Constitution du G.R.E.S. au 1 Juin 1997 EDITORIAL

EDITORIAL

Constitution du G.R.E.S. au 1 Juin 1997

ANGELIQUE Françoise LEGTA de NANCY

FAGES Jean ENFA TOULOUSE

FAURE Jean-Claude LEGTA de CARCASSONNE

GAUMET Jean-Pascal LEGTA LE ROBILLARD

MALEGANT Jean-Yves ENITIAA de NANTES

MELLAN André LEGTA de LA ROCHE SUR FORON

MERCIER Alain ENFA TOULOUSE

PARNAUDEAU Jean-Marie LEGTA de VENOURS

PAVY Jacques LEGTA LE ROBILLARD

PIVETEAU Mireille LEGTA d’ANGOULEME

PRADIN Jean LEGTA de MOULINS

QUET Guillaume LEGTA d’AUBENAS

RIOU Alexis LEGTA de QUIMPER

URDAMPILLETTA Vincent LEGTA de SURGERES

VARLOT Chantal LEGTA de CHALONS SUR MARNE

André MEILLAN

Pluridisciplinarité

(ou de la recherche de l’articulation des différents champs du savoir).

Les horaires des nouveaux programmes du BTSA prévoient du temps pour la pluridisciplinarité. Dans la réalité il est bien difficile de s’accorder sur un objectif commun et de la réaliser. Chaque enseignant apporte sa contribution, mais la complexité du réel fait que l’on est noyé sous la masse d’informations e que le travail n’avance pars. Il n’y a alors plus de temps pour mettre en évidence le sens de la démarche.

Pour une situation donnée, la démarche pluridisciplinaire (ou interdisciplinaire) devait s’élaborer par un travail en commun des enseignants, avant d’aller devant les étudiants : la prise en compte du réel peut réserver de surprises au niveau de l’interprétation des résultats mais ne doit en aucune façon se faire sans méthode.

La démarche expérimentale est un bon exemple :est expérimental, ce qui est reproductible, par opposition à ce qui relève d’une croyance ou d’une superstition. Si on fait choix d’une situation concrète, il est important de la numériser, afin de ne pas s’en tenir à un débat d’idées et d’objectiver les résultats. L’écriture d’un protocole expérimental permet de fier les termes et les étapes d’unetelle démarche. La statistique appliquée fournit alorrs, avec ses tests, une boîte à outils commode.

On part d’un thème, on formule une question qi sera ensuite mathématisée pour être énoncée sous forme d’hypothèse. Le choix d’un test d’hypothèse peut permettre d’accepter ou de refuser cette hypothèse. L’interprétation des résultats se situe à deux niveaux : au niveau statistique (le plus facile…), au niveau technologique ou en termes concrets pour permettre d’apporter une réponse à la question posée.

Tous les LEGTA n’ont pas d’atelier technologique mais l’illustration de cette démarche peut être mise en évidence à partir d’articles de presse.

- Plusieurs articles du journal LE MONDE du vendredi 13 décembre 1996 et des 11, 21, 22 et 23 Janvier 1997 sont très instructifs, leur lecture et leur analyse rendant possible tout un travail pluridisciplinaire. Dans ces articles on précise les limites de l’expérimental et de ses interprétations :

« effet de loupe » statistique, « les résultats ne sont pas interprétables selon l’INSERM »,

« une étude contradictoire avait permis de conclure que cette relation était largement due au hasard » « j’ai demandé à nettoyer moi-même les tubes, l’opérateur m’a lancé un regard furieux. Ensuite ça n’a plus marché » « Les résultats que vous avez obtenus sont compatibles avec ceux que l’on pouvait attendre d’un effet dû au hasard. Vous avez devant des résultats négatifs, cherché des explications dans des effets parasites », « ne permet pas en cause les résultats significatifs » « affirmation assez gratuite » , « la mémoire de l’eau est un artefact, un biais d’observation » « une erreur infirmant le phénomène » « des erreurs d’échantillonnage »

« les échantillons n’étaient pas représentatifs » etc.

- Daniel SCHWARTZ avait déclaré dans ce même journal il y a plusieurs années

« Jamais e n’arriverai à convaincre les médecins français de l’indispensable rigueur du

tirage au sort » (toute la faiblesse de la recherche médicale française viendrait, selon lui, du fait que les échantillons ne sont pas prélevés au hasard…) « Vous utiliserez les résultats des anglais » lui aurait alors répondu Bradford Hill, l’un des papes de la statistique médicale anglaise.

- La prise d’échantillon est un point essentiel car des méthodes de prélèvement s’opposent pour obtenir :

soit un échantillon représentatif, c’est la méthode utilisée pour les sondages. On connaît la structure de la population, (par exemple, sa répartition socioprofessionnelle) et on veut obtenir un échantillon qui en soit une image ayant la même structure, les mêmes proportions (méthode des quotas).

soit un échantillon au hasard : méthode utilisée pour l’échantillonnage en statistique, chaque individu à la même probabilité d’être prélevé.

- Un des articles fait état de la génération des nombres aléatoires et de leur importance pour la simulation en économie :

« Les chercheurs se heurtent aux limites de l’aléa artificiel ».

Le sage montre les étoiles, le sot… regarde le doigt.

Etonnant, non ! ?

OPERATION PYGMALION

Gilbert PESCATORI Chef de bureau à la sous direction POFEGT

Juin 1996, par circulaire, la DGER lance dans les établissements scolaires un dispositif d’encouragement à l’innovation et à l’expérimentation pédagogiques (pygmalion). A cette même date, juin 1996, paraît le numéro 3 du bulletin du GRES.

Coïncidence statistique ?, incertitude des conclusions inductives ?, contingences éditoriales ?, beaucoup plus simple : ces deux écrits avaient vocation à se rencontrer.

Il suffit, pour en avoir la preuve, de rapprocher l’éditorial du n°1 du bulletin du GRES :

"... ce bulletin veut être un lien entre le groupe et les enseignants. Il doit être un vecteur d’idées, de pratiques pédagogiques, d’outils pédagogiques....",

du contenu de la circulaire pygmalion :

"...cette action a pour fonction de mobiliser tous les acteurs de la formation professionnelle pour la réussite des formations..."

