Exercice d'introduction sur les coordonnées de vecteurs

COORDONNEES D'UN VECTEUR DANS UN REPERE Dans tout ce chapitre le plan est muni du repère ( O , I , J )

I) CALCUL SUR LES COORDONNEES DE VECTEURS Faire feuille polycopiée ( introduction aux coordonnées) D

éfinition :

Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM=u

M ( x ; y ) dans le repère ( O , I , J ) ⇔ ^⃗OM = x ⃗OI + y ⃗OJ

⃗u( x ; y ) dans la base ( ⃗OI ; ⃗OJ ) ⇔ ⃗u = x ⃗OI + y ⃗OJ x s’appelle l’abscisse et y l’ordonnée.

Propriété :

Soient 2 vecteurs u( x ; y ) , v( x' ; y' ) et 2 points A ( x_A ; y_A ) , B ( x_B ; y_B ) et k un réel.

u=v ⇔

{

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( x_Ax_B

2 ; y_Ay_B

2 )

Propriété :

Soient 2 vecteurs u ( x ; y ) , v ( x' ; y' )

u et v sont colinéaires ⇔ x y’- x’ y = 0 ( car les coordonnées doivent être proportionnelles)

Remarque : Le nombre xy'-x'y s'appelle le déterminant des vecteurs ⃗u et ⃗v . On note det( ⃗u , ⃗v ) = xy'-x'y

Propriété :

Dans un repère orthonormé : ∥⃗u∥ =

√

√

Exercices : 14 p 147 60 – 62 p 153 ( calcul sur coordonnées) 66 – 67 p 153 ( recherche coordonnees d'un point)

68 a) b) e) - 71 a) c) -70 a) b) p 153 ( colinéarité et alignement ) 100 p 156 ( distance + cos et sin)

II) UTILISATION DES VECTEURS POUR LES DROITES D

éfinition :

On appelle vecteur directeur de la droite D, tout vecteur non nul qui a la même direction que D.

Remarque : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs.

Si A et B sont deux points de D alors ^⃗AB est un vecteur directeur de D.

Exemple : Equation de (AB) avec A ( 1 ; 3 ) et B ( - 1 ; 5 ) ?

M(x;y) ∈ (AB) ⇔⃗AM ( x – 1 ; y -3 ) et ⃗AB ( -2 ; 2 ) sont colinéaires

⇔ 2(x-1) - (-2) (y-3) = 0

⇔ 2x + 2y – 8 = 0

On dit 2x + 2y – 8 = 0 est une équation cartésienne de (AB).

Propriété :

Toute droite a équation cartésienne de la forme a x + b y + c = 0.

Remarque : Si a x + b y + c = 0 est une équation cartésienne de D alors pour tout réel k ≠ 0, ka x + kb y + kc = 0 est aussi une équation cartésienne de D.

Une droite a donc une infinité d'équations cartésiennes.

Exercices : 32 – 33 p 174 Propriété :

L'ensemble des points M(x;y) qui vérifient l'équation a x + b y + c = 0 est une droite de vecteur directeur ⃗u ( - b ; a )

Exercice : On donne D : 2x – 3y +12 = 0

1) les points A( 5 ; 1) et B ( 0 ; 4) sont-ils sur D ? 2) Trouver des points de D.

3) Tracer D.

4) Déterminer une équation cartésienne de la droite D' paralléle à D passant par C ( -2 ; 5) Exercices : 27 – 28 p 174 (repésentation graphique)

12 – 13 p 172 ( position de 2 droites)

Exercice d'introduction sur les coordonnées de vecteurs

1) Placer le point M tel que OM=AB , puis lire les coordonnées de M.( ; ) On dit u = AB a pour coordonnées ( 2 ; 4 ).

2) Lire les coordonnées de v( ; ) , w ( ; ) et z ( ; ).

3) Donner les coordonnées de A, B, C, D puis à l'aide de ces coordonnées, trouver un calcul permettant de retrouver les coordonnées de u et v.

4) Tracer le vecteur uw et lire ses coordonnées, puis expliquer comment on peut retrouver ce résultat à l'aide des coordonnées de u et w.

5) Tracer le vecteur – 2w et lire ses coordonnées, puis expliquer comment on peut retrouver ce résultat à l'aide des coordonnées de w .