Vecteurs et coordonnées Vectors and coordinates

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 5

Vecteurs et coordonnées Vectors and coordinates

Calvin and Hobbes , by Bill Waterson

A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :

• calculer les coordonnées d’un vecteur dans un repère ;

• justifier la colinéarité de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2010/2011

Coordonnées de vecteurs

5.1

^{Dans un repère} orthonormé,ononsidère lespoints :

A(1; − 3) ; B(4; − 1) ; C(2; 1)

^et

D( − 1; − 1) 1

^{. Montrer quele} quadrilatère

ABCD

^{est un} parrallélogramme:

a

^{. en alulant des longueurs;}

b

^{. en alulant lesoordonnées du milieudes diagonales;}

c

^{. en alulant lesoordonnées des veteurs}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ DC ^{− − − −→}

^.

2

^{. Reprendre la question 1ave lespoints:}

A (1; 2) ; B (1; −1) ; C (−1; −2)

^et

D (−1; 1)

5.2

^{Dansun repère} orthonormal

( O ; I, J )

^{d'unité 1entimètre,on onsidèrelespoints:}

E

(−3 ; 0)

^{; B(2;0); T(0; 4)et U(5; 4).}

1

^{. Déterminer lesoordonnées des veteurs}

⁻ ET , ^{− − −→ −} EB, ^{− − − −→ −} U E ^{− − − − →}

^et

⁻ BU ^{− − − − →}

^.

2

^.

a

^{. Calulerla longueur}

ET

^{,puis la longueur}

EB

^.

b

^{. Quelleest lanature du} quadrilatère

T U BE

^{? Justier.}

c

^{. Déterminerles oordonnées de}

F

^{, entre de}

T U BE

^{, puis le plaer.}

3

^{. Soient (}

C

) le erle de entre

E

^{passant par}

B

^et

A

^{le seond point} d'intersetion de e erle ave l'axe des absisses.

a

^{. Quelleest lanature du triangle}

AT B

^{? Justier.}

b

^{. Démontrer que lesdroites}

(AT )

^et

(EF )

^sontparallèles.

c

^{. Comparer leslongueurs}

EF

^et

AT

^.

4

^{. Quelle est l'image du triangle}

AT E

^{par la} translation quitransforme

A

^en

E

^?

5.3

^Let

A(2, 3)

^,

B(1, − 1)

^,

C( − 3, − 3)

^{bethreepointsinaoordinategraph}

(O; I, J )

^and

D

^{a fourth one suh that}

ABCD

^isa parallelogram. The oordinates of

D

^{are unknown}

and will bedenoted

( a, b )

^.

1

^{. Compute the oordinates of vetor}

⁻ AB ^{− − − − →}

^.

2

^{. Write the oordinates of}

⁻ DC ^{− − − −→}

^{using the unknowns}

a

^and

b

^.

3

^{. Find out the values of}

a

^and

b

^.

4

^{. Compute the lengths}

AB

^,

BC

^,

CD

^and

DA

^{and hek that the opposite sides are}

equal.

5.4

^Soient

^→ u − 2

5

et

→ v 3

1 4

deux veteurs dénisparleurs oordonnéesdanslerepère

(O; I, J )

^{. Calulerles oordonnées de haun des veteurs suivants:}

→ u + ^→ v ; 2 ^→ u ; − 3 7

→ v ; − 3 ^→ u + ^→ v ; 2 ^→ v + 0, 8 ^→ u ; 1, 5 ^→ u − 3 5

→ v .

5.5

^{Dansunrepère}

( O ; I, J )

^{,ononsidèrelespoints}

A

^,

B

^et

C

^{deoordonnéesrespetives}

( − 2; − 1)

^,

(0; 1)

^et

( − 4; 0)

^{et un point}

D

^{de oordonnées}

(x; y)

^telque

⁻ CD ^{− − − −→} = 2 ⁻ AB ^{− − − − →}

^.

1

^{. Plaer sans alul lepoint}

D

^.

2

^{. Donner les oordonnées des veteurs}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ CD ^{− − − −→}

^.