A partir de cet historique, quoi de plus naturel, pour la DGER, que de prendre appui sur un groupe structuré, composé de personnes compétentes et enthousiastes, pour y greffer l’action n°4 de pygmalion :

"l’enseignement des Mathématiques en Baccalauréat professionnel, baccalauréat technologique et BTSA"

Aujourd’hui, 17 établissements sont réunis dans l’action pygmalion avec les mêmes objectifs :

* réflexion sur programmes nouveaux,

* réalisation de fiches de TD et de TP,

* réalisation d’articles historiques,

* publication d’exemples d’utilisation des nouvelles technologies pour enseigner les mathématiques.

A travers cette action et la vingtaine d’autres, sur d’autres thématiques, c’est l’expérience des collègues qui s’échange et se capitalise, c’est le dialogue qui s’institutionnalise.

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Ronald Aylmer FISHER

1880 naissance de Ronald Aylmer FISHER le 17 Février.

1909 bourse d’étude à Cambridge

1912 dans un article « On an absolute criterion for fitting frequency curves » il utilise sans le nommer le maximum de vraisemblance

1913 diplômé après avoir étudié les mathématiques, la loi des erreurs, la mécanique et la théorie des quanta.

1915 « Frequency distribution of the values of the correlation in samples from indefinitely large population » publié dans Biometrika le rend célèbre dans le monde statistique et lui permet de contacter Gosset, avec qui il correspondra jusqu’ en 1937 (date de sa mort).

1919 accepte un poste à la station expérimentale de Rothamsted non seulement pour l’intérêt qu’il perçoit à mener des recherches en agriculture et en agronomie mais aussi en raison d’une animosité envers Karl Pearson qui souhaitait lui voir prendre un poste au laboratoire Galton.

1925 publication de l’ensemble des travaux sur l’estimation : le best-seller de la statistique (14 éditions, traductions en 6 langues).

1933 Karl Pearson part à la retraite, Fisher « Fellow de la Royal Society » depuis 1929 prend en charge le département d’eugénisme, Egon Pearson prenant la suite de son père en 1935.

1938 Statistical Tables for biological, agicultural and medical research avec Yates 1943 chaire de génétique à Cambridge

1956 Statistical methods and statistical inference.

1957 départ à la retraite, il s’installe alors, à la surprise générale en Australie.

1961 Neyman célèbre « les noces d’argent de sa dispute avec Fisher »...

1962 le 29 juillet mort de Fisher.

Au total 395 publications mais surtout Fisher a fondé les concepts de référence de la statistique mathématique moderne : un exemple en 1912, il utilise le maximum de vraisemblance et propose à Gosset une démonstration géométrique de la « loi de Student » en représentant l’échantillon dans Rⁿ. Il établit clairement la distinction entre les statistiques, estimateurs calculés sur un échantillon, et les paramètres à estimer définis sur la population. C’est avec Fisher qu’apparurent les plans d’expérience ainsi que les principes de randomisation, de blocs randomisés, de plans carrés latins et d’arrangement factoriel. Tous ses travaux sont à inscrire en parallèle avec l’analyse de variance.

La lecture de cet extrait du N° 3 des cahiers de l’analyse des données, texte écrit par J.P.BENZECRI paru en 1976, pourra vous permettre de parler du t de Student sans faire inutilement référence au modèle normal :

« Pour Fisher, sous l’hypothèse qu’x est distribué normalement avec une moyenne nulle et variance inconnue σ², l’échantillon (x¹,x²,..., xⁿ) est un point x^I de Rⁿ distribué suivant une loi normale sphérique centrée à l’origine (et pour laquelle chaque coordonnée a pour variance σ²). La moyenne x (plus précisément son produit par n^1/2) est la coordonnée de X^I sur un nouvel axe D que nous appellerons diagonal car il est le lieu des points dont toutes les coordonnées sont égales : la quantité n(σ')²= Σ {(xⁱ - x )²} , n’est autre que le carré de la distance du point x^I à cet axe Δ; et le vecteur X^H = {(xⁱ - x ) ⎪ i = 1 à n}, est la projection du vecteur X^I sur l’hyperplan H ( sous espace linéaire de Rⁿ, de dimension n-1) perpendiculaire à l’axe diagonal Δ.

Dans H, { (xⁱ - x ) } est normal sphérique, à n-1 dimensions, de variance σ² ; donc la meilleure estimation σ~² de σ² n’est pas

Σ { (xⁱ - x )²} /n, mais Σ{ (xⁱ - x )²}/(n-1).

La loi du rapport

t = n^1/2 x / σ^~ = x { n(n-1)/ Σ (xⁱ - x)²}^1/2

s’obtient sans référence à la loi normale, par la seule considération de la symétrie sphérique de la loi du vecteur x^I :

la loi de

n^1/2x /(Σ (xⁱ - x)²)^1/2 = (n-1) ^-1/2 t

n’est autre que celle du rapport ⎪ x^Δ ⎪/ ⎪x^H ⎪ des composantes (dans la direction d’un axe Δ et de l’hyperplan H qui lui est perpendiculaire) d’un vecteur X^I dont l’extrémité est uniformément distribué sur une sphère Σ de Rⁿ. »

Un autre texte paraît aussi très intéressant : c’est un extrait de Biometrika Tables for Statisticians third edition 1966 reprinted with corrections 1976 page 38 texte.

Tests using both upper and lower tails of the F-Distribution.

« ... then, if the labels ‘1’ and ‘2’ were randomly assigned to the two samples it would seem reasonable to regard the difference as significant if F = 1

2 2

s /s2 is either below the lower2,5%

point or above the upper 2,5 % of the appropriate F-distribution ... »

Le test F de comparaison de deux variances est un test bilatéral alors qu’en analyse de variance le test F est unilatéral.

Bibliographie :

ouvrages dont sont extraites les différentes considérations

Que sais-je Histoire de la Statistique N° 2527 PUF TASSI & DROESBEKE Les cahiers de l’Analyse des données N°3 DUNOD 1976 J.P. BENZECRI Statistique Dictionnaire encyclopédique DUNOD 1993 YADOLAH DODGE Biometrika Tables for Statisticians 1976 PEARSON And HEARTLEY Statistical tables (sixth edition) LONGMAN 1963 FISHER and YATES

Des noms encore des noms, mais une seule question : quelle a été leur contribution aux statistiques ou aux probabilités ? Il reste à le dire et à l’écrire, pourquoi pas vous ?

