Chapitre 2 Applications lin´eaires

Applications lin´ eaires

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14 CHAPITRE 2. APPLICATIONS LIN ´ EAIRES

2.1 G´ en´ eralit´ es

D´ efinition. (Application lin´eaire) Soient E et F deux K espaces vectoriels.

Soit f : E !→ F une fonction. On dit que f est lin´eaire si ∀ λ ∈ K , ∀ x, x ^! ∈ E on a f(x + λx ^! ) = f(x) + λf(x ^! ).

L’ensemble des applications lin´eaires est not´e L (E, F ).

Si l’espace de d´epart est le mˆeme que celui d’arriv´e, on dit que f est un endomorphisme, et on note l’ensemble des endomorphismes par L (E).

Proposition. Si f est une application lin´eaire de E vers F alors : – f(0 E ) = 0 F .

– f ^{− 1} ( { 0 _F } ) est un sous-espace vectoriel de E. On le note Ker(f ).

– Plus g´en´eralement l’image d’un sous-espace vectoriel de E par f est un sous-espace vectoriel de F , et l’image r´eciproque par f d’un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E.

Remarque : L’image de E par f est not´ee f(E) = Im(f ) . Si elle est de dimension finie, on appelle sa dimension rand de f , et on la note Rg (f ).

Remarque : L’ensemble des applications lin´eaires de E vers F est un espace vectoriel, on le note L (E, F ).

Exercice : preuve de la remarque pr´ec´edente.

D´ efinition. Une application lin´eaire bijective (ie injective et surjective) est appel´ee isomorphisme. L’ensemble des isomorphismes est not´e Iso(E, F ).

Un endomorphisme bijectif est appel´e automorphisme, et son ensemble est not´e GL (E).

Proposition. (injectivit´e) Soit f ∈ L (E, F ), f est injective si et seulement si Ker(f ) = { 0 _E } .

Exercice : d´emontrer la proposition pr´ec´edente.

Attention : ce crit`ere ne marche que pour des applications lin´eaires.

Proposition. (Image de famille libres et li´ees) Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L (E, F ).

– f est injective si et seulement si l’image de toute famille libre de E est une famille libre de F .

– f est surjective si et seulement si l’image de toute famille g´en´eratrice de E est une famille g´en´eratrice de F .

Corollaire. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

1. f est un isomorphisme.

2. L’image de toute base de E par f est une base de F . 3. L’image d’une base de E par f est une base de F .

Corollaire. Si E et F sont deux espaces vectoriels isomorphes (ie : il existe un isomorphisme qui envoie E sur F ) alors dim(E) = dim(F ).

Exercice : d´emontrer le corollaire pr´ec´edent.

Th´ eor` eme. (Factorisation des endomorphismes) Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L (E, F ) une application lin´eaire de E vers F . Soit V un suppl´ementaire de Ker(f ) dans E. Alors f ˜ , la restriction de f `a V est un isomorphisme de V vers Imf.

De ce th´eor`eme, on d´eduit le fameux et extrˆemement utile th´eor`eme du rang :

Th´ eor` eme. (Th´eor`eme du rang) Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application lin´eaire de E dans F . On a dim(E) = dim(Ker f ) + dim(Im f ) = dim(Ker f ) + Rg (f ).

On retrouve alors d’une autre mani`ere que si E et F sont isomorphes alors dim(E) = dim(F ).

Corollaire. Soient E et F deux espaces vectoriels de mˆ eme dimension finie n et f une application lin´eaire de E dans F . Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

– f est un isomorphisme.

– f est surjective.

– f est injective.

Exercice : d´emontrer le th´eor`eme du rang ainsi que le corollaire pr´ec´e- dent.

Attention 1 : L’hypoth`ese dim(E) = dim(F ) est cruciale sinon on peut regarder les applications suivantes :

- f : x !→ (x, x) qui est injective et non surjective de R vers R ² . -g : (x, y) !→ x qui est surjective mais non injective de R ² vers R .

