• Aucun résultat trouvé

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "M´ethodes Formelles Approche Probabiliste"

Copied!
20
0
0

Texte intégral

(1)

M´ethodes Formelles Approche Probabiliste

Arnaud Sangnier IRIF - Universit´e de Paris

Cours 8

(2)

Propri´et´es qualitatives

On compare la probabilit´e d’un ´ev´enement avec>0 ou=1

Par exemple :

A-t-onPM(s|=FGB)>0 ?

A-t-onPM(s|=FB) =1 ?

On va voir que pour les chaˆınes de Markov avec un nombrefini d’´etats, les propri´et´es qualitatives d´ependent seulement du

’graphe’ de la chaˆıne de Markov et pas des probabilit´es

Attention :Cela n’est plus vrai pour les chaˆınes de Markov avec un nombre infini d’´etats !

(3)

Notions de graphes sur les chaˆınes de Markov

SoitM = (S,P,sin,PA,L)une chaˆıne de Markov (avecSfini).

Un ensembleT Sestfortement connexessi pour toute paire d’´etats(s,t)2TT il existe un chemin finis0. . .sntelle que si 2T pour tout 0i nets0=setsn=t.

T est appel´ee unecomposante fortement connexe(CFC)

UneCFC puits(CFCP) est une CFC T dont on ne peut pas sortir. C’est-`a-dire, pour touts2T, on aP

t2TP(s,t) =1.

Un ´etats2Sest ditabsorbantsiP(s,s) =1. Un ´etat absorbant est une CFCP.

Notations :

CFC(M) ={T S|T est une CFC}

CFCP(M) ={T S|T est une CFCP}

(4)

Exemple

'

(5)

Un petit r´esultat

Lemme

SiT,T02CFCP(M)etT 6=T0alorsT \T0 =; Preuve :

SoientT,T02CFCP(M)telles queT 6=T0etT \T06=;.

Soits2T \T0 ets0 2T\T0 (si il n’y a pas de telles0on inverse T etT0)

Commes02T, il existe un chemin desverss0, mais du coup ce chemin part deT0 et sort deT0

Contradiction avecT02CFCP(M)

(6)

Observer les ´etats qui se r´ep´etent

SoitM = (S,P,sin,PA,L)une chaˆıne de Markov (avecSfini).

Si=s0s1. . .est une ex´ecution deM(un chemin infini partant

desinalors on note :

inf(⇡) ={s2S| |{i 2N|si =s}|est infini}

inf(⇡)sont les ´etats qui apparaissent infiniment souvent dans

PourT S, l’ensemble{2Exec(M)|inf(⇡) =T}est mesurable

En effet,{2Exec(M)|inf(⇡) =T}=T

t2TGF{t}\FGT

De mˆeme{2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)}est mesurable

En effet,{2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)}=S

T2CFCP(M){2 Exec(M)|inf(⇡) =T}

(7)

Propri´et´e fondamentale

Elle nous dit que siM a un ensemble fini d’´etats l’ensemble des ex´ecutionstelles queinf(⇡)2CFCP(M)est de mesure 1

En d’autres termes, presque toutes les ex´ecutions finissent dans une CFCP deM (et celles qui ne finissent pas dedans ont une probabilit´e 0)

Th´eor`eme

SiM est une chaˆıne de Markov avec un nombre fini d’´etats, alors : PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)) =1

(8)

Preuve - I

CommeM est fini, on a Exec(M) =S

T2CFC(M){2Exec(M)|inf(⇡) =T}(dans un graphe fini tout chemin infini finit dans une CFC).

De plus, siT 6=T0 alors

{2Exec(M)|inf(⇡) =T}\{2Exec(M)|inf(⇡) =T0}=;

Donc

PM(Exec(M)) =1=P

T2CFC(M)PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)

Le probl`eme est que nous int´eressons au CFCP et non au CFC, il faut donc montrer que siT 2CFC(M)\CFCP(M)alors PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T) =0.

(9)

Preuve - II

SoitT 2CFC(M)\CFCP(M). Il existe donct 2T et¯t2/ T tels quek =P(t,¯t)>0

On note alorsTnt l’ensemble des ex´ecutions qui visitenttau moinsnfois qui ne vont jamais dansS\T.