LAPLACE Pierre Simon de (Beaumont en Auge1749-1827 Paris) GAUSS Karl Friedrich (Brunswick 1777-1855 Göttingen) GALTON Francis (Birmingham 1822- 1911 Haslemere) PEARSON Karl (Londres 1857-1936 Londres) GOSSET William Sealy (Canterbury 1876-1937)

GINI Corrado (Motta di Livenza 1884-1965) FISHER Ronald Aylmer (East Finchley 1890-1962 Adelaïde) PEARSON Egon Shape (1895-1980) fils de Karl

NEYMAN Jerzy (Russie 1894-1981 Berkeley) KOLMOGOROV Andrei (Tambov 1903-1987)

puis vinrent les prophètes de la qualité...

SHEWART Walter A

JURAN Joseph M (Roumanie1904 )

DEMING William Edwards (Wyoming 1900) FEIGENBAUM Armand V

ISHIKAWA Kaoru

TAGUCHI Genichi

COURBE D’EFFICACITE (suite)

Ces exemples font suite à l’article publié dans le Bulletin n°4 sous le titre : A propos de la COURBE D’EFFICACITE page 11

Exemple 2 :

On désire vérifier que la moyenne des masses des éléments d'une production (supposées distribuées normalement) est de 250 g. L'écart-type de la fabrication est connu et égal à 2. On prélève un échantillon de 9 éléments afin de tester l'hypothèse H₀:"μ =250" ^contre

H₁:"μ ≠250". Le risque α est fixé à 5%.

Quelle est la probabilité d'accepter H0 alors que la moyenne est en fait de 248 g ? σ étant connu, la variable de décision est ici U X

0

250 2

9

= −

dont la loi de probabilité

est N(0, 1) si H0 est vraie.

a = u ₋ = u =

1 0 975

2

α , 1 96,

Ici U0 n'est pas de loi N(0, 1) car H0 est fausse, c'est U X

= −248 2

9

qui est de loi N(0,

1).

La probabilité demandée est donc :

( )

( )

( ) ( )

β β

β

β

= − < < = ⎛ − × < < + ×

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= ⎛ − × < − < + ×

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= − < −

< +

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟ = < <

= − ≈ − =

Pr , , Pr , ,

Pr , ,

Pr , , Pr , ,

, , , ,

1 96 1 96 250 1 96 2

9 250 1 96 2

9 2 1 96 2

9 248 2 1 96 2

9 2 9

2 1 96 248

2 9

2 9

2 1 96 1 04 4 96

4 96 1 04 1 0 8508 0 1492

U0 X

X

X U

Φ Φ

La probabilité d'accepter H0 alors que la moyenne est en fait de 248 g est d'environ 15%. On a donc ici un risque β de 15% environ.

Plus généralement, si on pose λ μ μ

= − σ₀ n

on trouve, pour ce test et pour α=5%,

( ) ( )

β=Φ λ+1 96, −Φ λ−1 96, (Φ est la fonction de répartition de la loi N(0, 1)). Ce qui donne la courbe d'efficacité suivante :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

100β

λ

Dans l'exemple précédent on avait λ = 3.

Si H0 est vraie on a λ =0, la probabilité d'acceptation est de 95%, soit 1-α.

On voit que β peut prendre d'assez grandes valeurs, c'est pourquoi le fait d'accepter H₀ est un peu comme un non-lieu en justice : on accepte H0 faute de preuves, parce que la différence observée n'est pas assez grande pour qu'on puisse la rejeter.

Remarque : Cet exemple aurait pu être traité comme l’exemple 1. La méthode utilisée ici fait apparaître λ et permet que la courbe trouvée s’applique pour d’autres valeurs de μ, μ0, σ et n.

Exemple 3 : (en lien avec le programme du D 4.14 du BTSA IAA "contrôle reception")

Lors de la réception d'un lot de pièces dans une entreprise, on souhaite effectuer un contrôle du pourcentage de défectueux de ce lot. Ce lot étant de grande taille on y prélève un échantillon aléatoire de taille n.

Un niveau de qualité acceptable, NQA, a été défini au préalable. Ce NQA est le pourcentage de défectueux à ne pas dépasser, il est fixé par le client. Le test est donc défini par :

H0 : p = NQA H1 : p > NQA

Pour un NQA de 2,5% et pour n = 20, les normes AFNOR donnent dans leurs plans d'échantillonnage types A = 1 et R = 2. Ceci signifie que le lot est accepté si l'échantillon contient au plus un défectueux, refusé si l'échantillon en contient au moins deux.

Question 1 : Quel est le risque α de ce test ? Autrement dit : quelle est la probabilité de refuser un lot contenant 2,5% de défectueux ?

Les tirages, même s'ils sont effectués sans remise, peuvent être considérés comme indépendants compte tenu de la grande taille des lots. La variable aléatoire K qui prend pour valeurs le nombre de défectueux d'un échantillon est donc de loi binomiale B(20; 0,025). On a donc :

( ) [ ( ) ( ) ]

α = Pr K≥2 = −1 1−0 025, ²⁰ +C¹₂₀ 1−0 025, ¹⁹ ×0 025,

Soit α ≈ 8,82 %. C'est le risque du fournisseur, le risque qu'on lui refuse un lot de bonne qualité.

Question 2 : Comment construire la courbe d'efficacité de ce test ?

β est la probabilité d'accepter un lot contenant un pourcentage p de défectueux différent de 2,5%. K est alors de loi B(20, p)

β = Pr(K≤1) = −(1 p)²⁰ +20 1( −p)¹⁹p

On peut faire construire cette courbe à des élèves à l'aide de leur calculatrice. On peut y lire par exemple que la probabilité d'accepter un lot contenant 20 % de défectueux est d'environ 7 % . Ceci est un risque pour le client.

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MIEUX VAUT EN RIRE 1

* Quelle différence y a-t-il entre un probabiliste et un statisticien ?

Le probabiliste, c’est celui qui se pose des questions de la forme : Si je lance 12458 fois une pièce bien équilibrée, quelle est la probabilité d’obtenir 6584 fois "face".

Le statisticien, c’est celui qui se pose des questions de la forme :

j’ai lancé 12458 fois une pièce de monnaie, j’ai obtenu 6584 fois

"face", puis-je considérer que cette pièce est bien équilibrée ?

