CAPESA interne - Session 1995 - Deuxième épreuve Nous vous présentons ci-dessous des propositions de corrigés des exercices 1et 2.

(1)

CAPESA interne - Session 1995 - Deuxième épreuve

Nous vous présentons ci-dessous des propositions de corrigés des exercices 1et 2.

Exercice 1 : Qualité d'une fabrication

Par hypothèse, une fabrication contient une proportion π d'éléments non conformes.

200 éléments sont prélevés, au hasard, de cette fabrication et constituent un échantillon.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 200 éléments associe le nombre d'éléments non conformes.

1. Quelle est la loi de probabilité de X (on calculera sa moyenne et sa variance) ?

2. On suppose que π est égal à 3%. Cette hypothèse sera notée H

₀

dans la suite de l'énoncé. On se fixe comme règle de décision :

"si le nombre d'éléments non conformes est strictement supérieur à 8 alors on refuse H

₀

et si ce nombre est inférieur ou égal à 8 alors on accepte H

₀

".

a. Quelle est la probabilité de refuser H

₀

alors qu'elle est vraie ?

b. A partir de quel nombre d'éléments non conformes doit-on refuser H

0

pour que la probabilité de refuser H

0

soit égale à 0,05 ? (on retiendra le nombre d'éléments non conformes pour lequel cette probabilité prend la valeur la plus proche de 0,05)

3.a. Déterminer la probabilité d'accepter H

₀

alors que π = 4% .

b. Reprendre le calcul précédent pour π = 5% ; π = 6% ; π = 7% ; π = 3%.

c. Pour quelle valeur de π la probabilité d'accepter H

0

est-elle égale à 0,10 ? Proposition de corrigé

1. Déterminons la loi de probabilité de X

La probabilité qu’un élément prélevé au hasard soit non conforme est égale à π. Les 200 éléments prélevés au hasard constituent un échantillon (on suppose qu’il s’agit d’un échantillon aléatoire simple).

La loi de probabilité de X est donc la loi binomiale B(200 , π).

2.a) Calculons la probabilité de refuser l’hypothèse H

0

La probabilité de refuser l’hypothèse H

0

« π = 3% » est égale à Prob(X > 8).

L’espérance mathématique de X est égale à nπ soit 6.

n est grand et π < 0,1 donc la loi de probabilité de X peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre 6.

Soit Y une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre 6.

Prob(X > 8) ≈ Prob(Y > 8)

Prob(Y > 8) = 1 − Prob(Y ≤ 8)

(2)

2.b) Déterminons le nombre k tel que Prob(X > k) = 0,05

k est tel que Prob(X > k) = 0,05 donc tel que Prob(Y > k) = 0,05 Or Prob(Y > 9) = 0,0839 et Prob(Y > 10) = 0,0426.

La probabilité la plus proche de 0,05 est Prob(Y > 10). Donc k = 10.

Si l’on fixe la probabilité de refuser l’hypothèse H

0

à 0,05 , c’est à partir de 10 éléments non conformes que l’on doit refuser cette hypothèse.

3.a) Calculons la probabilité d’accepter l’hypothèse H

0

Il s’agit de calculer Prob(X ≤ 8) alors que π = 4%

nπ = 8 et Prob(X ≤ 8) = 0,5925

La probabilité d’accepter l’hypothèse H

₀

est égale à 0,5925.

3.b) Calculons la probabilité d’accepter l’hypothèse H

0

π nπ Prob(X ≤ 8)

5%

6%

7%

3%

10 12 14 6

0,3329 0,1550 0,0620 0,8473

3.c) Calculons la valeur de π telle que la probabilité d’accepter l’hypothèse H

0

soit égale à 0,10

Pour π = 6% on a Prob(X ≤ 8) = 0,155 Pour π = 7% on a Prob(X ≤ 8) = 0,062 Déterminons π tel que Prob(X ≤ 8) = 0,10 Effectuons une interpolation linéaire entre 6% et 7%, π −

− = −

− 0 06

0 1 0 155

0 06 0 07 0 155 0 062 ,

, ,

D’où π = 6,59%

(3)

Exercice 2 : Contrôle d'une fabrication

Pour la mise au point d'une machine d'une fabrication, devant respecter des normes imposées par la règlementation en vigueur, on met en place un processus de contrôle (ou tri) de la manière suivante :

- Prélèvement d'un échantillon d'éléments au hasard.

- Examen des éléments prélevés pour voir s'ils sont conformes ou non aux normes imposées.

- Conclusion, à la suite de cet examen, concernant la fabrication : conforme ou non aux normes imposées.

- Décision d'action : modifier le réglage de la machine ou ne rien faire suivant que l'on refuse ou accepte les éléments fabriqués.

On note :

C l'ensemble des éléments conformes dans la fabrication.

π la proportion réelle des éléments non conformes dans la fabrication.

A l'ensemble des éléments acceptés au contrôle.

On suppose que la proportion d'éléments non conformes est égale à 3%.

Une étude préliminaire a permis d'estimer les probabilités d'erreur de tri :

. probabilité de refuser un élément conforme, ou erreur de première espèce, égale à 0,05.

. probabilité d'accepter un élément non conforme, ou erreur de seconde espèce, égale à 0,10.