Attention 2 : Il faut prendre garde au fait que ce th´eor`eme n’est valable que pour des applications lin´eaires.

Attention 3 : Ce th´eor`eme ne marche qu’en dimension finie, comme le montre l’exercice suivant.

Exercice : Soit F : C ⁰ ([0, 1], R ) → C ⁰ ([0, 1], R ) la fonction d´efinie par : F (f) : x !→

! x 0

f (t)dt.

Montrer que f est injective, est-ce que f est surjective ?

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2.2 Equations lin´ eaires

Soient E et F deux K espaces vectoriels. Soit f une application lin´eaire de E dans F . L’´equation E d’inconnue x,

f (x) = b ( E )

o` u b est un vecteur de F fix´e est appel´ee ´ equation lin´ eaire. b est appel´e second membre.

L’´equation

f(x) = 0 F ( H )

est appel´ee ´ equation homog` ene associ´ee `a E ou ´ equation sans second membre.

Exemple : Soit a ∈ C ⁰ ([0, 1], R ) . Soit b ∈ C ⁰ ([0, 1], R ). On peut alors consid´erer l’´equation diff´erentielle y ^! + ay = b comme une ´equation lin´eaire.

Que poser alors pour E, F et f ? Th´ eor` eme.

– L’ensemble S h des solutions de H est S h = Ker(f). C’est donc un sous espace vectoriel de E. (Il est forc´ement non vide car il contient 0 E ).

– L’ensemble S E des solutions de E est non vide si et seulement si b ∈ Im(f ).

– Si b ∈ Im(f ) et si x 0 est une solution particuli`ere de E , alors S E = x 0 + S h . C’est `a dire que toute solution est somme de la solution particuli`ere et d’une des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee `a E .

Exemple 1 : Si on consid`ere le syst`eme `a n ´equations et p inconnues suivant :

a 11 x 1 + ... + a 1p x p = b 1

a ₂₁ x ₁ + ... + a _2p x _p = b ₂ a 31 x 1 + ... + a 3p x p = b 3

a n1 x 1 + ... + a np x p = b n

Exemple 2 : dans le cas de l’´equation lin´eaire : y ^! + ay = b avec a ∈ C ⁰ ([0, 1], R ) et b ∈ C ⁰ ([0, 1], R ). On sait par le cours de premi`ere ann´ee que cette ´equation a toujours des solutions quelque soit la fonction b ainsi choisie, ce qui revient `a dire que l’application lin´eaire f : y !→ y ^! + ay est surjective.

Et on retrouve le fait que toute solution est somme d’une solution particuli`ere

et d’une solution de l’´equation homog`ene associ´ee.

Proposition. (Principe de superposition) Avec les mˆemes notations que pr´e- c´edemment, soit E l’´equation lin´eaire f(x) = b. On suppose que b = b 1 +b 2 . Si x 1 et x 2 sont solutions respectivement de l’´equation E 1 d´efinie par f(x) = b 1

et de l’´equation E 2 d´efinie par f (x) = b 2 . Alors x = x 1 + x 2 est une solution particuli`ere de E .

2.3 Exemples fondamentaux

Nous allons maintenant traiter plus en d´etail deux exemples particuliers d’´equations lin´eaires.

Exemple fondamental 1 : Interpolation de Lagrange

Lemme. Soit P ∈ K [X] tel que deg(P ) ≥ 1. Soit n tel que deg(P ) = n + 1.

L’ensemble P K [X] des polynˆomes multiples de P est un sous-espace vectoriel de K [X] et K [X] = P K [X] "

K ⁿ [X] . Preuve : (en exercice).

Interpolation

Interpolation lin´ eaire : faire une interpolation lin´eaire de la fonction f entre les points d’abscisse a et d’abscisse b, c’est approximer sur [a, b]

la courbe repr´esentative de f au segment de droite limit´e par les points de coordonn´ees (a, f (a)) et (b, f (b)). On assimile donc f `a une fonction affine, c’est `a dire `a un polynˆome de degr´e plus petit que 1.