A PROPOS DES ESTIMATEURS

L’objet de cet article est de décrire une séance de travaux dirigés en classe de BTSA ACSE sur l’introduction des estimateurs et des distributions d’échantillonnage. La séance a duré deux heures et les étudiants avaient une feuille sur laquelle figuraient les données et les consignes.

La notion d’estimateur et celle de distribution d’échantillonnage sont des notions difficiles à la fois pour nous enseignants et surtout pour nos étudiants.

PRÉLIMINAIRES :

D’abord il faut admettre que l’analyse de tous les individus d’une population peut s’avérer difficile, voire impossible. Parmi nos étudiants se trouvent des chasseurs qui comprennent très bien que pour vérifier que des cartouches sont "bonnes", il ne s’agit pas de les essayer toutes.

D’où la nécessité de prélever un (ou des) échantillon(s).

On peut alors donner quelques définitions.

Une enquête consistant à étudier tous les individus d’une population s’appelle un recensement (ou enquête exhaustive) et une enquête ne portant que sur une partie de la population s’appelle une enquête par sondage (ou plus simplement un sondage). La partie de la population étudiée s’appelle échantillon.

La question qui se pose est : que faut-il prendre comme échantillon ? Dans la classe, les réponses fusent :

Il faut qu’il soit représentatif ! Il faut en prendre beaucoup.

On laisse cette question de côté (pour une autre séance).

Dans un premier temps, il est bon aussi de familiariser les étudiants avec l’idée d’inférence.

On peut leur faire comprendre qu’il existe au moins deux types d’induction statistique. D’une part l’estimation et d’autre part les tests.

En simplifiant, on peut dire que l’estimation consiste, à partir d’un échantillon, à estimer un (ou plusieurs) paramètre(s) de la population et que pour un test, il s’agit d’accepter ou de rejeter une hypothèse au vu des résultats d’un échantillon.

DESCRIPTION DE LA SÉANCE FAITE EN CLASSE :

En premier lieu, on fait remarquer que si la population est de petite taille, il faut étudier toute la population (si cela est possible) plutôt que de procéder par sondage.

Toutefois, pour essayer de comprendre ce qui se passe, nous étudierons une population de petite taille et nous prélèverons tous les échantillons possibles.

Considérons la population suivante : les individus sont Alice (notée A), Boris (noté B) Clément (noté C) et David (noté D). Le caractère étudié est la somme d’argent dont chacun dispose. Alice possède 25 F, Boris 30 F, Clément 28 F et David 17 F.

Pour la population, la moyenne est de 25 F et la variance est 24,5.

On décide de prélever tous les échantillons de taille 2 (prélèvements successifs avec remise).

Combien y a-t-il d’échantillons ?

Construire un tableau dans lequel vous indiquerez tous les échantillons (AB signifie Alice - Boris) ainsi que la moyenne et la variance de chaque échantillon.

Une fois les calculs faits, on place sur un axe les moyennes obtenues pour chaque échantillon et on place aussi (avec une autre couleur) la moyenne de la population. On vérifie, par le calcul, que la moyenne des moyennes de tous les échantillons est égale à la moyenne de la population.

Pour faire un parallèle avec le tir à l’arc, en moyenne on tire juste.

On en conclut que pour estimer la moyenne de la population, on peut prendre la moyenne obtenu sur l’échantillon prélevé. Cette valeur ne donnera pas la valeur de la moyenne de la population, mais en moyenne...

Question :

Y aurait-il d’autres façons d’estimer la moyenne de la population ? En général suit un long silence.

On peut alors leur soumettre l’exemple suivant : dans une population de grande taille (par exemple les français de 18 ans avec comme variable étudiée la taille) on prélève des échantillons de 10 individus, comment estimer la moyenne de la population ?

Les étudiants proposent alors des solutions, par exemple :

„ Faire la moyenne du plus grand et du plus petit (c’est un peu la technique qu’ils connaissent en climatologie, la température moyenne d’une journée, c’est la température maximale plus la température minimale divisée par 2).

„ Enlever la valeur la plus petite et la valeur la plus grande et faire la moyenne des 8 valeurs restantes. (c’est un peu la technique utilisée pour les calculs d’index laitier ou viande).

„ Prendre la médiane.

„ On peut leur proposer de prendre le premier (la première impression est toujours la bonne) ou le dernier (c’est le dernier qui cause qui à raison). Les étudiants sentent qu’il y a un problème mais sans arriver à formuler pourquoi.

„ On peut aussi leur proposer de prendre toujours le plus grand (ou le plus petit). Cette solution est vite rejetée car elle ne tire pas juste ; si on prend toujours le plus grand, en moyenne, on n’aura pas la moyenne de la population.

Quelle méthode choisir ?

On laisse les questions en suspend et on passe à la variance.

On place sur un axe les variances obtenues pour chaque échantillon et on place aussi (avec une autre couleur) la variance de la population.

On constate, par le calcul, que la moyenne des variances des échantillons n'est pas égale à la variance de la population. En moyenne, on tire à coté ; on dit qu'il y a un biais.

On retiendra que pour estimer un paramètre de la population, prendre le paramètre correspondant de l’échantillon n’est pas toujours la bonne méthode.

On ne prendra pas la variance de l'échantillon pour estimer la variance de la population. Pour tenir compte du biais, il faudra procéder à une correction.

Comment faut il faire ?

Assez vite, les étudiants proposent, pour corriger le tir, de ramener la moyenne des variances sur la variance de la population en multipliant toutes les variances des échantillons par un certain coefficient. Leurs faire déterminer ce coefficient ne présente pas d’intérêt (ici la population est de petite taille et cela ne correspond pas aux problèmes qu’ils rencontreront par la suite).

OÙ L’ON PARLE DES ESTIMATEURS...

On revient au cas de la moyenne. Pour estimer la moyenne de la population, on avait plusieurs estimateurs (un estimateur est une fonction qui à chaque échantillon associe un réel. Pour illustrer cela, on peut reprendre les différents estimateurs proposés précédemment). Parmi tous ces estimateurs, on ne retient que ceux qui tirent juste, c’est à dire ceux dont la moyenne est la moyenne de la population.

Un estimateur qui tire juste, est appelé estimateur non biaisé.

Parmi ceux qui restent, lequel va-t-on retenir ?

