Voici les 5 exercices de la deuxième épreuve du CAPESA Interne de Mathématiques. Nous vous proposerons des corrigés de ces exercices dans un prochain bulletin.
EXERCICE 1
I - On dispose d'un échantillon de 20 valeurs extrait d'une population :
11 3 33 28 41 44 60
40 22 28 42 51 25 31
52 35 30 50 35 39
1) Construire un diagramme branches et feuilles (stem and leaf) relatif à cet échantillon.
Quel est l'intérêt d'un tel diagramme ?
2) Calculer les quartiles et l'écart interquartile de cet échantillon.
3) Construire un diagramme en boîte (box-plot) relatif à cet échantillon.
Quel est l'intérêt d'un tel diagramme ?
4) Calculer la moyenne
x
et l'écart-type σ de cet échantillon.II - On appelle moment centré d'ordre k d'une série
( x
i)
1≤ ≤i n, de moyennex
et d'écart-type σ, le nombre défini par :M
n x x
k i k
i
= n −
∑
=1
1
( )
On peut définir un coefficient d'asymétrie par :
G M
1 3
= 3 σ On peut définir un coefficient d'aplatissement par :
G M
2 4
= 4 σ 1) Calculer ces deux coefficients pour l'échantillon du I.
2) a) Quelles sont les valeurs de ces deux coefficients pour une distribution statistique suivant une loi de Laplace-Gauss ?
b) Construire dans un repère orthogonal un histogramme relatif à l'échantillon du I.
Placer dans le même repère un modèle normal que l'on pourrait lui associer.
EXERCICE 2
On a relevé l'aire en m2 (Si) et le prix en KF (Pi) d'un certain nombre d'appartements :
Si 120 155 100 160 148 190 135 186 165 132 152 140 170 180 Pi 1080 1968 1200 1720 1250 1778 1250 1950 1600 1405 1645 1300 1925 1905 1. Construire le nuage de points.
2. Coefficient de corrélation linéaire :
a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire : - soit en dressant le tableau des calculs,
- soit en explicitant la méthode de calcul correspondant à votre calculatrice.
b. Calculer son carré : que représente ce nombre ?
3. Justifier le choix d'une variable explicative et d'une variable expliquée, déterminer une équation de la droite de régression correspondante.
4. Pour chaque observation on appelle résidu la différence de la valeur observée à la valeur calculée à l'aide du modèle de régression défini au 3°.
Calculer les quatorze résidus et étudier leur valeur centrée réduite puis leur normalité.
5. Indiquer, s'il en existe, les points suspects.
EXERCICE 3
Les masses des éléments d'une fabrication sont supposées distribuées selon une loi de Laplace-Gauss.
1) La moyenne de la fabrication étant de 505 grammes, quelle devrait être la valeur de l'écart-type pour avoir 2,5% des éléments en-dessous de 495 grammes ?
2) L'écart-type de la fabrication étant de 7 grammes, quelle devrait être la valeur de la moyenne si on veut que la probabilité qu'un élément ait une masse inférieure à 490 grammes soit 0,015 ?
3) On considère une fabrication de moyenne théorique 505 grammes. On prélève de cette fabrication un échantillon de 50 éléments.
Sur cet échantillon, la masse moyenne est 508 grammes avec un écart-type de 7 grammes.
On veut mettre en place sur la moyenne un test unilatéral au seuil de 0,05.
a) Préciser les hypothèses de ce test.
b) Préciser la distribution d'échantillonnage (modèle et paramètre).
c) Faire un schéma.
d) Rédiger la conclusion.
EXERCICE 4
A propos de différentes méthodes de calcul de la variance
Soit une série de (n-1) données : xl, x2,..., xn-1, de moyenne
x
n−1 et de varianceV
n−1.b) Etablir la formule pratique suivante de la variance :
V
n x x
Calculer la variance V de cette série :a) En utilisant la définition du 2°) a),
b) En appliquant, avec votre calculatrice, la formule pratique du 2°) b),
c) En faisant un changement de variable approprié ou en proposant une autre méthode.
4°) Méthode algorithmique :
Certains logiciels statistiques utilisent l'algorithme suivant basé sur les formules de récurrence établies à la question 1°).
M := 1 T := xl
S := 0
pour i = 2, 3, ... , n, faire : M0 := M
M := M+l T := T+xi, D := T − M.xi
S := S + (D.D)/M.M0 - fin pour
AFFICHER T : T/M S : S/M
En utilisant cet algorithme, calculer pas à pas la variance V de la série du 3°) : les résultats successifs seront présentés dans un tableau et on précisera à chaque pas le contenu des registres M, M0, T, D, S.
Commenter.
EXERCICE 5
Vous trouverez ci-joint un énoncé proposé en B.T.S. productique en 1991 1. Préciser les objectifs pour cet énoncé :
a. objectif global.
b. objectifs pour les différentes questions.
2. Elaborer un corrigé type à DESTINATION des élèves et une grille d'évaluation (critères et barème ).
ANNEXE EXERCICE 5 - SUJET BTS Productique 1991.
I. Un constructeur a besoin, pour équiper ses vélos, de tubes de selle en aluminium. Tout tube dont le diamètre n'est pas compris entre 25,9 mm et 26,1 mm est considéré comme défectueux.
Son fournisseur habituel lui propose des lots de tubes dont le diamètre a pour moyenne 26 mm et pour écart-type 0,04 mm. Calculer la probabilité qu'un tube pris au hasard dans un tel lot soit défectueux, si l'on suppose que le diamètre des tubes est une variable aléatoire normale.