1. Quelle est la proportion des éléments fabriqués qui sera refusée par le processus de contrôle ? En d'autres termes, quelle est la probabilité qu'un élément, pris au hasard dans la fabrication, soit refusé ?

2.a. Pour mesurer l'efficacité du processus de contrôle, il est intéressant de déterminer la proportion des éléments non conformes parmi les éléments acceptés. Calculer la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

b. Comparer ce résultat à la probabilité qu'un élément soit non conforme sans aucun tri, conclure.

3. La proportion réelle des éléments non conformes est supposée varier maintenant de 1% à 10%. Tracer point par point, avec un pas de 1%, la courbe représentative de la fonction qui à π associe la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

Proposition de corrigé

Représentons les données de l’exercice sous la forme d’un arbre

C est l'ensemble des éléments conformes dans la fabrication et A l'ensemble des éléments acceptés au contrôle.

On prélève un élément au hasard dans la fabrication.

Notons C l’événement « l’élément prélevé est conforme » et A l’événement « l’élément prélevé est accepté au contrôle ».

Notons C l'événement contraire de l'événement C et A l'événement contraire de l'événement

A.

(4)

A est l'événement « l’élément prélevé est refusé au contrôle ».

L'univers Ω associé à l'expérience envisagée est l'ensemble des pièces fabriquées.

Ω

C 0,03

C

A ∩ C 0,05

A ∩ C 0,10 A ∩ C A ∩ C

A chaque étage de l’arbre, les événements forment une partition de l’univers Ω, à condition que toutes les branches soient placées.

1. Calculons la probabilité qu’un élément soit refusé

On a Ω = ∪ C C . D’où A = ∩ A ( C ∪ C ) c’est-à-dire,

A = ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ C ) , union de deux événements incompatibles

Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) , , , , Pr ( ) ,

ob A ob A C ob A C

ob A ob A ob C ob A ob C

ob A soit ob A

C C

= ∩ + ∩

= × + ×

= 0 05 0 97 × + 0 90 × 0 03 = 0 0755

La probabilité que l’élément soit refusé est égale à 0,0755.

2.a) Calculons la probabilité qu’un élément accepté soit non conforme Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle Pr ob _A ( ) C

Pr ( ) Pr ( )

Pr ( )

ob C ob C A

A = ob A ∩

Pr ob A ( ) = − 1 Pr ob A ( ) . Donc Prob(A) = 0,9245

Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) , , Pr ( ) ,

ob C A ob A ob C

ob C A soit ob C A

∩ = C ×

∩ = 0 1 × 0 03 ∩ = 0 003

Donc, Pr ( ) ,

ob _A C = 0 003 ,

0 9245 ^soit Pr ob _A ( ) C = 0 0032 , à 10

⁻⁴

près.

La probabilité qu’un élément accepté soit non conforme est égale à 0,0032.

(5)

2.b) Comparons ce résultat à la probabilité qu’un élément soit non conforme

Avant contrôle, la proportion d’éléments non conformes est égale à 3%. Après contrôle, la probabilité qu’un élément accepté soit non conforme est égale à 0,0032. On peut donc conclure que le contrôle mis en place est efficace.

3. Construisons la courbe représentative

Il s’agit de construire la courbe représentative de la fonction qui à π, proportion réelle des éléments non conformes dans la fabrication, associe la probabilité qu’un élément accepté soit non conforme.

Pr ( ) Pr ( )

Pr ( )

ob C ob C A

A = ob A ∩

* Calculons Prob(A) en fonction de π.

Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) Pr ( ) [ Pr ( )] Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) , ( ) ,

Pr ( ) , ,

ob A ob A C ob A C

ob A ob A ob C ob A ob C

ob A ob A

C C

= ∩ + ∩

= × − + ×

= −

1 0 95 1 0 1 0 95 0 85

π π

π

* Calculons Pr ob _A ( ) C en fonction de π.

Pr ( ) Pr ( )

Pr ( )

Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

Pr ( ) ,

, ,

Pr ( )

ob C ob C A

ob A

ob C ob A ob C

ob A ob C

ob C A

A C

A

= ∩

= ×

= −

= − 0 1 0 95 0 85

2 19 17

π π π

π

Pour les valeurs de π précisées dans l’énoncé, il s’agit de placer les points ( ^π ^{; Pr} ^ob _C ^{( )} ^A )

dans un repère orthogonal.

Ces points sont éléments du graphe de la fonction homographique f définie par la relation : f ( ) π π

= π

−

2 19 17

(6)

π f(π) 0,01

0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,0011 0,0021 0,0033 0,0044 0,0055 0,0067 0,0079 0,0091 0,0104 0,0116

0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

π

_=_=_=_=_=_=_=_

MIEUX VAUT EN RIRE 3

* On attribue à un élève (rassurez-vous pas de l’Enseignement Agricole) la remarque pertinente (?) suivante :

"S’il ne me restait qu’une heure à vivre, j’aimerais la passer dans un cours de statistique : elle me semblerait tellement plus longue !"

* une remarque souvent pertinente :

"Il utilise les statistiques comme l’ivrogne les lampadaires,...pour s‘appuyer dessus plutôt que pour s’éclairer."

f(π)