On a alorsPM(T1t)(1 k)etPM(Tnt)(1 k)n

On noteT1t =T

n 1Tnt. Il s’agit des ex´ecutions o`ut est vue infiniment souvent maisS\T n’est pas vu.

On aPM(T1t )limn!+1(1 k)n=0.

Mais du coup on a que{2Exec(M)|inf(⇡) =T}T1t .

Par cons´equencePM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)PM(T1t ) =0

On a de plus :

PM(Exec(M)) =1=

PT2CFCP(M)PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)+

PT2CFC(M)\CFCP(M)PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)

D’o`uPM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)) =1

(10)

Accessibilit´e presque s ˆure

SoitM = (S,P,sin,PA,L)une chaˆıne de Markov (avecSfini).

Pours2S, on d´enote parpost(s)l’ensemble {t 2S| il existe un chemin fini desverst}

post(s)sont les ´etats que l’on peut atteindre depuiss(y compriss)

etpre(t) ={s2S|t2post(s)}

pre(t)sont les ´etats depuis lesquels on peut atteindres

Pour un ensembleT S, onpostT =S

t2Tpost(t)et preT =S

t2Tpre(t)

Th´eor`eme

Pours2SetBSun ensemble d’´etats absorbants (pour toutt 2B, on aP(b,b) =1), les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1 PM(sin|=FB) =1

post(t)\B6=;pour toutt 2post(s )

b

(11)

Preuve - I

1)2. Par contradiction.

Soitt2post(sin)tel quepost(t)\B=;. DoncBn’est accessible depuist.

AlorsPM(sin|=FB)1 PM(sin|=Ft)

Commet2post(sin), on aPM(sin|=Ft)>0, d’o`u PM(sin|=FB)<1

2,3. Les points suivants sont ´equivalents:

post(t)\B6=;pour toutt2post(sin)

post(sin)pre(B)

post(sin)\S\pre(B) =;

sin2/pre(S\pre(B))

sin2S\pre(S\pre(B))

(12)

Preuve - II

2)1.

Supposons quepost(t)\B6=;pour toutt2post(sin).

Comme les ´etats deBsont absorbants, on a : CFCP(M) =[

t2B

{{t}}[ [

T2CFCP(M),T\B=;

{T}

Montrons quePM(sin|=FB) =1

SoitT 2CFCP(M)tel queT\B=;

SiPM(sin|=FT)>0, alors il existe une ex´ecution qui fini dansT (carT 2CFCP(M)). Prenons un ´etatsdansT de cette ex´ecution.

Alorspost(s)\B=;ets2post(sin)Contradiction.

DoncPM(sin|=FT) =0

D’o`u 1=PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)) =P

t2BPM(⇡2 Exec(M)|inf(⇡) ={t})) =P

t2BPM(sin|=Ft) =PM(sin|=FB)

(13)

En franc¸ais + Exemple

speut atteindre presque sˆurement un ensemble d’´etats absorbantsBssi depuisson ne peut pas atteindre d’´etatst depuis lesquelsBn’est pas accessible.

a

P

a \ '

f ¥7

-

O on

Plot FB ) -1 Pls E FB) 51

(14)

En pratique

Comment calculer l’ensemble d’´etatss2Stels que PM(s|=FB) =1pour unBS

1 Transforme tous les ´etats deBen ´etat absorbant. On obtient une nouvelle chaˆıne de MarkovMB.

2 Calculer l’ensembleS\pre(S\pre(B))

3 L’ensemble obtenu est celui recherch´e

(15)

Accessibilit´e r´ep´et´ee presque s ˆure

SoitM = (S,P,sin,PA,L)une chaˆıne de Markov (avecSfini).

Th´eor`eme

Pours 2Set B Sun ensemble d’´etats , les deux propri´et´es suiv- antes sont ´equivalentes :

1 PM(sin|=GFB) =1

2 T \B6=;pour chaque CFCPT telle queT post(sin)(ie accessible depuissin)

(16)

Preuve - I

1)2. Par contradiction,

Supposons qu’il existeT 2CFCP(M)telle queT\B=;et T post(sin)

Alors il existe une ex´ecution desinversT (qui reste toujours dans T ensuite carT 2CFCP(M)). Prenonssun ´etat deT sur cette ex´ecution.