Résumons : on a 16 échantillons de taille 2, pour chaque estimateur, on obtient donc une série de 16 valeurs qui peuvent être égales (pour chaque échantillon, on obtient un réel) Ces valeurs constituent ce que l’on appelle la distribution d’échantillonnage de l’estimateur. C’est une série statistique. L’estimateur ayant été pris non biaisé, la moyenne de cette série est la moyenne de la population. On peut en calculer la variance.

Parmi tous les estimateurs possibles, on décide de retenir celui dont la variance est la plus petite. Au nom du principe que plus la variance sera petite, plus la dispersion autour de la vraie valeur (c’est à dire celle de la population) sera faible.

Un transparent sur lequel figurent tous les échantillons, la valeur correspondante des estimateurs et le calcul à la fois des moyennes et des variances des estimateurs permet à la fois de les convaincre et de leur éviter de faire les calculs.

L’estimateur retenu pour estimer la moyenne de la population sera celui qui à chaque échantillon associe la moyenne de cet échantillon. On le note habituellement X.

L’estimateur retenu pour estimer la variance de la population sera celui qui à chaque échantillon associe la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par n-1. On le note habituellement S².

Pour un échantillon (x1, x2, ..., xn), la valeur de X est x n

i i i n

=

∑=

1 et la valeur de S² est

(x x) n

i i

i n∑ −

−

=

= 1

1 ^.

On admet comme résultat de cours que si on considère une population de grande taille et un caractère quantitatif, dont la moyenne et la variance sont inconnues, alors si l’on prélève un échantillon de taille n, on a le résultat suivant :

Une estimation ponctuelle de la moyenne de la population est donnée par la moyenne de l'échantillon.

Une estimation ponctuelle de la variance de la population est donnée par la variance de l'échantillon multipliée par n

n−1^.

Le terme estimation ponctuelle peut être justifié en disant que c’est la valeur pour cet échantillon de l’estimateur (pour eux, f(x) est la valeur de la fonction f au point x ici f est l’estimateur et x l’échantillon).

Dans cette séance de travaux dirigés, on n’a pas répondu à la première question sur les échantillons (représentativité, taille...), mais cela sera pour autre fois...

RÉFÉRENCES :

L’exemple proposé aux étudiants est fortement inspiré de l’article de la revue Tangente et de l’introduction du QSJ.

A. M. DUSAIX et J. M. GROSBAS Les sondages : principes et méthodes QSJ N° 701 1993.

S. AUDRAIN « le choix d’un échantillon » dans Tangente N°27 1992

REMARQUE :

Il n’est pas question en BTSA de faire une théorie des estimateurs, mais plutôt de faire comprendre ce qu’est un estimateur et quels sont les estimateurs que l’on va utiliser. Pour un spécialiste des estimateurs, certaines phrases sont réductrices, mais cela semble inévitable auprès de nos étudiants.

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MIEUX VAUT EN RIRE 2

Marc TWAIN (l’humoriste américain du début du siècle) écrivait: « En l'espace de 176 ans, le Mississippi s'est raccourci de 242 miles, cela fait une moyenne d'un mile 1/3 par an.

D'où il résulte, pour toute personne de bon sens et non aveugle, que, lors de la période silurienne, il y aura un million d'années en novembre prochain, le Mississippi avait environ un million trois cent mille miles de longueur (...) Et par le même raisonnement n'importe qui peut se rendre compte que dans 742 ans, le Mississippi n'aura qu'un mile 3/4 de long ».

ABAQUES ET INTERVALLES DE CONFIANCE

Note au lecteur : Cet article est avant tout destiné aux enseignants et dépasse le cadre de leurs interventions dans les classes de BTSA.

L'objectif de cet article est de présenter un abaque utilisable dans le cadre de l'estimation par intervalle de confiance à 0,95 de la proportion π d'individus d'une population donnée possédant un caractère A donné.

Nous présentons tout d'abord un abaque servant à déterminer graphiquement une estimation par intervalle de confiance d'une moyenne.

I - Construction d'un abaque pour la détermination d'une estimation par intervalle de confiance de la moyenne d'une population "normale" de variance connue

Considérons un caractère continu défini sur une population de très grande taille et distribué selon une loi normale de moyenne μ et de variance σ².

Supposons σ² connue et μ inconnue.

Il s'agit, à partir d'un échantillon aléatoire simple de taille n issu de cette population, de déterminer graphiquement un intervalle susceptible de contenir la moyenne μ de la population.

1. Variable aléatoire d'échantillonnage

Notons X la variable aléatoire "valeur du caractère pour un élément de la population". La loi de probabilité de X est, par hypothèse, la loi normale N(μ,σ) donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X, qui à chaque échantillon de taille n issu de cette population associe la moyenne x de cet échantillon, est la loi normale N(μ, σ

n ). La loi de probabilité de la variable aléatoire U X

n

= − μ

σ est donc la loi normale N(0;1).

X est appelée variable aléatoire d'échantillonnage des moyennes.

2. Construction d'un abaque pour le niveau de confiance 0,95

On a : Prob(−1 96, < <U 1 96, )= 0 95, . Cette relation équivaut à

Prob( , , ) ,

n X

μ−1 96 σ < < +μ 1 96 σn =0 95.

La valeur de μ est inconnue a priori.

Pour chaque valeur de l'entier n, on peut définir sur IR respectivement les fonctions affines G1;n

et G2;n par les expressions suivantes : G n x x

n et G n x x

1; ( ) = −1 96, σ 2; ( )= +1 96, σn

Les représentations graphiques respectives des fonctions G1;n et G2;n dans un repère orthogonal sont deux droites (D_1;n) et (D_2;n) parallèles à la droite d’équation y = x.

Les droites (D1;n) et (D2;n) qui correspondent à quelques valeurs de n et à σ = 5 sont présentées ci-dessous (figure 1) dans un même repère.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4

(D2;12) (D2;25) (D2;50) (D2;100) y = x (D1;100) (D1;50) (D_1;25) (D1;12)

figure 1 (abaque)

x G_i;n(x)

3. Détermination graphique d'une estimation par intervalle de confiance de la moyenne μ Soit μ0 un réel. Sous l'hypothèse "μ = μ0" nous avons :

Prob( , , ) ,

n X

μ σ n

μ σ

0−1 96 < < 0 +1 96 =0 95

On prélève dans la population un échantillon aléatoire simple de taille n. La moyenne x de cet échantillon est une estimation ponctuelle de μ.