Interpolation de Lagrange : l’interpolation de Lagrange est une g´e- n´eralisation. Etant donn´e une fonction f, et n + 1 points distincts de R : a 0 , ..., a n on cherche un polynˆome dont la courbe repr´esentative passe par les points (a 0 , f(a 0 )) , (a 1 , f (a 1 )) ,..., (a n , f (a n )). On est donc ramen´e au pro- bl`eme suivant : ´etant donn´e (n + 1) points de K et (λ <sub>0</sub> , ..., λ <sub>n</sub> ) n + 1 valeurs de K . On cherche un polynˆome P ∈ K <sup>n</sup> [X] tel que P (a i ) = λ i , ce qui donne un syst`eme `a n + 1 ´equations, n + 1 inconnues :

x 0 + a 0 x 1 + ... + a ⁿ ₀ x n = λ 0

x 0 + a 1 x 1 + ... + a ⁿ ₁ x n = λ 1

x 0 + a 2 x 1 + ... + a ⁿ ₂ x n = λ 2

x 0 + a n x 1 + ... + a ⁿ _n x n = λ n

18 CHAPITRE 2. APPLICATIONS LIN ´ EAIRES

avec P (X) = x 0 + x 1 X + ... + x n X ⁿ .

Proposition. L’application de K n [X] dans K ⁿ⁺¹ , Φ : P !→ (P (a 0 ), P (a 1 ), ..., P (a n )) est un isomorphisme.

En remarquant que

P i (X) =

#

j # =i (X − a j )

#

j # =i (a i − a j )

est un polynˆome de degr´e n qui v´erifie P i (a i ) = 1 et P i (a j ) = 0, ∀ j ' = i, nous obtenons que

P =

$ n

i=0

λ _i P _i

est un polynˆome de degr´e n tel que P (a i ) = λ i . D’apr`es la proposition pr´e- c´edente, c’est bien l’unique polynˆome qui v´erifie P (a _i ) = λ _i .

Exemple fondamental 2 : Suites r´ ecurrentes lin´ eaires d’ordre 2

Soit (a, b) ∈ K ² . On cherche les suites d’´el´ements de K , v´erifiant la relation de r´ecurrence :

∀ n ∈ N , u n+2 = au n+1 + bu n . On rajoute la condition u 0 = x et u 1 = y.

Formulation : Soit Φ : (u n ) n ∈N !→ (u n+2 − au n+1 − bu n ) n ∈N , alors Φ ∈ L ( K ^N , K ^N ), et nous cherchons (u) solution de Φ(u) = 0 _K

, ie Ker Φ = E a,b .

Formulation bis : On cherche u ∈ E _a,b tel que u ₀ = x et u ₁ = y.

Autrement dit, soit

Ψ : E a,b → K ² u !→ (u 0 , u 1 ) nous cherchons u ∈ E a,b tel que Ψ(u) = (x, y).

Th´ eor` eme. Ψ est un isomorphisme de E a,b dans K ² . Nous avons donc dim E _a,b = 2 et l’´equation Ψ(u) = (x, y) admet une unique solution.

Observation : Soit r ∈ K , la suite g´eom´etrique (r ⁿ ) _n∈N ∈ E _a,b si et seulement si r est une solution de l’´equation caract´eristique associ´ee :

r ² = ar + b (Eq)

Th´ eor` eme. Soit (a, b) ' = (0, 0).

– Si (Eq) admet deux racines distinctes r 1 et r 2 dans K , alors les suites (r ⁿ ₁ ) et (r ⁿ ₂ ) forment une base de E a,b .

– Si (Eq) admet une racine double r dans K , alors les suites (r ⁿ ) et (nr ⁿ ) forment une base de E a,b .

– Si K = R et si (Eq) admet deux racines complexes conjugu´ees z = ρe ^iθ

et z, alors les suites ¯ (ρ ⁿ cos(nθ)) et (ρ ⁿ sin(nθ)) forment une base de

E a,b .