3 n + 5 n − nn n − 2 + 2

Thème : multiples et diviseurs

Exercice 1

1. Déterminer tous les diviseurs positifs de 68

2. Peut-on trouver un nombre multiple de 15 et diviseur de 100 ? 3. Montrer que si n est un entier > 6 , 6n admet au moins 8 diviseurs Exercice 2

a. Soit n ∈ , on suppose que a | 42n + 37 et a | 7n + 4. Montrer que a | 13.

En déduire les valeurs possibles de a

b. Soit k un entier naturel , a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 5.

c. Soit n ∈ , a = 13n + 1 et b = - 26n + 4

Montrer que les seuls diviseurs positifs communs aux entiers a et b sont 1,2,3 ou 6.

d. Soit n ∈ , a = 6n + 5 et b = 8n + 3

Prouver que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 11 Exercice 3

a. Soit n ∈  . Calculer 1 + 5 + 5² + ….. + 5^n-1 . En déduire que 5ⁿ + 19 est divisible par 4 b. Montrer que pour tout n ∈ , 6ⁿ – 1 est un multiple de 5. En déduire que 6ⁿ + 2004 est également un multiple de 5.

c. Montrer que pour tout entier q ≠ 1, et n ∈  , q – 1 divise qⁿ – 1 Exercice 4

Montrer que pour tout entier naturel n a. 13ⁿ – 1 est divisible par 4

b. Pour tout k ∈ , (4k + 1)ⁿ – 1 est divisible par 4 Exercice 5

Expliquer pourquoi il est impossible de trouver u et v entiers tels que 6u – 9v = 2 Exercice 6

a. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ , 2³ⁿ – 1 est divisible par 7 b. En déduire que 2³ⁿ⁺¹ – 2 est un multiple de 7 et 2³ⁿ⁺² – 4 est un multiple de 7 Exercice 7

a. Montrer par récurrence que pour tout naturel n, n³ + 5n est un multiple de 6 b. En déduire que les entiers suivants sont des multiples de 6

i) n³ + 17n – 12 ii) n³ + 2003 n iii) le produit de 3 entiers consécutifs.

Exercice 8

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 3²ⁿ – 2ⁿ est divisible par 7 2. Montrer par récurrence que a – b divise aⁿ – bⁿ (a,b ∈  et n ∈ )

Exercice 9

Déterminer les valeurs de l’entier naturel n pour lesquelles a. n+5

n−2est entier b. ⁿ

3−n

n+2 est entier

correction

Exercice 1 1. 1,2,4,17,34,68

2. Non , car si 15 divise n et n divise 100 , alors 15 divise 100 impossible 3. 1,2,3,6,n,2n,3n,6n

Exercice 2

a. a | 42n + 37 et a | 7n + 4 donc a | 6(7n + 4) – (42n + 37) = 13 donc a ∈ {-1,1,-13,13}

b. 4a – 3b = 5 c. 2a + b = 6 d. 4a – 3b = 11 Exercice 3

a. 1 + 5 + 5² + ….. + 5^n-1 = ⁵

n−1

4 , donc 4 | 5ⁿ – 1 , or 4 | 20 , donc 4 | 5n + 19 b. 6ⁿ – 1 = (6 – 1)(1 + 6 + …. + 6^n-1) donc 6ⁿ – 1 est un multiple de 5.

Or 5 | 2005 donc 6ⁿ + 2004 est également un multiple de 5.

c. qⁿ – 1 = (q – 1)(1 + q + q² + ….. + q^n-1) Exercice 4

a. 13ⁿ – 1 est divisible par 13 – 1 = 12 , donc par 4

b. (4k + 1)ⁿ – 1 est divisible par 4k + 1 – 4 = 4k , donc par 4 Exercice 5

3 divise 6u et 9v donc 6u – 9v = 2 impossible Exercice 6

a. un = 2³ⁿ – 1 donne u1 = 7

si un = 7K , un+1 = 2³⁽ⁿ⁺¹⁾ – 1 = 8×2³ⁿ – 1 = 8(7K + 1) – 1 = 7(8K + 1) = 7K’

b. 2³ⁿ⁺¹ – 2 est un multiple de un donc de 7 et 2³ⁿ⁺² – 4 également Exercice 7

a. vrai pour n = 0

Si n³ + 5n = 6K , (n + 1)³ + 5(n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = 6K + 6 + 3n(n + 1) et n ou n + 1 est pair , donc 3n(n+1) est divisible par 6 , donc (n+1)³ + 5(n+1) aussi b. i) n³ + 5n + 12n – 12 ii) n³ + 5n + 1998n

iii) n(n + 1)(n + 2) = n³ + 3n² + 2n = n³ + 5n + 3n² – 3n = 6K + 3n(n – 1) et n ou n – 1 est divisible par 2 , donc 3n(n-1) est divisible par 6 Exercice 8