On aPM(s|=GFB) =0 (carT \B=;)

EtPM(sin|=GFB)1 PM(sin|=Fs).

mais commesest accessible depuissin, alorsPM(sin|=Fs)>0.

d’o`uPM(sin|=GFB)<1

(17)

Preuve - II

2)1.

On a 1=PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M))

etPPM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)2CFCP(M)) =

T2CFCP(M),Tpost(sin)PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)

Mais on a aussiPM(sin|=GFB) =PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡)B) = PM(⇡2Exec(M)|9T2CFCP(M).inf(⇡) =TetT \B6=;)

Cette derni`ere ´egalit´e est du au fait que les chemins ne finissant pas dans une CFCP ont une probabilit´e nulle

Mais du coup

PM(sin|=GFB) = X

T2CFCP(M) T✓post⇤(sin),T\B6=;

PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T)

Mais commeT post(sin)impliqueT\B6=;(par 2) alors, on a : PM(sin|=GFB) = X

T2CFCP(M) T✓post⇤(sin

PM(⇡2Exec(M)|inf(⇡) =T) =1

(18)

En pratique

Comment calculer l’ensemble d’´etatss2Stels que PM(s|=GFB) =1pour unBS

1 On calcule les CFCP deM

2 On aPM(s|=GFB) =1 ssi il n’y a pas de CFCPT deM atteignable depuisset telle queT\B=;

(19)

Une autre application

Nous avons vu que tous les chemins finissent presque sˆurement dans une CFCP, cela nous permet de calculer la probabilit´e pour l’accessibilit´e r´ep´et´ee en utilisant le calcul pour l’accessibilit´e

Il faut aussi remarquer que quand on rentre dans une CFCP, alorstous les ´etatsde la CFCP seront visit´es presque sˆurement (avec probabilit´e 1)

Th´eor`eme

SoitM = (S,P,sin,PA,L)une chaˆıne de Markov (avecS fini),BS etU=S

T2CFCP(M),T\B6=;T alors

PM(sin|=GFB) =PM(sin|=FU)

Donc pour calculerPM(sin|=GFB), on peut se servir de la m´ethode avec syst`eme lin´eaire permettant de calculer PM(sin|=FU)vue au cours pr´ec´edent

(20)

Un dernier point

De mˆeme on aPM(sin|=FGB) =1 ssiT Bpour chaque CFCP T telle queT post(sin)

etPM(sin|=FGB) =PM(s|=FV)avecV =S

T2CFCP(M),T✓BT

Références

Documents relatifs

● L'alias pour désigner l'adresse de diffusion intégrale pour n'importe quelle réseau est donc l'adresse :.

● Le mot clef synchronized est utilisé dans le code pour garantir qu'à certains endroits et à un moment donné au plus un processus exécute la portion du code. ●

● Ainsi les objets champs d'un objet implémentant Serializable doivent aussi implémenter Serializable. ● Il ne faut pas sérialiser n'importe

● Comme pour connect, en IPv4, le deuxième argument sera souvent de type struct sockaddr_in et le troisième sera sizeof(struct sockaddr_in). ● Comme on est sur le serveur, on n'a

● On utilise la méthode public int read(byte[] input, int offset, int length) throws IOException. ● Cette méthode remplit length octet du tableau input à partir de la

1) Créer une socket pour se connecter au service 2) Récupérer les flux d'entrée et sortie et les filtrer 3) Envoyer une chaîne de caractères &#34;Hello&#34;. 4) Attendre et

• Les mod `eles peuvent ˆetre diff ´erents selon les caract ´eristiques du syst `eme que l’on souhaite prendre en compte. • Les sp ´ecifications d ´ependent aussi de ce que

• Les deux processus ne sont jamais en mˆeme temps en section critique et un jour un processus arrive en section critique.. • Ce n’est pas une propri´et´e de vivacit´e,