M´ethode formelle Approche Probabiliste – Master 2 Informatique TD : Analyse qualitative de chaˆınes de Markov

M´ ethode formelle Approche Probabiliste – Master 2 Informatique TD : Analyse qualitative de chaˆınes de Markov

Exercice 1 :

s 0

s 1

0.3

s 2

0.7

s 3

0.2

s 4

0.4 0.2

s 5

0.8

s 6

1

s 7

0.1 0.4

0.6

s 8

1 1

1

s ₉ 1

1

0.3

Figure 1 – Chaˆıne de Markov M ₁

On consid` ere la chaˆıne de Markov M 1 repr´ esent´ ee ` a la Figure 1 et les ensembles d’´ etats B ₁ = {s 1 , s ₇ }, B ₂ = {s ₆ , s ₇ , s ₈ }, et B ₃ = {s ₁ , s ₃ , s ₇ , s ₉ }. D´ eterminer quelles sont les propositions ci-dessous qui sont vraies en justifant votre r´ eponse.

1. P M

(s 0 | = FB 1 ) = 1 2. P M

(s 7 | = FB 2 ) = 1 3. P ^M

(s 0 | = GFB 3 ) = 1 4. P M

(s ₀ | = FGB ₂ ) = 1

Exercice 2 : Analyse qualitative de chaˆınes Markov [3 points]

s ₀ s ₁

0.3 s ₂ s ₃

0.8

s ₄ 0.7

s ₅ 0.5

1

1 0.2

s ₆

0.5

1

s ₇

1 0.5

0.5

Figure 2 – Chaˆıne de Markov M 2

On consid` ere la chaˆıne de Markov M <sub>2</sub> repr´ esent´ ee ` a la Figure 2 et les ensembles d’´ etats B ₁ = {s ₄ } et B ₂ = {s ₇ }. D´ eterminez quelles sont les propositions ci-dessous qui sont vraies en justifant votre r´ eponse.

1. P M

(s 0 | = FB 1 ) = 1

2. P M

(s 0 | = GFB 1 ) = 1

3. P M

(s ₀ | = GFB ₂ ) = 1 Exercice 3 :

s 0

s 1 0.5

s ₂ 1

s ₃ 1

0.2

s ₄ 0.5 0.5

0.5

s ₅ 1

0.5

s 6

0.3

0.5

s ₇ 0.5 0.5

s ₈ 0.5 0.5

s ₉ 0.5

1

Figure 3 – Chaˆıne de Markov M 3

On consid` ere la chaˆıne de Markov M 3 repr´ esent´ ee ` a la Figure ?? et les ensembles d’´ etats B 1 = {s 9 } et B 2 = {s 4 }. D´ eterminez si les propositions ci-dessous sont vraies ou fausses en justifiant votre r´ eponse.

1. P M

(s ₀ | = FB ₁ ) = 1

2. P M

(s ₀ | = FB ₂ ) = 1

3. P M

(s ₁ | = GFB ₂ ) = 1