II. Le constructeur se propose de contrôler les lots qu'il reçoit par comptage au moyen de plans d'échantillonnage indiqués par la norme NF X06-022.
Il constitue un échantillon de 80 tubes.
La norme conseille d'accepter le lot si le nombre x de tubes défectueux de cet échantillon reste inférieur ou égal à 2. Le nombre x est une variable aléatoire et on admet qu'elle obéit à une loi de Poisson de paramètre λ inconnu.
1. Montrer que la probabilité d'accepter le lot est égale à :
f ( ) λ e
λ( λ λ )
=
−1 + + 2
2
2. Etudier les variations de la fonction f pour λ variant de 0 à 10.
3. Donner le tableau de valeurs de f(λ) pour λ entier variant de 0 à 10.
Tracer alors la courbe (courbe d'efficacité) représentant la fonction f sur [0 ; 10]. (On prendra pour unités 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.)
4. On appelle p la probabilité qu'un tube pris au hasard dans un lot soit défectueux. On admettra que λ= 80 p. En utilisant la courbe représentative de la fonction f :
a) Déterminer la probabilité d'acceptation quand p vaut 0,01.
b) Inversement, déterminer la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d'acceptation devient inférieure à 0,1.
III. Pour assurer la protection du constructeur, la norme conseille de renforcer les contrôles si, sur 5 contrôles successifs, 2 au moins sont défavorables. On admet que la probabilité qu'un contrôle soit défavorable est 0,05.
On procède à 5 contrôles successifs indépendants. Déterminer en utilisant une loi binomiale, la probabilité de devoir renforcer les contrôles.
≈≈≈≈≈≈≈≈
COURRIER
Bravo !, le responsable du courrier est très content et remercie les lecteurs assidus d’avoir fait l’effort de prendre la plume, il espère que ce flot de lettres va continuer et même s’amplifier. Nous avons donc, dans ce numéro 5, 5 lettres de lecteurs ce qui donne à la rubrique COURRIER une importance décente en accord avec l’objectif d’échange et de dialogue entre collègues que nous nous sommes fixés.
I) La première lettre nous est envoyée par une jeune professeur stagiaire de l’ENFA, Mme Chantal BILLET, qui lors de son stage pédagogique, a réalisé cette séance de travaux dirigés pour introduire la notion de loi binomiale en BTSA. Nous remercions Mme BILLET pour cette participation, merci aussi à l’ENFA d’informer les professeurs stagiaires de l’existence du GRES.
EXEMPLE D’ACTIVITÉ INTRODUISANT LA LOI BINOMIALE en BTSA ACSE 1ère année
L’objectif de la séance est d’introduire la loi binomiale par les fréquences comme nous le proposent les programmes. En effet, nous pouvons lire, par exemple, dans le programme de 1ère S :
« On s’appuiera sur l’étude de séries statistiques obtenues par répétition d’une expérience aléatoire, en soulignant les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque cette expérience est répétée un grand nombre de fois. »
Cette proposition reste valable quelle que soit la classe.
Présentation de la séance : Durée : 1 h 30 Déroulement de la séance :
Recherche (oralement) d’expériences à deux issues.
Présentation et utilisation des tables de nombres au hasard.
Réalisation de l’exercice (voir fiche élève en annexe).
Recherche des probabilités correspondantes.
Effectif : 28 élèves.
Commentaires:
Utilisation des tables de nombres au hasard :
On donne aux étudiants la règle (d’utilisation de la table) suivante :
Prendre un chiffre au hasard dans la table. Ce chiffre servira de point de départ. Se fixer un sens de déplacement dans la table (de la gauche vers la droite, du haut vers le bas...). Relever les chiffres au fur et à mesure qu’il se présentent.
Avant de commencer la fiche d’exercice, quelques exemples sont faits par l’enseignant (la table ayant été photocopiée sur un transparent).
Chaque étudiant a fait six tirages de cinq chiffres, notons que certains avaient tendance à confondre «avoir 0, 1, 2,..5 succès» avec «obtenir le nombre 0» ou «obtenir le nombre 1».
Ils ont regroupé leur données.
L’exercice réalisé, nous avons recherché les probabilités correspondantes en recherchant de manière détaillée tous les événements élémentaires (les étudiants ne connaissaient pas la loi binomiale). Nous avons alors comparé les résultats obtenus aux fréquences théoriques.
Le cours sur la loi binomiale a été fait la séance suivante.
ANNEXE :(Fiche distribuée aux étudiants)
EXERCICE
Choisissez un sens de parcours dans la table et prélevez 5 nombres entiers (de 0 à 9 inclus) dans la table de nombres au hasard qui vous est fournie.
On note « succès » : avoir le nombre 0 ou le nombre 1.
Notez le nombre de succès obtenus parmi les 5 nombres choisis.
Recommencez ensuite avec 5 autres séries (vous aurez chacun 6 séries au total) . Notez tous vos résultats dans le tableau suivant :
Nombres de succès
série 1 série 2 série 3 série 4 série 5 série 6 Total 0
1 2 3 4 5
Sous chaque colonne, indiquez les 5 chiffres obtenus dans la table.
Résumé pour l’ensemble de la classe :
Nombre de succès Total Fréquences
0 1 2 3 4 5 Total
Construisez la représentation graphique (en bâtons) correspondant au tableau précédent.
On portera en abscisse le nombre de succès et en ordonnée les fréquences.
Calculez la moyenne des succès obtenus, ainsi que la variance et l’écart-type.
Que représente cette moyenne ? Résultats obtenus par la classe :
Nombre de succès Total Fréquence
0 56 0,33
1 60 0,36
2 35 0,21
3 12 0,07
4 5 0,03
5 0 0
Total 168 1