• Aucun résultat trouvé

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "M´ethodes Formelles Approche Probabiliste"

Copied!
16
0
0

Texte intégral

(1)

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 3

(2)

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 3

(3)

Les propri´et´es r´eguli`eres

Probl`eme :

• Comment d´ecrire de fac¸on concise et manipulable des propri´et´es temporelles lin´eaires qui sont en pratique des sous-ensembles de(2PA)!?

Solution :

• On va utiliser la th´eorie des automates

• Un automate permet en effet de d´ecrire de fac¸on fini un ensemble (possiblement infini) de mots

• Dans un deuxi`eme temps, on verra aussi des formalismes logiques

(4)

Les automates finis

D´efinition

Un automate fini non-d´eterministe (AFN) est un n-uplet A = (Q,⌃, ,Q0,F)o`u :

• Qest un ensemble fini d’´etats

• ⌃est l’alphabet

• :Q⇥⌃7!2Q est la fonction de transitions

• Q0✓Qest l’ensemble des ´etats initiaux

• F ✓Qest l’ensemble des ´etats finaux

Notation :On noteraq!a q0 si, et seulement si,q02 (q,a)

(5)

Exemple

a

b

T

E-

lab )

i,

86%

.ae/=Lqo3Q--/9o.q..q3/8l9orbt-/9o.9n )

Q

. -.

8fqn.at 84.11--192

Lao

)

.

:/ act

F--

La )

I

)

.at seq

.es

Cab

)

-

-

¢

(6)

Langage

• SoitA= (Q,⌃, ,Q0,F)un AFN.

• Soitw 2⌃tel quew=a0. . .an

• Une ex´ecution acceptante pourwdansAest une s´equence finie d’´etatsq0q1. . .qnqn+1telle queq02Q0etqn2F etqi a!i qi+1 pour touti2{0, . . . ,n}

• On note alorsL(A) ={w2⌃|

il existe une ex´ecution acceptante pourw dansA}

• L(A)est le langage deA

• Remarquons queL(A)✓⌃

t I

- A recommit LCA)

(7)

Exemple I

A

÷

If

Al -.

I

w. w . .. w n

Hab It

I n

72 et

wn . . =

b)

(8)

Exemple II

Not fi

in sur

E

--

La

.

b)

tds que a

da

que fois ga' on

voi

t

an a

la lettie

swimante est an

b

a

(9)

Quelques points sur les AFN

Tester le vide du langage

• Un enjeu est de savoir si un AFNAa un langage non vide (c’est-`a-direL(A)6=;)

• Pour cela, il suffit de chercher un chemin partant d’un ´etat dans Q0vers un ´etat dansF.

• On peut faire cela facilement avec un algorithme en profondeur d’abord d’exploration de graphe

Remarque

• Les langages reconnus par des AFN sont dits r´eguliers, ils sont clos par union, intersection et compl´ement

(10)

Intersection de langages r´eguliers

• SoientA1= (Q1,⌃, 1,Q0,1,F1)etA2= (Q2,⌃, 2,Q0,2,F2)deux AFNs

• On peut construite un AFNAtel queL(A) =L(A1)\L(A2)

Produit synchronis´e d’automates :

On consid`ere l’automateA1⌦A2= (Q,⌃, ,Q0,F)avec :

• Q=Q1⇥Q2

• Q0=Q0,1⇥Q0,2

• F =F1⇥F2

• (q1,q2)!a (q10,q20)si, et seulement si,q1 a

!q01etq2 a

!q20

• On aL(A1⌦A2) =L(A1)\L(A2)

(11)

Exemple II

ABBY

A =→§÷.a§a A

:-.

?i

A ④ A Da

→g

a

a

KCA @ Atif

(12)

Propri´et´es de s ˆuret´e r´eguli`eres

Rappel :une propri´et´e temporelle lin´eairePsafe surPAest une propri´et´e de sˆuret´e si pour toute s´equence 2(2PA)!\P, il existe un pr´efixe finiˆ de tel que :

Psafe\{ 02(2PA)!|ˆest pr´efixe de 0}=;

• Un tel pr´efixeˆest appel´e mauvais pr´efixe.