3

^{. Calulerles oordonnées du point}

D

^{et vérier le résultatsur la gure.}

5.6

^Let

A( − 2, − 1)

^,

B(3, 2)

^and

C(1, 5)

^{bethreepointsinaoordinatesystem}

(O; I, J)

^.

1

^{. Compute the oordinates of vetors}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

2

^{. Compute the oordinates of the point}

I

^{, midpoint of segment}

AB

^.

3

^{. Compute the length}

AC

^.

4

^{. Compute the oordinates of vetors}

⁻ AB ^{− − − − →} + ⁻ AC ^{− − − − →}

^,

3 ⁻ AB ^{− − − − →}

^and

2 ⁻ AB ^{− − − − →} + 3 ⁻ AC ^{− − − − →}

^.

5

^{. Let}

K

^{be the point with oordinates}

(x, y)

^{,suh that}

⁻ CK ^{− − − − − →} = 3 ⁻ AB ^{− − − − →}

^.

a

^{. Using}

x

^and

y

^{,give the oordinates of the vetor}

⁻ CK ^{− − − − − →}

^.

b

^{. Find out the values of}

x

^and

y

^.

6

^{. Compute the oordinates of the point}

L

^{dened by}

⁻ AL ^{− − − →} + 2 ⁻ BL ^{− − −→} + ⁻ CL ^{− − −→} = ^→ 0

^.

Colinéarité, alignement et coordonnées

5.7

^Soient

A( − 2; 1)

^,

B (2; 3)

^,

C(0; − 2)

^,

D(2; − 1)

^{quatre points du plan.}

1

^{. Plaer lespoints}

A, B, C

^et

D

^{dans un repère.}

2

^.

a

^{. Quelleest la}partiularité des veteurs

− − − − − →

AB

^et

⁻ CD ^{− − − −→}

^?

b

^{. Calulerlesoordonnées de}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ CD ^{− − − −→}

^,notéesrespetivement

(x; y)

^et

(x ^′ ; y ^′ )

^.

Ces deux ouples de oordonnées sont-ils proportionnels?

c

^{. Caluler}

xy ^′ − yx ^′

^.

3

^.

a

^{. Lesveteurs}

⁻ AC ^{− − − − →}

^et

⁻ BD ^{− − − −→}

semblent-ilsolinéaires?

b

^{. Calulerles oordonnées de}

⁻ AC ^{− − − − →}

^et

⁻ BD ^{− − − −→}

^,notées respetivement

(s; t)

^et

(s ^′ ; t ^′ )

^.

Ces deux ouples de oordonnées sont-ils proportionnels?

c

^{. Caluler}

st ^′ − ts ^′

^.

4

^{. En} s'inspirant des questions préédentes, reopier et ompléter la proposition i- dessous.

Deux veteurs

→ u

^et

^→ v

^{de oordonnées respetives}

(x; y)

^et

(x ^′ ; y ^′ )

^sont

olinéaires si etseulement sileurs oordonnées ..., 'est àdire si ....

5.8

^{En utilisant la propriété de l'exerie préédent, déterminer parmi les paires de}

veteurs i-dessous elles qui sont omposées de veteurs olinéaires.

1

^.

^→ u(2; 5)

^et

^→ v ( − 4; − 10)

^;

2

^.

^→ u( − 3; 9)

^et

^→ v (2; 6)

^;

3

^.

^→ u(5; 1)

^et

^→ v (−10; 2)

^;

4

^.

^→ u( − 4; 12)

^et

^→ v (6; − 18)

^;

5

^.

^→ u(0; 7)

^et

^→ v (0; − 8)

^;

6

^.

^→ u(0; 7)

^et

^→ v (−8; 0)

^.

5.9

^Let

A( − 7, 4)

^,

B ( − 4, 10)

^,

C(10, 13)

^and

D(6, 5)

^{be four points in a oordinate sys-}

tem

(O; I, J )

^.

