TD 8

UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire 2015-2016

Feuille 8

Int´ egration (deuxi` eme feuille)

Exercice 1(Int´egration des fractions rationnelles).

1. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle suivante sous la forme :

ϕ(X) = 1

X(X+ 1) = A

X + B

X+ 1,

o`u AetB sont deux constantes `a d´eterminer. En d´eduire une primitive deϕsur un intervalle ne conte- nant pas les valeurs0et −1.

2. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle suivante sous la forme :

ψ(X) = 1

X²(X+ 1)² = A X + B

X² + C

X+ 1 + D

(X+ 1)²,

o`u A, B, C etD sont `a d´eterminer. En d´eduire la valeur de Z x

1

ψ(t)dt, pourx >1.

Exercice 2(Int´egrale de Wallis). Soit la suite d’int´egrales d´efinie par :I_n= Z ^π₂

0

sinⁿx dx.

1. A l’aide d’une int´egration par parties, trouver une relation entreI_n+2 etI_n. 2. Montrer alors queI2p= (2p)!

2^2p(p!)² π

2 etI2p+1= 2^2p(p!)² (2p+ 1)!. Exercice 3(Int´egrales impropres).

1. Calculer, pour tout X ∈ R, l’int´egrale Z X

1

te^−t2dt. Cette int´egrale admet-elle une limite quand X → +∞?

2. Montrer que la fonctionϕ:X → Z X

1

e^−t2dtest croissante et major´ee surR+.

3. En d´eduire qu’elle admet une limite quandX→+∞.

Dans ces cas-l`a, on note la limite Z +∞

1

e^−t2dtet on parle d’int´egrale impropre convergente.

D’un mani`ere g´en´erale, on peut ´etablir que pour tout polynˆome P ∈ R[X], l’int´egrale Z X

1

P(t)e^−t2dt admet une limite quandX → ∞.

Exercice 4 (Lemme de Gronwall). On consid`ere une fonction f : [1; +∞[→Rpositive et continue et on fixe deux r´eels0< a < b.

On suppose que pour toutx≥1, on a : f(x)≤a Z x

1

f(t) t² dt+b.

1. On introduit la fonctionF(x) = Z x

1

f(t)

t² dtpour x≥1. Montrer queF⁰(x)≤ a

x²F(x) + b x². 2. On poseG(x) =F(x)e^ax. D´eduire de la question pr´ec´edente une majoration deG⁰, puis deG(x).

3. En d´eduire une majoration deF, puis finalement que : f(x)≤b e^(a−ax). Exercice 5(M´ethode du point milieu).

1

2015-2016 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire UPMC

Pour toutn∈N^∗, on poseh=(b−a)

n et consid`ere la subdivision de l’intervalle[a, b] : x₀=a < x₁=a+h < x₂=a+ 2h <· · ·< x_n =a+nh=b.

On d´efinitx⁰_k= xk+xk+1

2 pour toutk= 0,1,· · ·, n−1 et on consid`ere une fonction continuef : [a, b]→R. On pose alors :J_n=

n−1

X

k=0

f(x⁰_k)h.

1. On suppose que la fonctionf est de classeC² et v´erifie :

∀x∈[a, b], |f⁰⁰(x)| ≤M2.

Soitkfix´e dans0,1,· · ·, n−1. Montrer que pour toutx∈[xk, xk+1], il existe un pointck ∈]xk, xk+1[tel que :

f(x) =f(x⁰_k) + (x−x⁰_k)f(x⁰_k) +(x−x⁰_k)² 2 f⁰⁰(ck).

2. Montrer que pour toutk= 0,1,· · ·, n−1 : Z x_k+1

x_k

(t−x⁰_k)dt= 0.

3. En d´eduire que pour toutk= 0,1,· · · , n−1:

Z xk+1

xk

(f(t)−f(x⁰_k))dt

≤ M2

2

Z xk+1

xk

(t−x⁰_k)²dt .

4. Montrer que pour toutk= 0,1,· · ·, n−1 : Z x_k+1

xk

(t−x⁰_k)² dt= h³ 12. 5. En d´eduire que

Z b

a

f(t)dt−Jn

≤ (b−a)³M2

24n² .

Exercice 6((*) Suite d’int´egrales).

Soit(a, b)∈R²,(a < b). On consid`ere la suite In d´efinie par :∀n∈N^∗:In=

"

Z b

a

e^−nt2dt

#_n¹ .

1. En utilisant la d´ecroissance de la fonctionfn(t)d´efinie par∀n∈N^∗,∀t∈[a, b,] :fn(t) =e^−nt2, montrer que :

In≤e^−a2(b−a)ⁿ¹.

2. Ecrire la continuit´e de la fonctionfn(t)au pointapar valeur sup´erieure et ´etablir que :

∀ >0,∃α >0,(a+α≤b),∀t∈[a, a+α] :e^−t2 ≥e^−a2(1−ε).

3. En d´eduire alors que la limite de la suiteI_n est donn´ee par : lim

n→+∞I_n=e^−a2.

Exercice 7((*) In´egalit´e de Poincar´e). Soitf : [a, b]→R, de classeC¹ et telle quef(a) = 0.

1. En ´ecrivant la relation entre une fonctionf et sa d´eriv´eef⁰ `a l’aide d’une int´egrale, montrer, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, que pour tout x∈[a, b]on a :

|f(x)|²≤(x−a) Z b

a

|f⁰(t)|²dt.

2. En d´eduire l’in´egalit´e de Poincar´e : Z b

a

|f(x)|²dx≤(b−a)² 2

Z b

a

|f⁰(t)|²dt.

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