Si cette moyenne x appartient à l'intervalle μ σ

μ σ

0−1 96 0+1 96

⎤

⎦⎥

⎡

, ; , ⎣⎢

n n ^{alors on}

accepte l'hypothèse "μ = μ0". Cet intervalle est appelé intervalle d'acceptation de cette hypothèse.

Les fonctions G1;n et G2;n sont bijectives, notons respectivement G₁⁻_;n¹ et G₂⁻_;n¹ leurs fonctions réciproques.

μ σ μ σ

0 −1 96, < < 0 +1 96, n x

n équivaut à x

n x

−1 96, σ <μ₀ < +1 96, σn L'intervalle x

n x

− + n

⎤

⎦⎥

⎡ 1 96, σ ; 1 96, σ ⎣⎢

est une estimation de μ par intervalle de confiance à 0,95.

Pour déterminer graphiquement cet intervalle, on représente sur l'abaque précédent (figure 2) les images respectives de x par les fonctions G₁⁻_;n¹ et G₂⁻_;n¹.

Par exemple,

On prélève un échantillon aléatoire simple de taille n = 25 dans une population sur laquelle on étudie un caractère distribué normalement dont la variance σ² est égale à 25.

La moyenne x de cet échantillon est égale à 2,4.

≈≈≈≈≈≈≈≈

On obtient graphiquement (figure 1) les bornes 1 et 3,6 de l'intervalle associé à l'échantillon prélevé.

L’intervalle ]1 ; 3,6[ est donc une estimation de la moyenne de la population par intervalle de confiance à 0,95.

Nota Bene :

Que signifie l’expression « ]a ; b[ est une estimation par intervalle de confiance à 0,95 de la moyenne μ d’une population de variance connue» ?

≈≈≈≈≈≈≈≈

Pour chaque échantillon aléatoire simple de taille n, prélevé dans la population, on détermine l’intervalle x

n x

− + n

⎤

⎦⎥

⎡ 1 96, σ ; 1 96, σ ⎣⎢

où x est la moyenne de l’échantillon.

Imaginons que l’on prélève dans la population tous les échantillons aléatoires simples de taille n.

Considérons l’ensemble I des intervalles ainsi déterminés.

La relation Prob( , , ) ,

n X

μ σ n

μ σ

−1 96 < < +1 96 =0 95 équivaut à

Prob X( , , ) ,

n X

−1 96 σ < <μ +1 96 σn =0 95

Cette dernière égalité signifie que, dans l’ensemble I, 95% des intervalles sont susceptibles de contenir la moyenne μ.

Par conséquent, l’expression « ]a ; b[ est une estimation par intervalle de confiance à 0,95 de la moyenne μ d’une population de variance connue » signifie que ]a ; b[ est un intervalle de la forme x

n x

− + n

⎤

⎦⎥

⎡ 1 96, σ ; 1 96, σ ⎣⎢

où x est une valeur de la variable aléatoire X, 95% des intervalles de cette forme étant susceptibles de contenir la moyenne μ.

II - Construction d'un abaque pour la détermination d'une estimation d'une proportion par intervalle de confiance à 0,95

Considérons une population de très grande taille dont la proportion π des individus possédant un caractère A donné est inconnue.

Il s'agit, à partir d'un échantillon aléatoire simple de taille n issu de cette population, de déterminer graphiquement un intervalle susceptible de contenir la proportion π.

1. Variable aléatoire d'échantillonnage

Notons X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n issu de cette population associe le nombre d'individus possédant le caractère A. La loi de probabilité de X est la loi binomiale B(n, π).

Notons P la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n issu de cette population, associe la proportion d'individus possédant le caractère A.

Nous avons X = nP et donc la loi de probabilité de la variable aléatoire nP est la loi binomiale B(n, π).

Par suite, la loi de probabilité de P est définie par :

Pour tout entier k de 0 à n, Prob P( k) Pr ( ) ( )

n ob X k

C

= = = = π 1−π ⁻ .

L’espérance mathématique et la variance de P sont respectivement : E(P) = π et σ( ) ( )

P n

2 = π 1−π

2. Construction d'un abaque pour le niveau de confiance 0,95 2.1 Cas des grands échantillons :

D’après le théorème central-limit, pour n suffisamment grand, la loi de probabilité de la variable aléatoire U P

n

= −

− π

π(1 π) peut être approchée par la loi normale centrée réduite N(0;1).

On a Prob(−1 96, < <U 1 96, )=0 95, . Cette relation équivaut à

Pr , ( )

, ( )

,

ob n P

π π π n

π π π

− −

< < + −

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 1 96 1

1 96 1

0 95. La valeur de π est inconnue.

Pour chaque valeur de l'entier n, on peut définir sur IR respectivement les fonctions G1;n et G2;n

par les expressions suivantes :

G n x x x x

n et G n x x x x

1 1 96 1 n

2 1 96 1

; ( ) , ( )

; ( ) , ( )

= − −

= + −

Pour x = π, G n1 1 96 1n et G n n

2 1 96 1

; ( ) , ( )

; ( ) , ( )

π π π π

π π π π

= − −

= + −

Les représentations graphiques respectives des fonctions G_1;n et G_2;n dans un repère orthonormal sont deux arcs (E_1;n) et (E_2;n) d'une même ellipse qui passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1) (figure 2).

En effet,

(

)

− = × − ;

2 1 96 2 1 =

1 2 ou encore

[ ]

x² 1 3 8416n x Gi n x n Gi n x ² pour i

2 3 8416

0 1 2

⎡ +

⎣⎢

⎤

⎦⎥− ⎡ +

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ = =

,

; ( ) ,

; ( ) ;

On ne s'intéresse ici qu'aux parties des arcs (E_1;n) et (E_2;n) contenues dans un carré de côté 1 car 0≤ ≤π 1 et 0≤ ≤P 1.

2.2 Cas des petits échantillons :

A chaque valeur de l'entier n, correspondent deux entiers naturels k_1;n et k_2;n tels que : k_1;n est le plus grand entier tel que nk

k

k n k

C

k n

=

∑ −

0

1

1

;

( )

π π

k2;n est le plus petit entier tel que nk k

n k n k

C

k n

=

∑ −

2

1

;

( )

π π

La loi binomiale étant une loi discrète, les relations précédentes sont des inégalités.