1

^.

a

^{. Compute the oordinates of the vetors}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ CD ^{− − − −→}

^.

b

^{. Dedue that the} quadrilateral

ABCD

^{is a trapezium.}

2

^{. Let}

I

^{be the point suh that}

⁻ IA ^{− − →} = 3 ⁻ AD ^{− − − − →}

^,

J

^and

K

^{the midpoints of segments}

AB

and

CD

^.

a

^{. Compute the oordinates of}

I

^.

b

^{. Compute the oordinates of}

J

^and

K

^.

c

^{. Prove that}

I

^,

J

^and

K

^{are ollinear.}

5.10

^{Dans la gure i-dessous,}

ABCD

^{est un arré de té égal à l'unité de longueur}

hoisie,

AIB

^et

BJC

^{sont deux triangles} équilatéraux. Le but de et exerie est de démontrer par deux méthodes que lespoints D, I, J sont alignés.

×

A ^× B

× C

D ×

I ×

× J

1

^{. Méthode 1 : Ave les angles} géométriques :

a

^{. Calulerlesangles}

DIA [

^,

AIB [

^et

BIJ d

^.

b

^{. Justierque}

DIJ [ = 180 ^o

^.Conlure.

2

^{. Méthode 2 : Dans un repère :}

En seplaçantdans un repère bien hoisi, démontrer que

D

^,

I

^et

J

^{sontalignés.}

On rappelle quedans un triangle équilatéral de té

a

^{, lahauteur mesure}

a ^√ ₂ ³

^.

5.11

^Let

ABC

^{beatrianglewith}

AB =

^8m,

AC =

^6mand

BC =

^{5m. Weonsider}

the points

M

^and

N

^{suh that :}

⁻ CN ^{− − − −→} = − ¹ 4

− − − − − →

AC

^et

⁻ AM ^{− − − − −→} = ³ ₄ ⁻ AB ^{− − − − →}

^.

1

^{. Plae the points}

M

^and

N

^.

2

^.

a

^{. Write}

⁻ BC ^{− − − − →}

^{as a linearombinationof}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

b

^{. Write}

⁻ M N ^{− − − − − −→}

^{as alinear ombinationof}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

c

^{. Dedue that the line}

M N

^{is parallelto the line}

BC

^.

3

^.

a

^{. Givetheoordinatesofpoints}

A

^,

B

^,

C

^,

M

^,

N

^{intheoordinatesystem}

( A ; B, C )

^.

b

^{. Compute the oordinates of}

⁻ M N ^{− − − − − −→}

^and

⁻ BC ^{− − − − →}

^.

c

^{. Usethe vetors to prove that the line}

M N

^{is parallelto the line}

BC

^.

5.12

^Let

ABC

^{be anon-at triangle,}

M

^and

N

^{two pointssuh that :}

− − − − − −→

AM = 3 5

− − − − − →

AB

^et

⁻ AN ^{− − − −→} = 2 5

− − − − − →

AB + 1 5

− − − − − →

AC 1

^.

a

^{. Why is}

(A; B, C)

^{a oordinatesystem of the plane?}

b

^{. Give the oordinates of the points}

A

^,

B

^,

C

^,

M

^and

N

^.

2

^{. Prove that the lines}

M N

^and

BC

^{are parallel one toanother:}

a

^{. rst, using the oordinates of}

⁻ M N ^{− − − − − −→}

^and

⁻ BC ^{− − − − →}

^;

b

^{. seond, deomposing}

⁻ M N ^{− − − − − −→}

^and

⁻ BC ^{− − − − →}

^{as linear}ombinationsof

− − − − − →

AB

^and

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

3

^.

a

^{. Whataretheoordinatesofthe point}

P

^suhthat

M N P B

^isaparallelogram?

b

^{. Prove that}

P

^{is onthe line}

BC

^.

