M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 4

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 4

Les propri´et´es r´eguli`eres sur les mots infinis

• Les AFN permettent de reconnaˆıtre des langages de mots finis sur l’alphabet 2^PA

• MAIS nous avons parfois besoin de consid´erer des langages de mots infinis (pour les propri´et´es de vivacit´e par exemple)

• Rappel : une propri´et´e temporelle lin´eaire est un sous ensemble de(2^PA)^!

Les automates de B ¨uchi non-d´eterministes

D´efinition

Un automate de B¨uchi non-d´eterministe (ABN) est un n-uplet A = (Q,⌃, ,Q0,F)o`u :

• Qest un ensemble fini d’´etats

• ⌃est l’alphabet

• :Q⇥⌃7!2^Q est la fonction de transitions

• Q0✓Qest l’ensemble des ´etats initiaux

• F ✓Qest l’ensemble des ´etats acceptants

• Notation :On noteraq!^a q⁰ si, et seulement si,q⁰2 (q,a)

• Remarque :C’est la mˆeme d´efinition que les AFN

Langage

• SoitA= (Q,⌃, ,Q₀,F)un ABN.

• Une ex´ecution acceptante deApourw=w0w1w2. . .dans⌃^! est une s´equence infinie d’´etatsq0q1q2. . .telle queq02Q0, q_i ^w!ⁱ q_i+1pour touti 2Net il existe un nombre infini dei tel que q_i 2F

• On note alorsL^!(A) ={w 2⌃^!|

il existe une ex´ecution acceptante deApourw}

• L^!(A)est le langage deA

• Remarquons queL^!(A)✓⌃^!

Exemple

• Cet ABN reconnaˆıt les mots infinis sur⌃={a,b}o`u l’on voit qu’un nombre fini dea.

→

b

Utilisation des ABN

• On va se servir des ABN pour repr´esenter des propri´et´es temporelles lin´eaires

• L’alphabet des ABN sera donc⌃=2^PA

• Une propri´et´e temporelle lin´eaireP✓(2^PA)^!est r´eguli`ere si il existe un ABNAtelle queL^!(A) =P

• Comme pour les AFN, les langages reconnus par les ABN sont clos par union, intersection et compl´ement. Ce sont les langages

!-r´eguliers.

Exemple I

• PA={V,O,R}et on consid`ere la propri´et´e temporelle lin´eaire P_V qui dit que l’on voitV infiniment souvent

• PV est r´eguli`ere

us .HN ^.lv

.lv

)

→

¥0

d. LNG ^0.44103

① ^{14.4.03 .HN}

103,10M ) Long ^{war )}

Exemple II

• PA={a,b}et on consid`ere la propri´et´e temporelle lin´eaireP<sub>ab</sub> qui dit que `a chaque fois que l’on aaalors dans le futur strict on voit unb.

• P_abest r´eguli`ere

¢

→

"

is _,

d. lbs

0 _lbs

Tester si le langage d’un ABN est vide

• SoitA= (Q,⌃, ,Q0,F)un ABN.

• Les deux propositions suivantes sont ´equivalentes : (a) L^!(A)6=;

(b) Il existe un ´etatq2F tel queqest accessible dansAdepuis un

´etat dansQ0etqappartient `a un cycle dansA

• Pour v´erifier siL^!(A)6=;, on peut chercher un ´etatqdansF qui soit accessible depuisQ₀et `a partir duquel on peut atteindreq par un chemin prenant au moins une transition

Model-checking des propri´et´es temporelles lin´eaires r´eguli`eres

• SoitPune propri´et´e temporelle lin´eaire r´eguli`ere.

• En fait on va consid´erer le compl´ement deP, c’est-`a-dire la propri´et´e temporelle lin´eaireP¯ = (2^PA)^!\P.

• Comme les langages!-r´eguliers sont clos par compl´ements, il existe un ABNA¯ tel queL^!(¯A) = ¯P

• On a alorsST |=Psi, et seulement si,Traces(ST)\L^!(¯A) =;.

to

V´erifier Traces(ST ) \ L

(¯ A) = ;

On construitST ⌦A¯ comme pour les AFN

• SiST = (S,!,s_in,PA,L)etA¯ = (Q,⌃, ,Q₀,F), on d´efinit la structureST⌦A¯= (S⁰,!,I)telle que :

• S⁰=S⇥Q

• !⁰✓S⁰⇥S⁰v´erifie(s,q)!⁰(t,p)ssis!tetq ^L(t)!p

• I={(sin,q)|9q02Q0.q0 L(s_in)

!q}

• On regarde si il y a un chemin dansST⌦A¯ depuis un sommet deIvers un sommet(s,q_f)tel queq_f 2F et(s,q_f)appartient `a un cycle dansST⌦A¯ .

• Si il n’y a pas de tel chemin on aST |=Psinon on aST 6|=P

Exemple

PA ^.

.

HR

Pionnoitvinfinimentsouvent

43

c- Est^.

ague

?

→

⑤~④ bonpiendponnoitvunnonhre

LR) _si

fini

f.

I A

,④→⑧

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^www.dv.rs

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f) Is.gg/estacanihledepimunitatinikImais