Vecteurs et rep`eres de l’espace

(1)

Vecteurs et rep` eres de l’espace

Exercice 1

Soit le cube ABCDEFGH suivant :

1.Les vecteurs^ÝAB,^Ý^Ñ ^ÝAD,^Ý^Ñ ^ÝAC^Ñsont ils coplanaires ? 2.Les vecteurs^ÝEF^Ý^Ñ,^ÝEA,^Ñ ^ÝHD^Ý^Ñsont ils coplanaires ? 3.Les vecteurs^ÝEF^Ý^Ñ,^ÝEA,^Ñ ^ÝBC^Ý^Ñsont ils coplanaires ?

Exercice 2

1.Les vecteurs^Ý^ÑV (3 ; 6 ; 12) et^ÝV^Ñ¹ (2 ; 4 ; 8) sont ils colin´eaires ? 2.Quelles sont les coordonn´ees du vecteur^Ý^ÑV ^ÝV^Ñ¹?

3.Quelles sont les coordonn´ees du vecteur 2^Ý^ÑV 5^ÝV^Ñ¹?

Exercice 3

Les points A et B ont pour coordonn´ees respectives (3 ; 5 ; -2) et (4 ; -3 ; 1).

1.Calculer les coordonn´ees du vecteur^ÝAB.^Ñ

2.Calculer les coordonn´ees du point I, milieu de [AB].

Exercice 4

Soient A(2,4,-7) et B (-2,1,-1). Calculer la norme du vecteur ^ÝAB.^Ñ

Exercice 5

Dans la base orthonormale (~i,~j,~k), les vecteurs~u,~vet w~ ont pour coordonn´ees respectives (1 ; -2 ; 3) ; (2 ; 4 ; 2) ; (-1 ; 2 ; 1) .

1.Les vecteurs~uet~v sont ils orthogonaux ? 2.Les vecteurs~uetw~ sont ils orthogonaux ?

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1

(2)

Correction

Exercice 1

1.^ÝAB,^Ý^Ñ ^ÝAD,^Ý^Ñ ^ÝAC^Ñsont coplanaires. Plan (ABD) 2.^ÝEF^Ý^Ñ, ^ÝEA,^Ñ ^ÝHD^Ý^Ñsont coplanaires. Plan (AEF) 3.^ÝEF^Ý^Ñ, ^ÝEA,^Ñ ^ÝBC^Ý^Ñne sont pas coplanaires.

Exercice 2 1.^Ý^ÑV 2

3

ÝÑ

V¹ donc^Ý^ÑV et^ÝV^Ñ¹ sont colin´eaires.

2.^Ý^ÑV ^ÝV^Ñ¹

x^Ý^Ñ V x^Ý^Ñ

V¹;y^Ý^Ñ V y^Ý^Ñ

V¹;z^Ý^Ñ V z^Ý^Ñ

V¹

Ý

ÑV ^ÝV^Ñ¹^p3 2; 6 4; 12 8^q

Ý

ÑV ^ÝV^Ñ¹^p5; 10; 20^q 3.2^Ý^ÑV 5^ÝV^Ñ¹

2x^Ý^Ñ

V 5x^Ý^Ñ V¹; 2y^Ý^Ñ

V 5y^Ý^Ñ V¹; 2z^Ý^Ñ

V 5z^Ý^Ñ V¹ 2^Ý^ÑV 5^ÝV^Ñ¹^p2352; 2654; 21258^q 2^Ý^ÑV 5^ÝV^Ñ¹^p4;8;16^q

Exercice 3

1.^ÝAB^Ñ^pxBxA;yByA;zBzA^q

ÝÑ

AB^p43;35; 1^p2^qq

ÝÑ

AB^p1;8; 3^q 2.I

xA xB

2 ;yA yB

2 ;zA zB

2

I

3 4

2 ;53

2 ;2 1 2

I

7 2; 1;1

2

Exercice 4 AB

a

pxAxB^q2 pyAyB^q2 pzAzB^q2

AB

a

p2 2^q² ^p41^q² ^p7 1^q² AB

?

16 9 36

AB

?

61

Exercice 5

On se place dans un rep`ere orthonorm´ee d’orogine O(0 ;0)

Posons A, B et C respectivement les points de coordonn´ees (1 ; -2 ; 3) (2 ; 4 ; 2) et (-1 ; 2 ; 1).

On a alors~u^ÝOA^Ñ;~v^ÝOB^Ý^Ñ;w~ ^ÝOC^Ý^Ñ

1.Dans le triangle AOB, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est

égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOB est rectangle.

AB²^pxAxB^q2

pyAyB^q2

pzAzB^q2

AB²^p12^q² ^p24^q² ^p32^q² AB²38

OA² OB²^rpxAxO^q2

pyAyO^q2

pzAzO^q2

s rpxBxO^q2

pyByO^q2

pzBzO^q2

s

OA² OB²^rp10^q² ^p20^q² ^p30^q²^s ^rp20^q² ^p40^q² ^p20^q²^s

(3)

OA² OB²38 AB²OA² OB²

Le triangle ABO est rectangle en O donc les vecteurs~uet~v sont orthogonaux.

2.Dans le triangle AOC, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est

égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOC est rectangle.

AC²^pxAxC^q2

pyAyC^q2

pzAzC^q2

AC²^p1^p1^qq² ^p22^q² ^p31^q² AC²12

OA² OC²^rpxAxO^q2

pyAyO^q2

pzAzO^q2

s rpxCxO^q2

pyCyO^q2

pzCzO^q2

s

OA² OC²^rp10^q² ^p20^q² ^p30^q²^s ^rp10^q² ^p20^q² ^p10^q²^s OA² OC²20

AC²OA² OC²

Le triangle ABO n’est pas rectangle donc les vecteurs~uetw~ ne sont pas orthogonaux.