5.13

^Soit

ABC

^{un trianglequelonque non aplati. On appelle}

M

^{le milieu du segment}

[AB ]

^{et N le milieu du segment}

[AC]

^{. On désigne par}

K

^et

L

^{les milieux respetifs des}

segments

[ CM ]

^et

[ BN ]

^{. Soit}

P

^et

Q

^{lespoints dénispar :}

− − − − −→

N P = 1 3

− − − − − − −→

N M

^et

⁻ M Q ^{− − − − − − →} = 1 3

− − − − − − −→

M N . 1

^.

a

^{. Faire une gure.}

b

^{. Justierque}

(A, B, C)

^{est un repère du plan.}

c

^{. Donner lesoordonnéesde}

A

^,

B

^,

C

^,

M

^,

N

^,

K

^,

L

^,

P

^et

Q

^{dans e repère.}

2

^{. Démontrer que lesdroites}

(P Q)

^et

(KL)

^sont parallèles.

3

^{. Démontrer que lespoints}

A

^,

P

^,

K

^{d'une part et}

A

^,

Q

^,

L

^{d'autrepart sont alignés.}

5.14

^{Dansun repère}

(O ; I, J )

^{orthonormé(unité graphique1 m), ondonneles points}

A (−1; 0)

^,

B (1; −6)

^et

H (3; −2)

^.

1

^{. Faireune gurequel'onompléteratoutaulongdumodule.Cettegurepermettra}

de vérier les résultats.

2

^.

a

^{. Calulerlesoordonnées du point}

K

^telque

ABHK

^soitun parallélogramme.

b

^{. Calulerlesoordonnées du point}

L

^{symétriquede}

H

^{par rapport à}

A

^.

c

^{. Calulerlesoordonnées du point}

C

^telque

⁻ HC ^{− − − −→} = − 2 ⁻ HB ^{− − − − − →}

d

^{. Lespoints}

C

^,

K

^et

L

^{sont-ilsalignés?}

3

^{. Soit}

I

^lemilieude

[ AB ]

^,

J

^eluide

[ AC ]

^.Soit

G

^{lepointdu planvériantlarelation}

vetorielle

− − − − − →

GA + ⁻ GB ^{− − − − →} + ⁻ GC ^{− − − − →} = ^→ 0

a

^{. Déterminerles oordonnées des points}

I

^,

J

^et

G

^.

b

^{. Montrer que}

C

^,

G

^et

I

^{sont alignés, puis que}

B

^,

G

^et

J

^{lesont aussi.}

c

^{. Que représentele point}

G

^{pour letriangle}

ABC

^?

4

^{. Soit}

M

^{le pointdéni par}

3 ⁻ BM ^{− − − − − − →} = 3 ⁻ BA ^{− − − − →} + 2 ⁻ BC ^{− − − − →}

a

^{. Calulerlesoordonnées du point}

M

^.

b

^{. Montrer que lesdroites}

(AM)

^et

(BC)

^sont parallèles.

5

^.

a

^{. Caluler}

AH ²

^,

HB ²

^et

AB ²

^{; quepeut-ondire des droites}

(AH)

^et

(BC)

^?

b

^{. Letriangle}

ABC

^{est-il retangle? Calulerl'aire du triangle}

ABC

^.

6

^{. La droite}

( LK )

^{oupeles axesdu repère en deux points}

E ( x E ; 0)

^et

F (0; y F )

^.

Déterminer lesvaleurs de

x E

^et

y F

^{par lealul.}

Homework #8 – Vectors and perpendicularity

As seen in this hapter, using oordinates for vetors is a very eient way to hek if

they are ollinearone toanother. The aimofthis homeworkisto nd suh arelation for

perpendiularity.

Part A – Examples

1

^.

a

^{. Using Geogebra, draw ve ouples of} perpendiular vetors. Make sure that your perpendiular ouplesare not alwaysparalleltoanaxisand don'talways

have the samelength. Send your leto the teaher, allingit

HW8-1-Yourname.ggb.

b

^{. For eah ouple of vetors, all}

x

^and

y

^{the oordinates of the rst vetor,}

x ^′

and

y ^′

^{the oordinates of the seond one. Compute the sum}

xx ^′ + yy ^′

^{. What}

doyounotie.

c

^{. What property about oordinates and} perpendiularity an you onjeture? Usethe words if and then tomakea lear statement.