D’où, ^Prob

[ ^k

^k

]

^k

^k

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ ≥ ^. La valeur de π est inconnue.

Pour chaque valeur de l'entier n on peut définir sur IR respectivement les fonctions G_1;n et G_2;n par les expressions suivantes :

G x

n et G x

n n n

n n

k k

1 1

2 2

; ;

; ;

( ) = ( ) =

Les valeurs numériques de

k

k

n figurent dans les tables de Fisher et Yates (Statistical tables for biological, agricultural and medical research).

Pour n fixé, l’ensemble des points ( ;x ^; ) ( ; ^; ) n et x

n

n n

k

k

est représenté par deux arcs de courbe (figure 2).

La figure 2 ci-dessous regroupe sur un même graphique pour n ≤ 100 les arcs de courbe obtenus à partir de la loi binomiale et pour n > 100 les arcs d’ellipses obtenus à partir de l’approximation par la loi normale N(0;1).

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Proportion dans la population

Proportion dans l'échantillon

figure 2

3. Détermination graphique d'une estimation par intervalle de confiance de la proportion π Soit π0 un réel. Sous l'hypothèse "π = π0" nous avons :

Pr , ( )

, ( )

,

ob n P

π π π n

π π π

0 0 0

0 0 0

1 96 1

1 96 1

− − 0 95

< < + −

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

On prélève dans la population un échantillon aléatoire simple de taille n. La proportion p des individus de cet échantillon qui possèdent le caractère A est une estimation ponctuelle de π.

Si p appartient à l'intervalle π π π

π π π

0 0 0

0 0 0

1 96 1

1 96 1

− −

+ −

⎤

⎦⎥ ⎡

⎣⎢

, ( )

; , ( )

n n ^{alors on}

accepte l'hypothèse "π = π0". Cet intervalle est appelé intervalle d'acceptation de cette hypothèse.

Dans le cas des grands échantillons, les fonctions G1;n et G2;n sont bijectives. Notons respectivement G₁⁻_;n¹ et G₂⁻_;n¹ leurs fonctions réciproques.

Les relations suivantes sont équivalentes :

π π π

π π π

0 0 0

0 0 0

1 96 1

1 96 1

− −

< < + −

, ( )

, ( )

n p

n G₂⁻_;¹_n( )p < π₀ <G₁⁻_;¹_n( )p

L'intervalle ]G₂⁻_;n¹( ) ;p G₁⁻_;n¹( )[p est une estimation de π par intervalle de confiance à 0,95.

Pour déterminer graphiquement cet intervalle, on représente sur l'abaque précédent (figure 2) les images respectives de p par les fonctions G₁⁻_;n¹ et G₂⁻_;n¹.

Dans le cas des petits échantillons, on adopte la même démarche graphique.

Par exemple,

On prélève un échantillon aléatoire simple de taille n = 100 dans une population dont la proportion π d'individus possédant un caractère A donné est inconnue a priori.

La proportion p d'individus de l'échantillon possédant le caractère A est égale à 0,30.

≈≈≈≈≈≈≈≈

On obtient graphiquement les bornes 0,22 et 0,40 de l'intervalle associé à l'échantillon prélevé.

]0,22 ; 0,40[ est donc une estimation par intervalle de confiance à 0,95 de la proportion π d'individus de la population possédant le caractère A.

LE COIN DU DEBUTANT

Exercice (probabilité conditionnelle)

(d’après Baccalauréat Technologique STAE-STPA) Une classe de 26 élèves est composée de 12 garçons et de 14 filles. 7 garçons et 8 filles suivent le cours d’anglais. Les autres élèves suivent le cours d’espagnol.

1.a) Déterminer le nombre de garçons qui suivent le cours d’espagnol.

b) Déterminer le nombre de filles qui suivent le cours d’espagnol.

2. On choisit un élève au hasard, on suppose que chaque élève a la même probabilité d’être choisi. L'élève choisi est un garçon. Calculer la probabilité que ce garçon suive le cours d’anglais.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Proposition de corrigé

1. Représentons les données de l’énoncé sous forme de tableau

Elèves

Cours Garçons Filles Totaux

anglais 7 8

espagnol

Totaux 12 14 26

Puisque il y a 12 garçons dans la classe, puisque 7 garçons suivent le cours d’anglais, puisque les autres garçons suivent le cours d’espagnol et puisqu’enfin aucun élève ne peut suivre les deux cours (sous entendu dans l’énoncé !), il y a donc 5 (12-7) garçons qui suivent le cours d’espagnol. De la même façon on trouve 6 filles qui suivent le cours d’espagnol. D’où le tableau suivant :

Elèves

Cours Garçons Filles Totaux

anglais 7 8 15

espagnol 5 6 11

Totaux 12 14 26

Il y a donc 5 garçons et 6 filles qui suivent le cours d’espagnol.

2. Calculons la probabilité que le garçon choisi suive le cours d’anglais 1ère méthode (voir bulletin n°4, COURRIER page 39)

Au lieu de prendre en compte les 26 élèves de la classe considérons uniquement les 12 garçons de la classe.

Puisque chaque élève a la même probabilité d’être choisi, on est dans le cas d’équiprobabilité des événements élémentaires.

Parmi les 12 garçons 7 suivent le cours d’anglais donc, la probabilité que le garçon choisi suive le cours d’anglais est 7

12 2ème méthode :

Notons G l’événement « l’élève choisi est un garçon » et A l’événement « l’élève choisi suit le cours d’anglais ».

Il s’agit de calculer la probabilité de A sachant G. Notons Prob_G( )A cette probabilité conditionnelle.

En prenant en compte les 26 élèves de la classe, Pr ( ) Pr ( ) Pr ( )

ob A ob A G

G = ob G∩

.

A∩G est l’événement « l’élève choisi est un garçon qui suit le cours d’anglais ». Chaque élève a la même probabilité d’être choisi, donc on est en situation d’équiprobabilité des événements élémentaires. Par suite,

Prob G( )=12

26 ^et Prob A( ∩G)= 7 26^.

D’où Pr ( ) /

ob_G A = 7 26/

12 26 ^soit Prob_G( )A = 7 12^.

La probabilité que le garçon choisi suive le cours d’anglais est égale à 7 12^. _=_=_=_=_=_=_

CAPESA interne - Session 1995 - Deuxième épreuve

Nous vous présentons ci-dessous des propositions de corrigés des exercices 1et 2.

