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ACTIVITES :
Raisonnement par récurrence
Activité 1 :
Dans une grande pièce de ma maison, voici une suite de dominos, tous debout. Il y en a beaucoup.
Je fais tomber le premier domino, le deuxième tombe aussi.
Que se passe-t-il alors pour le troisième, le quatrième, le dernier ?
………..
Activité 2 :
On sait que dans une file de voitures rouges ou bleues, toute voiture rouge est suivie d’une voiture rouge.
Que peut-on déduire des suppléments éventuels d’information :
a) La première voiture est rouge. ………
b) La première voiture est bleue. ………
c) La dernière voiture est rouge. ………
d) La dernière voiture est bleue. ………
e) La dixième voiture est rouge. ………
f) La dixième voiture est bleue. ………
Activité 3 :
Un manutentionnaire s’amuse à empiler des caisses en construisant un escalier suivant le schéma ci-après.
a) Compléter le tableau ci-dessous :
• • •
• 𝑛 = 2 marches • 𝑛 = 3 marches • 𝑛 = 4 marches
• 𝑏' = ………caisses • 𝑏( = ………. caisses • 𝑏) = ……….. caisses b) De combien de caisses a-t-il besoin pour avoir cinq marches ? Six marches ?
………
c) Exprimer en fonction de n, le nombre 𝑏* de caisses nécessaires pour construire un escalier de n marches.
………
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Activité 4 :
1. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑃(𝑛) : « 10* + 1 est un multiple de 9 ».
a) Énoncer la proposition 𝑃(0) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
b) Énoncer la proposition 𝑃(1) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
c) Énoncer la proposition 𝑃(2) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
d) Soit n un entier naturel. Énoncer la proposition 𝑃(𝑛 + 1).
………
e) Démontrer que si 𝑛 est un entier tel que 𝑃(𝑛) est vraie, alors 𝑃(𝑛 + 1) est vraie.
On dit alors que la proposition P(n) est héréditaire.
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2. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑄(𝑛) : «10*− 1 est un multiple de 9 ».
a) Énoncer la proposition 𝑄(0) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
b) Énoncer la proposition 𝑄(1) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
c) Énoncer la proposition 𝑄(2) et dire si elle est vraie ou fausse.
………
d) Soit n un entier naturel. Énoncer la proposition 𝑄(𝑛 + 1).
………
e) La proposition 𝑄(𝑛) est-elle héréditaire ?
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3. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑅(𝑛) : « n² + n + 1 est un multiple de 3 ».
a) Énoncer les propositions 𝑅(0), 𝑅(1) et 𝑅(2) et dire si elles sont vraies ou fausses.
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b) Soit 𝑛 un entier naturel. Énoncer la proposition 𝑅(𝑛 + 1).
………
c) La proposition 𝑅(𝑛) est-elle héréditaire ?
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