2

^.

a

^{. Choserandomlyve pairsof ouples}

(x; y)

^and

(x ^′ ; y ^′ )

^{suh that}

xx ^′ + yy ^′ = 0

^.

Avoidas muhas possible ouples with one of the numbers equalto

0

^.

b

^{. OnanewGeogebragure,drawthevetors}

^→ u

x y

and

→ v x ^′

y ^′

.Sendyourle

tothe teaher, under the name

HW8-2-Yourname.ggb.

c

^{. Whatdoyounotieaboutthepairsofvetorsdrawn inthe previousquestion?}

d

^{. What property about oordinates and} perpendiularity an you onjeture?

Usethe words if and then tomakea lear statement.

Part B – Proof

In this part, we onsider an orthonormal oordinate

system

( O ; I, J )

^{and two vetors}

~ u

^and

~v

^.Let

A

^and

B

^{be the points suh that}

~ u = ⁻ OA ^{− − − − →}

^and

~v = ⁻ OB ^{− − − − →}

^{, as}

shown on the piture onthe right.

Let's all

x y

and

x ^′ y ^′

the respetive oordinates

ofthe vetors

~ u

^and

~v

^.Then

( x, y )

^and

( x ^′ , y ^′ )

^arethe

respetive oordinates of the points

A

^and

B

^.

O I J

b

b A

B

~ u

~v

1

^{. Write the lengths}

OA

^and

OB

^{using the oordinates of}

A

^and

B

^.

2

^{. Chek that}

BA = p

x ² + x ^{′ 2} + y ² + y ^{′ 2} − 2(xx ^′ + yy ^′ )

^.

3

^{. Whatequalityinvolvingthelengths}

OA

^,

OB

^and

BA

^{istrueifandonlythevetors}

~ u

and

~v

^{areorthogonal?Thisquestionisessentialandyouranswershouldbeperfetly}

lear, preise and omplete.

4

^{. Dedue from the equality in the previous question that the vetors}

~ u

^and

~v

^are

orthogonal if and only if

xx ^′ + yy ^′ = 0

^.

Part C – A few applications

Consider four points

A (2 , 3)

^,

B (8 , 0)

^,

C (6 , 6)

^,

D (3 , 0)

^{in an} orthonormal oordinate sys- tem

(O; I, J )

^.

1

^.

a

^{. Compute the oordinates of the vetors}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ DC ^{− − − −→}

^.

b

^{. Find out if the vetors}

⁻ AB ^{− − − − →}

^and

⁻ DC ^{− − − −→}

^{are orthogonal ornot.}

c

^{. What an youdedue about the line}

DC

^{in triangle}

ABC

^?

2

^.

a

^{. Compute the oordinates of the vetors}

⁻ CA ^{− − − − →}

^and

⁻ CB ^{− − − − →}

^.

b

^{. Find out if the vetors}

⁻ CA ^{− − − − →}

^and

⁻ CB ^{− − − − →}

^{are orthogonal ornot.}

c

^{. Use the previous question to prove that the point}

C

^{is not on the irle of}

diameter

AB

^.

Let's all

I

^,

J

^,

K

^{the respetive midpoints of the sides}

BC

^,

AC

^,

AB

^and

E

^{the point}

with oordinates

E(5.5, 2.5)

^.

3

^.

a

^{. Compute the oordinates of the vetors}

⁻ EI ^{− −→}

^,

⁻ EJ ^{− − − →}

^{, and}

⁻ EK ^{− − − − − →}

^.

b

^{. Prove that}

⁻ EI ^{− −→}

^{is orthogonal to}

⁻ BC ^{− − − − →}

^,

⁻ EJ ^{− − − →}

^{is orthogonal to}

⁻ AC ^{− − − − →}

^and

⁻ EK ^{− − − − − →}

^{is or-}

thogonalto

− − − − − →

AB

^.

c

^{. What an youdedue about the lines}

EI

^,

EJ

^and

EK

ⁱⁿ

ABC

^?

d

^{. What an youdedue about the point}

E

^?