Exercice 1 : Qualité d'une fabrication

Par hypothèse, une fabrication contient une proportion π d'éléments non conformes.

200 éléments sont prélevés, au hasard, de cette fabrication et constituent un échantillon.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 200 éléments associe le nombre d'éléments non conformes.

1. Quelle est la loi de probabilité de X (on calculera sa moyenne et sa variance) ?

2. On suppose que π est égal à 3%. Cette hypothèse sera notée H₀ dans la suite de l'énoncé. On se fixe comme règle de décision :

"si le nombre d'éléments non conformes est strictement supérieur à 8 alors on refuse H₀ et si ce nombre est inférieur ou égal à 8 alors on accepte H₀".

a. Quelle est la probabilité de refuser H₀ alors qu'elle est vraie ?

b. A partir de quel nombre d'éléments non conformes doit-on refuser H0 pour que la probabilité de refuser H0 soit égale à 0,05 ? (on retiendra le nombre d'éléments non conformes pour lequel cette probabilité prend la valeur la plus proche de 0,05)

3.a. Déterminer la probabilité d'accepter H₀ alors que π = 4% .

b. Reprendre le calcul précédent pour π = 5% ; π = 6% ; π = 7% ; π = 3%.

c. Pour quelle valeur de π la probabilité d'accepter H0 est-elle égale à 0,10 ? Proposition de corrigé

1. Déterminons la loi de probabilité de X

La probabilité qu’un élément prélevé au hasard soit non conforme est égale à π. Les 200 éléments prélevés au hasard constituent un échantillon (on suppose qu’il s’agit d’un échantillon aléatoire simple).

La loi de probabilité de X est donc la loi binomiale B(200 , π).

2.a) Calculons la probabilité de refuser l’hypothèse H0

La probabilité de refuser l’hypothèse H0 « π = 3% » est égale à Prob(X > 8).

L’espérance mathématique de X est égale à nπ soit 6.

n est grand et π < 0,1 donc la loi de probabilité de X peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre 6.

Soit Y une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre 6.

Prob(X > 8) ≈ Prob(Y > 8) Prob(Y > 8) = 1 − Prob(Y ≤ 8) Prob(Y > 8) = 1 − 0,8473 D’où Prob(X > 8) ≈ 0,1527

La probabilité de refuser l’hypothèse H₀ est approximativement égale à 0,1527.

2.b) Déterminons le nombre k tel que Prob(X > k) = 0,05

k est tel que Prob(X > k) = 0,05 donc tel que Prob(Y > k) = 0,05 Or Prob(Y > 9) = 0,0839 et Prob(Y > 10) = 0,0426.

La probabilité la plus proche de 0,05 est Prob(Y > 10). Donc k = 10.

Si l’on fixe la probabilité de refuser l’hypothèse H0 à 0,05 , c’est à partir de 10 éléments non conformes que l’on doit refuser cette hypothèse.

3.a) Calculons la probabilité d’accepter l’hypothèse H0

Il s’agit de calculer Prob(X ≤ 8) alors que π = 4%

nπ = 8 et Prob(X ≤ 8) = 0,5925

La probabilité d’accepter l’hypothèse H₀ est égale à 0,5925.

3.b) Calculons la probabilité d’accepter l’hypothèse H0

π nπ Prob(X ≤ 8)

5%

6%

7%

3%

10 12 14 6

0,3329 0,1550 0,0620 0,8473

3.c) Calculons la valeur de π telle que la probabilité d’accepter l’hypothèse H0

soit égale à 0,10

Pour π = 6% on a Prob(X ≤ 8) = 0,155 Pour π = 7% on a Prob(X ≤ 8) = 0,062 Déterminons π tel que Prob(X ≤ 8) = 0,10 Effectuons une interpolation linéaire entre 6% et 7%, π −

− = −

− 0 06

0 1 0 155

0 06 0 07 0 155 0 062 ,

, ,

, ,

, ,

D’où π = 6,59%

Exercice 2 : Contrôle d'une fabrication

Pour la mise au point d'une machine d'une fabrication, devant respecter des normes imposées par la règlementation en vigueur, on met en place un processus de contrôle (ou tri) de la manière suivante :

- Prélèvement d'un échantillon d'éléments au hasard.

- Examen des éléments prélevés pour voir s'ils sont conformes ou non aux normes imposées.

- Conclusion, à la suite de cet examen, concernant la fabrication : conforme ou non aux normes imposées.

- Décision d'action : modifier le réglage de la machine ou ne rien faire suivant que l'on refuse ou accepte les éléments fabriqués.

On note :

C l'ensemble des éléments conformes dans la fabrication.

π la proportion réelle des éléments non conformes dans la fabrication.

A l'ensemble des éléments acceptés au contrôle.

On suppose que la proportion d'éléments non conformes est égale à 3%.

Une étude préliminaire a permis d'estimer les probabilités d'erreur de tri :

. probabilité de refuser un élément conforme, ou erreur de première espèce, égale à 0,05.

. probabilité d'accepter un élément non conforme, ou erreur de seconde espèce, égale à 0,10.

1. Quelle est la proportion des éléments fabriqués qui sera refusée par le processus de contrôle ? En d'autres termes, quelle est la probabilité qu'un élément, pris au hasard dans la fabrication, soit refusé ?

2.a. Pour mesurer l'efficacité du processus de contrôle, il est intéressant de déterminer la proportion des éléments non conformes parmi les éléments acceptés. Calculer la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

b. Comparer ce résultat à la probabilité qu'un élément soit non conforme sans aucun tri, conclure.

3. La proportion réelle des éléments non conformes est supposée varier maintenant de 1% à 10%. Tracer point par point, avec un pas de 1%, la courbe représentative de la fonction qui à π associe la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

Proposition de corrigé

Représentons les données de l’exercice sous la forme d’un arbre

C est l'ensemble des éléments conformes dans la fabrication et A l'ensemble des éléments acceptés au contrôle.

On prélève un élément au hasard dans la fabrication.

Notons C l’événement « l’élément prélevé est conforme » et A l’événement « l’élément prélevé est accepté au contrôle ».

Notons C l'événement contraire de l'événement C et A l'événement contraire de l'événement A.

C est l'événement « l’élément prélevé est non conforme ».