2. Si aⁿ – bⁿ = K(a – b) , aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = a(bⁿ + K(a – b)) – bⁿ⁺¹

= bⁿ(a – b) + aK(a – b) = K’(a – b)

Exercice 9 a. n+5

n−2= 1 + 7

n−2on doit prendre n – 2 ∈ {-1,1,-7,7} , donc n ∈{1,3,9,-5} et S ={1,3,9}

b. ⁿ

3−n

n+2 = n² −2n+3− 6

n+2 , donc n + 2 ∈ {-1,-2,-3,-6,1,2,3,5}

donc n ∈ {-3,-5,-4,-8,-1,0,1,4}et S = {0,1,4}

Divisibilité

L’arithmétique est l’étude des nombres entiers. Le domaine privilégié d’application est l’informatique , où l’on code l’information en utilisant des suites de 0 et 1. L’arithmétique étudie l’ensemble  des entiers naturels et l’ensemble  des entiers relatifs.

1. Propriétés de 

Axiomes de Peano : On admet qu’il existe un ensemble  vérifiant les axiomes - l’élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel

- tout entier naturel n admet un unique successeur , noté S(n) - Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur

- Deux entiers naturel ayant même successeur sont égaux

- Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à 

A partir de ces axiomes, on définit l’addition et la multiplication sur  , puis une relation d’ordre total sur . Ensuite on déduit les 3 propriétés suivantes.

propriétés

1. Toute partie non vide de  admet un plus petit élément.

2. Toute partie non vide et majorée de  admet un plus grand élément.

3. Toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est finie

propriété fondamentale de  : raisonnement par récurrence Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont vérifiées : - il existe un entier n0 tel que P(n0) est vraie

- pour tout entier n ≥ n0 , P(n) vraie ⇒ P(n+1) vraie Alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0

Soit E = { entiers n ≥ n0 tels que P(n) est fausse } une partie de 

Supposons E non vide . E est une partie de  , donc admet un plus petit élément m ≥ n0. m ∈ E , donc P(m) est fausse.

Si m = n0 , alors P(n0) est fausse en contradiction avec l’hypothèse d’initialisation.

Si m > n0 , m – 1 ≥ n0 donc P(m-1) est vraie sinon contradiction avec la définition de m donc P(m-1) est vraie et P(m) est fausse en contracdition avec l’hypothèse d’hérédité.

On en déduit que E est vide , donc que pour tout entier n ≥ n0 , P(n) est vraie

2. Divisibilité dans  définition :

Soient a et b deux entiers relatifs . On dit que a divise b si et seulement si il existe un entier relatif q tel que b = aq . On note a|b .

Si a divise b , on dira que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a . propriétés :

1. 0 est multiple de tout nombre . 2. 1 et − 1 divisent tout nombre

3. 1 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et − 1

4. Quelque soit l'entier a , a et − a ont les mêmes diviseurs 5. Si a | b et b | a , alors a = b ou a = − b

6. Si a | b et b | c , alors a | c

7. Si c | a et c | b , alors c | αa + βb , ∀ α et β ∈  8. Si a | b , alors pour tout entier k non nul , ka | kb . 9. Si k | a et a | b , alors a

k diviseb k exemples :

. 7 × 3 = 21 donc 7 et 3 divisent 21 . 4 | 12 et 12 | 24 donc 4 | 24 . 3 | 12 donc 15 | 60

. 7 divise 14 et 21 donc 7 divise 14 + 21 = 35 . 6 a pour diviseurs 6 , 3 , 2 , 1 , − 1 , − 2 , − 3 , − 6 propriété :

1. si a et b sont des entiers naturels non nuls , a | b ⇒ 1 ≤ a ≤ b

si a est un entier naturel non nul et b un entier naturel , (a | b et b < a ) ⇒ b = 0 2. tout entier relatif b ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs

définition:

Les entiers divisibles par 2 sont appelés les nombre pairs . Les entiers non divisibles par 2 sont les nombres impairs . propriété :

1) n+2 a la même parité que n

2) deux nombres consécutifs sont de parités différentes

1) si n est pair , 2 divise n et comme 2 divise 2 , alors 2 divise n + 2

si n est impair , n + 2 ne peut être pair sinon n = n + 2 – 2 est pair , donc n + 2 est impair

2) P(n) : « n et n + 1 sont de parités différentes » P(0) est vraie car 0 est pair et 1 est impair

Supposons P(n) vraie pour n ≥ 0 , alors n et n + 1 sont de parités différentes n + 2 a la même parité que n , donc n + 1 et n + 2 sont de parité différentes, donc P(n+1) est vraie