A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
V ICTOR H ERMAN
La caractérisation fonctionnelle de la fonction rationnelle d’une variable complexe
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3
esérie, tome 83, n
o3 (1966), p. 187-189
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Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 3e série, t. 83, 1966, p. 1 8 7 à 189.
LA CARACTÉBISATION FONCTIONNELLE
DE LA
FONCTION RATIONNELLE DTNE VARIABLE COMPLEXE
PAR VICTOR HERMAN
à Cluj.
P. Montel ([l], [2], [3]) a donné des théorèmes pour la caractérisation fonctionnelle des polynômes de variables réelles ou complexes. En étendant ces résultats, on peut faire la caractérisation fonctionnelle des fonctions rationnelles d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes.
On va présenter les résultats concernant la fonction rationnelle d'une variable complexe. Nous considérons les domaines Sa et Sa des variables complexes z et h définis par
S a : z=re1^ a o < 0 < ^ , / ' > o ; Sa: 1i=^e1^, a o < c p < a . i , p > o ;
où oco et a^ sont des constantes données. L'utilisation de ces domaines est imposée par la forme de l'équation fonctionnelle utilisée.
LEMME 1. — Les équations fonctionnelles
( 1 )
ï ï
1
ï
0 J 2
P 0
1 2'2
P1
. . . 1 . . . 1 . . . 2^
. . . P-
/.
/i
y.
fp
0
/ï
2/.
PÎP
. . . 0
... /,
• • • ^fî
^m f
• • • P JP
( 2 ) E,,/4/(^ A]
I ^ ^ ... ^ /o -/o ... ^/o
i ^k (z-^h)2 ... {z^-hY f, (z-}-h)f, ... (z^-h)'-/,
ï Z-^ïk ( . S + 2 À )2 . . . (:;+2/^ ^ ( ^ + 2 À ) / , ... (^4-2/^/2 =0,
i z^ph (z-^-phY- ... (z-^-p/i)'1 f,, (z^-ph)fp ... (z-^ph)111^ LA=/(^+Â 7^ A =0,1, . . ., p ; p=n + m + i ]
Ann. Éc. Norm., (3), LXXXIII. — FASC. 3. 24
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n et m étant les degrés respectifs du numérateur et du dénominateur de la fraction sont équivalentes quelle que soit la fonction f(z) analytique et uniforme à Vintérieur de V angle Sa, quel que soit le vecteur-période h à l) intérieur de l'angle Sa.
THÉORÈME. — Une fonction f[z) analytique et uniforme à l'intérieur de l'angle Sa, satisfaisant à la relation
f(z)=f(kz) ( Â = I , 2 , 3 , . . . )
se réduit à une constante.
LEMME 2. — Quelle que soit la fonction f{z), analytique et uniforme à l'intérieur de l'angle Sa, qui vérifie l'équation fonctionnelle
(3) E , , 4 / ( ^ ) , A ] = o
pour trois périodes hi, h^y hs indépendantes telles que (4) E,_,,4/(^ 7z]^o, E^_,[/(^), h] 7^0, il existe des constantes
(5) a^ a^ . . ., an, bo, b^ . . ., b,n
non toutes nulles telles que le système ( a.o+ a, (z +y/î) + . . . 4- a,,(z 4-y'A)"
(6) j + [^+ b^-^jli) +. . .+^-l(^+./^)—lJ/y+ ^(,^+./^)m//=o ( ( y = = o , i , . . . , 7 ? ; 7 ? = = / ^ + / n 4 - i )
de p 4-1 équations linéaires et homogènes par rapport au même nombre d'inconnues (5), soit vérifié.
La caractérisation fonctionnelle de la fonction rationnelle résulte de ces lemmes et du
THÉORÈME DE MONTEL. — Toute fonction f{z) d'une variable complexe, analytique et uniforme dans un domaine D, vérifiant les équations fonc- tionnelles
(7) A y ( ^ ) = o , A ^ / ( ^ ) = = o , ^J(z)=o
dans lesquelles les périodes /ii, As, hs sont indépendantes^ est un polynôme de degré inférieur à p.
On dit que les périodes hi, h^, hs sont indépendantes s'il n'existe entre elles aucune relation de la forme
^.1À1+ ^.2^2+ ^3^3== 0,
où [^i, [^2, ^ sont des nombres entiers non tous nuls.
LA CARACTÉRISATION FONCTIONNELLE DE LA FONCTION RATIONNELLE.
On démontre ensuite le
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THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonc- tion f(z) Sune variable complexe, analytique et uniforme à l'intérieur de l'angle Sa du plan complexe^ représente la fonction rationnelle
cio + ^i z + . ,
^o+ b^z +..
à coefficients arbitraires et &o+ & i ^ + . . . + bm^11^ o, est que f{z) vérifie l'équation fonctionnelle
1 0 0 . . . 0 f^ 0 . . . 0
I I 1 . . . 1 /l f, . . . f,
E.,,n[/( 3 ) , / < ) = I 2 22 . . . ^ f, -îf, . . . p'11^ = 0 (8)
1 P P2 ' ' ' P" îp P Î p • ' ' P^fp [A=/(•a ?+Â 7 /)7 À ==o, i , 2, . . . , p ' , p = n 4- m + i ] pour trois valeurs hi, h^y / ^ e S a indépendantes et en même temps
E^^f(z), h]^o, E^_,f/(^), h]^o.
Remarques. — 1. Pour m = o, l'équation fonctionnelle se réduit à l'équa- tion de Montel qui caractérise les polynômes.
2. On caractérise de même les fonctions rationnelles de plusieurs variables réelles ou complexes par l'extension des résultats correspondants de Montel ( ' ) .
BIBLIOGRAPHIE.
[1] P. MONTEL, Sur un théorème de Jacobi (C. jR. Acad. Se., t. 201, 1935, p. 586-588).
[2] P. MONTEL, Sur quelques extensions d'un théorème de Jacobi (Prace Mal. Fis., 1936, p. 3i5-329).
[3] P. MONTEL, Sur des équations fonctionnelles caractérisant les polynômes (C. R. Acad. Se., t. 226, 1948, p. io53-io55).
(') La caractérisation de la fonction rationnelle dans la classe de fonctions mesurables va paraître dans la Revue Roumaine de Mathématiques pures et appliquées.
