt*ti

"-

ltr=t

i=l

I

Intl

_I

i,=r /

38

*t/t _{._-.&--.---e'}

ilt

,,,..-'-'_---.-'l,l

i'

,r,'

,.,"'//'r'

i,l

I

/

,,'

u"l! / .'/ ,'V

!

..,r' i;-i*'t--i*-;-*a--i--i--8--ii'

S>l

lr<r

Figure2.4: La fonction de hasard monotone pour la loi de Gamma'

Sa densitd de probabilitd est d6finie par :

ad

f

(t):

_{{rrt"-'e-a';t2\etP,a>}

0. On

a:

E o,p

(r)

:

T:

_#r..-t

_"- Ft

41:

*l

_i,

a 7a "- et ₄₇

En eflectuant le changement de T ariable

u

:

Bt eL ennotant que

|

(a

+

1)

:

af

(a) '

il

vient

:

1 09

du

_{1 -r .1.}

a

E*,p(r):

_ffuf"""-"i:

ffir

@+r):

_U.

De la m0me mani0re on montre que I'on a :

Ainsi

Ainsi on peut 6crire

Nous obtenons alors

uar(r): E(rz)- E'g)

-W

-#:

_fr

E.,p(T):fr

",

E.,B(72)

@#

et

h(o,0

_-

Eo,e (e

(f))

/

n

_a(a-!

r))

"t

e

(")

:

(T,Tr)

. avec lz

(",0)

:

[7, p" /

Des estimateurs de

a

et B par Ia m€thode des moments sont alors

(r,o)

:

h-'\

_(*

;;.,

(z))

:

h-L(;

i

",!,

.D^':)

Un calcul ais6 donne I'expression de h-1, reciproque de

h'

On

obtient

:

(o,

il

:

h-r

(t,r)

:

(

j"-,.+)

\u-p'u-lt/

ot:

B:

(;t")'

1n

:rz

n-Z:L

'ft

4 'IL

l\-ze-n?

1 a!

;

!"L,,-(*t")'