• Une propri´et´e de sˆuret´e est dite r´eguli`ere si l’ensemble de ses mauvais pr´efixes est langage r´egulier (c’est-`a-dire reconnu par un AFN)

• FormellementMauvaisPref(Psafe) ={ˆ2(2PA)|Psafe\{ 2 (2PA)!|ˆpr´efixe de }=;}

• Une propri´et´e r´eguli`ere de sˆuret´ePsafe et donc donn´ee par un AFNAMP tel queL(AMP) =MauvaisPref(Psafe)

(13)

Exemple I

• Un feu avec trois couleurs;PA={V,O,R}

• Por ={A0A1A2. . .2(2PA)!|R2Ai implique(i >0 etO2 Ai 1)}est une propri´et´e de sˆuret´e

• L(AMP)correspond aux mots finis sur 2PAo`u `a un moment on a Rnon pr´ec´ed´e parO.

of.ws

.HN

.IN

as .IO

.RS.

A

- IR.vl.LO.R.rs

%E%q§

, -

teen

.

Yo :Yn Aap

(14)

Exemple II

• Un distributeur de boisson qui rec¸oit des pi`eces et distribue des boissons;PA={P,B}

• Propri´et´ePPB : Le nombre de fois o`u l’on a vu une boisson (B) et toujours au moins ´egal au nombre de fois o`u l’on a vu une pi`ece (P)

• C’est une propri´et´e de sˆuret´e

• On aMauvaisPref(PPB) ={ 0... n2(2PA)|9k 2{0, . . . ,n}.|{i | 0ik etP2 i}|<|{i |0i k etB2 i}|}

• Il n’existe pas d’AFNAtel queL(A) =MauvaisPref(PPB)

• PPB n’est pas une propri´et´e de sˆuret´e r´eguli`ere.

(15)

Comment v´erifier que ST | = P

safe

?

• SoitPsafe une propri´et´e de sˆuret´e r´eguli`ere etAMPl’automate reconnaissant ses mauvais pr´efixes.

• ST |=Psafe si, et seulement si, il n’existe pasˆ2L(AMP)et 2(2PA)!tel queˆ 2Trace(ST).

• On va chercher l’existence d’un tel pr´efixeˆ.

• SiST = (S,!,sin,PA,L)etAMP = (Q,⌃, ,Q0,F), on d´efinit la structureST⌦AMP = (S0,!,I)telle que :

• S0=S⇥Q

• !0✓S0⇥S0v´erifie(s,q)!0(t,p)ssis!tetq L(t)!p

• I={(sin,q)|9q02Q0.q0 L(s0)

!q}

• On regarde si il y a un chemin dansST⌦AMPdepuis un sommet deIvers un sommet(s,qf)avecqf 2F.

• Si il n’y a pas de tel chemin on aST |=Psafesinon on a ST 6|=Psafe

I

oiidh)

(16)

Exemple

ST

so

.

.

"

' ¥:it : ::: mm

...

.

.

A np ST

Anp

s④→s④

is

ss.ar.DD-ssa.ae?DD

Références

Documents relatifs

Un peu plus subtile, ne modifie pas b, donc on peut utiliser la même décomposition pour tout vecteur b, donne A-1 et les vecteurs propres.. Gauss Jordan (pivot

4) Montrer que toutes les formes lin´ eaires sur X sont born´ ees et

Fast diffusion equations on the Euclidean space (without weights) B Euclidean space: R´enyi entropy powers.. B Euclidean space: self-similar variables and relative entropies B The

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris.

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris.

• Par exemple: un distributeur de boissons a une chance sur deux de tomber en panne si l’on choisit un cappuccino et une chance sur dix si l’on choisit un caf´e. le choix de la

Si l’utilisateur obtient trois fois le mˆ eme chiffre, il peut rejouer, si quand il rejoue il obtient de nouveau trois fois le mˆ eme chiffre qu’au coup pr´ ec´ edent, il gagne, si

Dire en le justifiant si les propri´ et´ es temporelles lin´ eaires suivantes sont des propri´ et´ es de sˆ uret´ e ou de vivacit´ e ou n’entrent dans aucune de ces deux