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M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 2

1

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Traces d’un syst`eme

SoitST = (S,!,sin,PA,L)un syst`eme de transitions.

• Ce qui est important ce sont les s´equences d’´etiquettes dansPA que l’on observe

• Ainsi plutˆot que de consid´erer les ex´ecutions d’un syst`eme (les s´equences infinies d’´etats), on va regarder les s´equences de propositions atomiques associ´ees

• Pour rappel, pour touts2S, on aL(s)✓PA

• UnetracedeST est une s´equence infinieL(s0)L(s1)L(s2). . . telle ques0s1s2. . .est une ex´ecution

• On noteTraces(ST)l’ensemble des traces deST

• Une trace est donc une s´equence infinite de sous-ensemble de PA

• Pour une ex´ecution⇡=s0s1s2. . ., on noteratrace(⇡)la trace associ´eeL(s0)L(s1)L(s2). . .

• On a doncTraces(ST trace(⇡) Exec(ST

(3)

Exemple

3

r

PA .

lait

. . ..

oik ) tkaepeoauusvenlataaidnoiune

section critique

niipeocinefaitrien n

r

wi : proc i attend la section

I I

innit

a.

:mai

.

wiliam Luik

)

sina.name

,

'

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laity kik )

IT -.

hand

-

shunt

-

ska .nu/-slnn.ml-sfwnrn4sfwn.wd-s

(crowd -

cnn.ms/nr.cu1as(nn.mle..h-aaeut--o19liwta39oefIaihIcf1aih3o

.. .

(4)

Notations

SoitE un ensemble.

• 2E={E0|E0✓E}: l’ensemble des sous-ensemble deE

• E: l’ensemble des s´equences finiese0e1. . .entelles que pour touti 2{0,1, . . . ,n}, on aei 2E

• E!: l’ensemble des s´equences infiniese0e1e2. . .telles que pour touti2N, on aei 2E

(5)

Propri´et´es temporelles lin´eaires

SoitST = (S,!,sin,PA,L)un syst`eme de transitions.

• On aTraces(ST)✓(2PA)!

• Unepropri´et´e temporelle lin´eairesurPAest un sous ensemble de(2PA)!, c’est-`a-dire un ensemble de s´equences infinies d’ensembles de propri´et´es atomiques

• SiPest une propri´et´e temporelle lin´eaire, on dit queST satisfait P, not´eST |=Psi, et seulement si, on aTraces(ST)✓P.

) Un syst`eme satisfaitPsi, et seulement sitoutes ces traces appartiennent `aP.

5

-

(6)

Exemple-I

• Un syst`eme avec deux feux de circulations `a couleur rouge et vert

• On prendPA={V1,R1,V2,R2}.

• On consid`ere la propri´et´e temporelle lin´eaire suivante :

• Le premier feu est infiniment souvent vert

• PA={A0A1A2. . .✓(2PA)!|le nombre deitel queV12 Ai est infini}

• Les s´equences suivantes sont dansPA:

1 {V1,R2}{R2};{V1,R2}{R2};. . .{V1,R2}{R2};. . .

2 ;{V1};{V1};{V1}. . .;{V1}. . .

3 {V1,V2}{V1,V2}{V1,V2}. . .{V1,V2}. . .

• La s´equence suivante n’est pas dansPA:

1 {V1}{V1};;;. . .;. . .

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Exemple-II

• On consid`ere la propri´et´e temporelle lin´eaire suivante :

• Les deux feux ne sont jamais verts en mˆeme temps

• PB={A0A1A2. . .✓(2PA)!| il n’existe pas deitel queV12 Ai etV22Ai}

• Les s´equences suivantes sont dansPB:

1 {V1}{V1}. . .{V1}. . .

2 ;{R1,R2};{R1,R2}. . .;{R1,R2}

7

(8)

Exemple-III

d

- ,

ST

.

'

le uptime

ST satisfied les proprieties Pa et PB . On

a

him

Traces

Cst ) EPA

et Traces

Cst

) EPB . ST F Pa et STK Ppg

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Propri´et´es de s ˆuret´e

• Lespropri´et´es de s ˆuret´esont des propri´et´es lin´eaires temporelles particuli`eres telles que si une trace n’est pas dans cette propri´et´e alors il existe un pr´efixe fini de cette trace telle que toute trace commenc¸ant par ce pr´efixe n’est pas dans la propri´et´e.

