M´ ethode formelle Approche probabiliste – Master 2 Informatique TD : Propri´ et´ es temporelles lin´ eaires
Exercice 1 : Propri´et´es de sˆuret´e et de vivacit´e On consid`ere l’alphabet de propositions atomiques Σ ={a, b}. Dire en le justifiant si les propri´et´es temporelles lin´eaires suivantes sont des propri´et´es de sˆuret´e ou de vivacit´e ou n’entrent dans aucune de ces deux classes.
1. On ne voit jamaisaet bau mˆeme moment.
2. On voit toujoursa.
3. On ne voit jamaisaet on voit infiniment souventb.
4. bn’apparait que un coup sur deux et apparaˆıt dans la premi`ere position.
5. Si `a un moment on voit aalors dans le futur strict de ce moment on voit un jourb.
6. On ne voitaqu’un nombre fini de fois.
Exercice 2 : L’automate des mauvais pr´efixes
On consid`ere l’alphabet de propositions atomiques Σ ={a, b}. Pour les propri´et´es de sˆuret´e r´eguli`eres suivantes, donner l’automate fini des mauvais pr´efixes.
1. `A chaque fois que l’on voita, on voit aussib.
2. Si on voit unb `a un instant, on ne voit pas deaau coup d’avant.
Exercice 3 : Propri´et´es temporelles lin´eaires r´eguli`eres On consid`ere l’alphabet de propositions atomiques Σ = {a, b, c}. Pour les propri´et´es temporelles lin´eaires r´eguli`eres suivantes, donner l’automate reconnaissant les traces qui ne v´erifient pas la propri´et´e.
1. `A chaque fois que l’on voita, alors dans le futur strict deaon voitb.
2. On voitaun nombre fini de fois.
3. On voit un jourbet `a toutes les positions qui viennent strictement avant de voirb, on aa(sibest vu en premi`ere position, on n’a pas besoin de voira).
Exercice 4 : Model-checking
1. On consid`ere le syst`eme de transitionsST1avec l’ensemble des propositions atomiques Σ ={a, b}
et la propri´et´e temporelle lin´eaire P1 disant que si l’on voit ainfiniment souvent alors on voit b infiniment souvent. Est-ce-queST1|=P1? Justifier la r´eponse.
2. On consid`ere le syst`eme de transitionsST2avec l’ensemble des propositions atomiques Σ ={a, b}
et la propri´et´e temporelle lin´eaire P2 disant que l’on voit a un nombre fini de fois. Est-ce-que ST2|=P2? Justifier la r´eponse.
Figure1 – Syst`eme de transitionsST1 en haut etST2 en bas
