Exercice2 Exercice1 AnalyseetCalculMatriciel MVA101

CNAM – Paris janvier 2008

MVA101

Analyse et Calcul Matriciel Premi` ere session d’examen Tous documents autoris´ es. Calculatrices interdites.

Exercice 1 (6 points)

La fonction y(x) v´ erifie l’´ equation diff´ erentielle :

(E) x

y

(x) − 2x y

(x) + (2 − x

) y(x) = 0

On suppose qu’elle est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 : y(x) = a

+ a

x + a

x

+ · · · =

∞

X

n=0

a

x

1. D´ eterminer une relation de r´ ecurrence entre les coefficients a

.

2. Que vaut a

? Calculer a

en fonction de α = a

et a

en fonction de β = a

.

3. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere.

4. Exprimer la somme de la s´ erie enti` ere au moyen de fonctions ´ el´ ementaires.

Exercice 2 (7 points)

Soient x(t), y(t) et z(t), trois fonctions inconnues de t qui v´ erifient le syst` eme diff´ erentiel suivant:

(D)



 

 

x

(t) = x(t) +2y(t) − 2z(t) y

(t) = 3x(t) − 2z(t) z

(t) = x(t) −y(t) + z(t) et les conditions initiales x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1.

1. En ´ ecrivant la transform´ ee de Laplace de chacune des ´ equations de ce syst` eme diff´ erentiel, et en notant X(p), Y (p) et Z(p) les transform´ ees de Laplace de x(t), y(t) et z(t) respectivement, d´ eterminer le syst` eme lin´ eaire d’´ equations en X(p), Y (p) et Z(p).

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2. R´ esoudre le syst` eme ainsi obtenu.

3. En utilisant la transform´ ee de Laplace inverse (ou les tables du calcul symbolique), d´ eterminer x(t), y(t) et z(t).

Exercice 3 (6 points) On consid` ere les matrices : A =

1 2 3 4

et C =

6 12 16 18

.

1. En utilisant une m´ ethode laiss´ ee aux choix, d´ eterminer la matrice incon- nue B solution de l’´ equation matricielle AB = C .

2. D´ eterminer les valeurs propres et des vecteurs propres de B . 3. Calculer B

pour tout entier relatif n.

Exercice 4 (6 points)

La fonction f est d´ efinie sur [−1, +1] par f (x) = x − x

; elle est p´ eriodique ; sa plus petite p´ eriode strictement positive est 2.

1. Repr´ esenter graphiquement f sur [−3, +3] . Quelle est la parit´ e de f ? 2. Pourquoi f est-elle d´ eveloppable en s´ erie de Fourier ? Quelle est la

somme de sa s´ erie de Fourier ?

3. Calculer les coefficients de Fourier et ´ ecrire la s´ erie de Fourier de f . On pourra admettre et utiliser la formule suivante (pour λ 6= 0) :

Z

−1

(t − t

) sin λt dt = − 12 cos λ

λ

− 4 sin λ

λ

+ 12 sin λ λ

4. Calculer f 1 2

. En d´ eduire S = X

p>1

(−1)

(2p − 1)

.

O O O O O O

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