• Formellement une propri´et´e temporelle lin´eairePsafe surPAest une propri´et´e de sˆuret´e si pour toute s´equence 2(2PA)!\P, il existe un pr´efixe fini ˆde tel que :

Psafe\{ 02(2PA)!|ˆest pr´efixe de 0}=;

9 safe

÷⇐÷÷÷ :* : .

f-

Poof

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Propri´et´es de s ˆuret´e-II

Exemple 1 :

• SiPA={crit1,crit2}etPexest la propri´et´e disant que deux processus ne sont jamais en mˆeme temps en section critique

• Pex ={A0A1A2. . .2(2PA)!|6 9i 2N.{crit!,crit2}✓Ai}

• Pex est une propri´et´e de sˆuret´e

• Si = 0 1 2. . .est dans(2PA)!\Pex alors il existei 2Ntel que {crit!,crit2}✓ i et si on prend 0 = 0 1. . . i 00avec

002(2PA)!on a bien 0 62Pex

• Un pr´efixe comme 0. . . i est appel´emauvais pr´efixe Exemple 2 :

• PA={vert,orange,rouge}etPjr disant qu’`a chaque fois le feu est rouge, le feu est jaune est dans l’´etat pr´ec´edent

• Pjr ={A0A1A2. . .2(2PA)!|rouge2Ai implique(i >

0 etjaune2Ai 1)}

-

jaune

nun

Why

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Propri´et´es de s ˆuret´e-III

Exemple 3:

• Exemple de propri´et´e qui n’est pas une propri´et´e de sˆuret´e

• PA={vert,orange,rouge}etPv disant qu’un jour le feu est vert

• Pv ={A0A1A2. . .2(2PA)!|9i 2N.vert 2Ai}

• Soit =;;. . .;. . .alors 2/P

• Mais pour tout pr´efixe fini ˆde , on a 0= ˆ{vert};;. . .;. . .qui appartient `aPv

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Propri´et´es de vivacit´e

Intuition :

• Propri´et´e de sˆuret´e : quelque chose de mauvais n’arrivera jamais

• Propri´et´e de vivacit´e : quelque chose arrivera un jour

• Une propri´et´e lin´eaire temporellePliv✓(2PA)!est une propri´et´e de vivacit´e si pour toute s´equence finie 2(2PA), il existe une s´equence infinie 02(2PA)!tel que 0 2Pliv

• C’est-`a-dire, toute s´equence finie peut ˆetre allong´ee en une s´equence infinie qui appartient `aPliv

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Exemple

On consid`ere un syst`eme repr´esentant l’exclusion mutuelle de deux processus avecPA={wait1,wait2,crit1,crit2}et les propri´et´es :

A Chaque processus va entrer un jour en section critique B Chaque processus va entrer infiniment souvent en section

critique

C Chaque processus en attente va entrer un jour en section critique On peut les ´ecrire ainsi :

• PA={A0A1A2. . .2(2PA)!|9i 2N.9j 2N.crit12Ai etcrit22 Aj}

• PB ={A0A1A2. . .2(2PA)!|

il existe un nombre infini dei tels quecrit12

Ai et il existe un nombre infini dej tels quecrit22Aj}

• Pc ={A0A1A2. . .2(2PA)!|8i 2N.(wait12Ai )(9j 2N.j >

i etcrit12Aj))et(wait22Ai )(9j2N.j >i etcrit22Aj))} Ces trois propri´et´es sont des propri´et´es de vivacit´e

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Liens entre les propri´et´es

Lemme

SiPest une propri´et´e lin´eaire temporelle qui est `a la fois une propri´et´e de sˆuret´e et de vivacit´e alorsP= (2PA)!.

Preuve :

• SoitPune propri´et´e de vivacit´e. Alors pour tout mot fini ˆ 2(2PA), il existe 02(2PA)!tel queˆ 02P. SiPest une propri´et´e de sˆuret´e, on a alors n´ecessairement(2PA)!\P=;. D’o`uP= (2PA)!.

Il existe des propri´et´es lin´eaires temporelles qui ne sont ni des propri´et´es de sˆuret´e ni des propri´et´es de vivacit´e. Par exemple :

• Les deux processus ne sont jamais en mˆeme temps en section critique et un jour un processus arrive en section critique.

• Ce n’est pas une propri´et´e de vivacit´e, la s´equence finie d’un

´el´ement{crit1,crit2}ne peut pas ˆetre prolong´ee.

• Ce n’est pas une propri´et´e de sˆuret´e, pour la s´equence infinie

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Forme des propri´et´es

Th´eor`eme

SiPest une propri´et´e lin´eaire temporelle alorsP=Psaf \Pliv o`uPsaf est une propri´et´e de sˆuret´e etPliv est une propri´et´e de vivacit´e.

Preuve :

• On d´efinitPsaf ={ 2(2PA)!|8ˆ2

(2PA).siˆest pr´efixe de alors9 02(2PA)!tel queˆ 0 2P}.

• Pliv =P[ (2PA)!\Psaf

• Remarque : On aP✓Psaf.

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