4

^{. Compute the distanes}

EA

^and

ED

^.

5

^{. Prove that the points}

A

^,

B

^,

C

^,

D

^{are onyli.}

Devoir de l’année précédente

Exercise 1

^:

(12 points)

Let

A

^,

B

^,

C

^and

D

^{be4 points suh that}

A( − 2; 0) ; B( − 3; 2) ; C(1; 4)

^et

D(2; 2).

Answers must be explained. A graphi estimation is not an explanation.

1

^.

a

^{. Plotthe pointsin an}orthonormalgraph (1m or1 tilefor units).

b

^{. What seems tobethe natureof}

ABCD

^?

c

^{. Compute the oordinates of the vetors}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ DC ^{− − − −→}

^.

d

^{. What ould youdedue about}

ABCD

^?

2

^.

a

^{. Why are you allowed toompute some lengthsin this oordinategraph?}

b

^{. Compute the lengths}

BD

^and

AC

^.

c

^{. What more ould youdedue about}

ABCD

^?

3

^.

a

^{. Computetheoordinateof}

I

^{midpointofthesegment}

AC

^{,thentheoordinates}

of

J

^{midpointof segment}

BD

^.

b

^{. What ould younotie? Is that very surprising?}

4

^{. Let}

E

^{bethe point suh that}

⁻ AE ^{− − − − →} = 2 ⁻ BD ^{− − − −→} + 2 ⁻ AC ^{− − − − →}

^.

a

^{. Compute the oordinates of}

⁻ BD ^{− − − −→}

^and

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

b

^{. Dedue fromthe previous questionthe oordinates of vetor}

⁻ AE ^{− − − − →}

^.

c

^{. Arevetors}

⁻ AE ^{− − − − →}

^and

⁻ AD ^{− − − − →}

^ollinear?

d

^{. What ould youdedue forthe points}

A

^,

E

^and

D

^?

5

^{. Let denote}

( x ; y )

^{the oordinates of a point}

M

^.

a

^{. Using}

x

^and

y

^{,gives the oordinates of vetor}

⁻ AM ^{− − − − −→}

^.

b

^{. Find out the values of}

x

^and

y

^{suh that}

⁻ AM ^{− − − − −→} = 12 ⁻ CD ^{− − − −→}

^.

Exercise 2

^:

(8 points)

ABC

^{est un triangle telque}

AB

^=8m,

AC

^{=6m et}

BC

^=5m.

1

^.

M

^et

N

^{sont lespointstels que}

⁻ CN ^{− − − −→} = − ¹ 5

− − − − − →

AC

^et

⁻ AM ^{− − − − −→} = ⁴ 5

− − − − − →

AB a

^{. Faire une gure etplaer les points}

M

^et

N

^.

b

^{. Exprimer}

⁻ BC ^{− − − − →}

^{en fontion de}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

c

^{. Exprimer}

⁻ M N ^{− − − − − −→}

^{en fontion de}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

d

^{. Endéduire que}

( M N )

^et

( BC )

^sontparallèles.

2

^{. Soit}

D

^{unpointtelque}

ABCD

^soitunquadrilatèrequelonque.Ondénitlespoints

Q

^et

R

^{par :}

− − − − − →

QA = a ⁻ BA ^{− − − − →}

^et

⁻ DR ^{− − − −→} = a( −

− − − − − →

AD + ⁻ AC) ^{− − − − →}

(

a

^{étantun nombre réel).}

a

^{. Montrer que pour tout nombre réel}

a

^{, on a:}

⁻ QR ^{− − − − →} = a ⁻ BC ^{− − − − →} + (1 − a ) ⁻ AD ^{− − − − →}

b

^{. Que dire de}

QRCB

^si

ABCD

^{est un} parallélogramme?

Table of Contents

Coordonnées de vecteurs . . . 1

Colinéarité, alignement et coordonnées . . . 2

Homework #8 – Vectors and perpendicularity . . . 5

Devoir de l’année précédente . . . 7

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Vectors and coordinates . . . Episode 16 Opposite and collinear vectors . . . Episode 17

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